第3章 自動控制理論

第三章時域分析法

Time-DomainAnalysis§3-1典型響應和性能指標

§3-2一階系統(tǒng)動態(tài)分析§3-3二階系統(tǒng)動態(tài)分析§3-4高階系統(tǒng)動態(tài)分析§3-5

穩(wěn)定性分析§3-6穩(wěn)態(tài)誤差分析應用動態(tài)數(shù)學模型（微分方程、傳遞函數(shù)、方框圖），可對系統(tǒng)的控制性能（穩(wěn)、準、快）進行分析。時域分析法是其中的一種方法（還有根軌跡法、頻率法）。*前提：分析控制系統(tǒng)的第一步工作，是推導系統(tǒng)的數(shù)學模型，獲取模型后才能采用各種分析方法?！裁词菚r域法？根據(jù)系統(tǒng)的微分方程（或數(shù)學模型），解出系統(tǒng)的響應（可應用拉氏變換），然后從響應表達式和曲線中分析穩(wěn)、準、快的指標?！?-1典型響應和性能指標

在分析uo過渡過程中，

應考慮不同的實際情況

有初始電壓（不放電）uo

不同 無初始電壓（已放電） 直流系統(tǒng)ui

不同 交流系統(tǒng)所以系統(tǒng)的響應不僅取決于本身結構、參數(shù)（R、C的大?。?，也與輸入、初始狀態(tài)有關。為能夠比較系統(tǒng)與系統(tǒng)之間的好壞，預先*規(guī)定一些特殊的試驗輸入信號，稱為典型信號

*規(guī)定所有的初始狀態(tài)是零狀態(tài)，稱為典型初始狀態(tài)

一、典型試驗信號有四種（階躍函數(shù)，斜坡函數(shù)，脈沖函數(shù)，三角函數(shù)）前三種在本章中用到，第四種在后面章節(jié)講到。1、單位階躍信號unitstepinput: 1t>=0 1（t）＝

0t<0 相應實際情況：電源突然接通，負荷突然加載，指令突然加載L[1(t)]=2、單位斜坡信號unit-rampinput：

0t<0

t1（t）=（簡寫為t）

tt>=0

L[t1(t)]=1/s2h→03、單位脈沖信號unitimpulseinput

：

∞ t=0

δ

(t)= 0 t≠0 L[δ(t)]=14、正弦信號Asinω0t L[Asinω0t]=Aω0/(s2+ω02)試驗信號的選擇原則反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況應使形式盡量簡單，便于分析選擇使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號。 （對系統(tǒng)動態(tài)特性最不利的是階躍信號）

tAsinω0t學大傳播系-廣告學大學里受恩師指點從此脫胎換骨，功力大增二、典型時間響應（輸出）定義：在零初始條件下（典型的初始條件），在典型信號作用下的輸出。1、單位階躍響應TheUnit-StepResponse定義：在單位階躍信號作用下的響應,用h(t)表示已知：C(s)=Φ(s)R(s)，

R(s)=1/s ∴c(t)=h(t)=L-1[Φ(s)/s]2、單位斜坡響應定義：在單位斜坡信號作用下的響應,用c(t)表示

C(s)=Φ(s)*R(s)

R(s)=1/s2 ∴c(t)=L-1[Φ(s)/s2]3、單位脈沖響應：定義：在單位脈沖信號作用下的響應,用g(t)表示

C(s)=Φ(s)*R(s)R(s)=1∴C脈沖(s)=Φ(s)=SC階躍(S)c(t)=g(t)=L-1[Φ(s)]，

*g(t)有著特殊的意義：單位脈沖響應的拉氏變換＝傳遞函數(shù)*實用意義：將脈沖信號輸入系統(tǒng)，測得的響應就是系統(tǒng)的動態(tài)特性（數(shù)學模型）或：將單位階躍信號輸入系統(tǒng)，測得的響應求導就是系統(tǒng)的動態(tài)特性（數(shù)學模型）例：一系統(tǒng)單位脈沖響應如圖，求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。0T1g(t)t解：g(t)

=

1(t)-1(t-T)Φ(S)=L[g(t)]=L[1(t)-1(t-T)]=三、響應的性能指標 以最惡劣的，嚴格的情況——跟蹤階躍輸入的能力為例，來討論控制性能的好壞（從響應來看）

穩(wěn)、準、快三個要求具體用那個參數(shù)恒量？tsh(t)t1參數(shù)：1.上升時間tr

—第一次到達h(∞)的時間2.峰值時間tp—超過穩(wěn)態(tài)到達第一個峰值的時間3.調(diào)節(jié)時間ts—進入±5%h(∞)誤差帶不再超的最小時間（或±3％）4.穩(wěn)態(tài)誤差ess

—階躍響應穩(wěn)態(tài)值與給定值之差

ess=1-h(∞)5.超調(diào)量Mp％—（σ％

）分析：①tp(峰值時間)表示初始段的快速性，

ts表示總的過渡過程持續(xù)時間。

ts

（調(diào)節(jié)時間settlingtime）恒量—快（小，快）②Mp％（超調(diào)量percent

maximumovershoot）恒量—穩(wěn)（小，穩(wěn)）③ess（穩(wěn)態(tài)誤差steadystateerror）恒量—準（小，準）返回§3-2一階系統(tǒng)分析

First-OrderSystem一、數(shù)學模型

定義： 稱為一階系統(tǒng)

或方塊圖：×—1/TsC(S)R(S)1/(Ts+1)R(S)C(S)例：實際系統(tǒng)有：RC網(wǎng)絡系統(tǒng)

系統(tǒng)圖二、單位階躍響應：

一階系統(tǒng)階躍響應指數(shù)曲線，沒有振蕩，T——時間常數(shù)（達到63.2％的時間）T越大，上升越慢減小T，可以提高快速性th(t)1T63.2%三、性能指標：①、t=3T時，h(t)=0.95t=4T時,h(t)=0.98調(diào)節(jié)時間ts=3T(對應5%誤差帶)

或ts=4T(對應2%誤差帶)T越小,ts越小,快速性越好②、ess=1-h(∞)=0無穩(wěn)態(tài)誤差③、Mp

％

=0,無超調(diào)例:結構圖如下:是一階系統(tǒng),對快速性的要求是,在0.1秒之內(nèi)進入誤差帶(即

ts=0.1)看是否滿足要求?如不能,一個怎樣調(diào)整

反饋系數(shù)

H

100/S

0.1-解:①

T=0.1

ts=0.3秒不能滿足②設反饋系數(shù)為H

返回改為H=0.3*至于放大系數(shù)變?yōu)?/H=10/3,相當于串聯(lián)一個K=10/3的放大器，與時間常數(shù)無關。§3-3二階系統(tǒng)分析

Second-OrderSystem電動機，機械動力，小功率系統(tǒng)均為二階系統(tǒng)一、數(shù)學模型定義是標準形式，其中ωn——無阻尼振蕩頻率

ζ——阻尼比[zi:ta]結構圖：

R(s)C(s)CRUrUcL標準化二、單位階躍響應一般討論其中：

是特征方程

characteristicequation

其根

稱為特征根characteristicroot分析：ζ>1（過阻尼overdamped）不等的負實根（不振蕩）ζ=1（臨界阻尼criticallydamped）相等的負實根（不振蕩）0<ζ<1(欠阻尼underdamped)共軛復根（振蕩）三、過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應（ζ>1）

（負實數(shù)）

過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線1*比較：與一階系統(tǒng)不同——有拐點*分析沒有振蕩、超調(diào)，MP=0穩(wěn)態(tài)誤差ess=0快速性：求調(diào)節(jié)時間很困難，采用估算方法（5％誤差帶，ζ>0.69）快四、臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應（ζ=1）th(t)臨界阻尼時二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線與過阻尼情況相似，無振蕩，超調(diào)（ζ

最小極限）實際值：例：小功率隨動系統(tǒng)，結構圖：T=0.1秒，k是開環(huán)增益(Open-loopgain)。R(s)-（開環(huán)增益：系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)中，將最低階分子，分母的系數(shù)換算成1后的放大系數(shù)。如 ,則k=4）

要求，系統(tǒng)單位階躍響應無超調(diào)，ts=1秒（5％誤差帶）求K.解：實際系統(tǒng)化成標準式：

（要求過阻尼系統(tǒng)）

解得：ζ=1.04，ωn=4.8,k=2.3

方法2無超調(diào)應為過阻尼系統(tǒng)，ζ>1，在所有過阻尼中

ζ 1響應最快,試取ζ=1.05

ωn=4.8k=2.3最后校驗：

特征根：

（共軛復根）

——有阻尼振蕩頻率單位階躍響應：五、欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應（0<ζ<1）查拉氏表：

欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應曲線1.性能指標(定量)(1).上升時間

(2).峰值時間:

sinωdt=0

ωdtp=nπ(n取1）

tp=π/ωd(為阻尼振蕩周期的一半）

(3)超調(diào)量：Mp

％

Mp

%100超調(diào)量與阻尼比關系曲線

(4)調(diào)節(jié)時間ts

(過渡過程時間）表達式困難，用查曲線

或估算的方法：估算： ts=3.2/(ζωn)(0<ζ<0.69)

ts=4.5ζ/ωn(ζ>=0.69)(5%誤差）

結論：ζ合適，ωn大，速度快

(5)ess=0

ζ=0.707時的精確值:ts=3/ωn

定性分析：1.平穩(wěn)性

ζ越小，振蕩越大，平穩(wěn)性差

ζ小到=0時，系統(tǒng)

平穩(wěn)振蕩，無法收斂，不能正常運行當ζ一定，ωn越大，振蕩頻率 越大，穩(wěn)定性也越差總結：ζ大，ωn小，平穩(wěn)性好返回(2)快速性.

ζ過大,響應遲,調(diào)節(jié)時間長.ζ過小,振蕩強烈,衰減慢. 0.69---(5%誤差帶)ζ=快速性最好

0.76---(2%誤差帶)

稱ζ=0.707為最佳阻尼比.(3)穩(wěn)態(tài)誤差.當t ∞時,h(t)1,ess=0.大

th(t)總結：除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望系統(tǒng)的瞬態(tài)響應既有充分的快速性（快），又有足夠的阻尼（穩(wěn)）。因此，滿意的二階系統(tǒng)

ζ=0.4——0.8之間，太小振蕩大（即Mp%大），太大響應變得慢。MATLAB是MATrix

LABoratory的縮寫，早期主要用于現(xiàn)代控制中復雜的矩陣、向量的各種運算。由于MATLAB提供了強大的矩陣處理和繪圖功能，很多專家因此在自己擅長的領域用它編寫了許多專門的MATLAB工具包（toolbox），如控制系統(tǒng)工具包（controlsystemstoolbox）；系統(tǒng)辨識工具包（systemidentificationtoolbox）；信號處理工具包（signalprocessingtoolbox）；魯棒控制工具包（robustcontroltoolbox）；最優(yōu)化工具包(optimizationtoolbox）等等。

由于MATLAB功能的不斷擴展，所以現(xiàn)在的MATLAB已不僅僅局限與現(xiàn)代控制系統(tǒng)分析和綜合應用，它已是一種包羅眾多學科的功能強大的“技術計算語言（TheLanguageofTechnicalComputing）”，MATLAB不僅流行于控制界，在機械工程、生物工程、語音處理、圖像處理、信號分析、計算機技術等各行各業(yè)中都有極廣泛的應用。主窗口

附：

畫出(1)（欠阻尼）

(2)

（過阻尼)

(3)（臨界阻尼）

的單位階躍響應曲線。

MATLAB打開MATLAB，在命令窗口中鍵入edit，開始編輯M文件。程序清單如下：

clearall;

closeall;

num=25;

den1=[1325];

den2=[12025];

den3=[11025];

%仿真時間和頻率初始化

t=0:0.05:3;

%系統(tǒng)的階躍響應

y1=step(num,den1,t);

y2=step(num,den2,t);y3=step(num,den3,t);%繪圖subplot(311),plot(t,y1);title('(1)systemstepresponse');xlabel('(1)time-sec欠阻尼');ylabel('(1)response-value');grid;subplot(312),plot(t,y2);title('(2)systemstepresponse');xlabel('(2)time-sec過阻尼');ylabel('(2)response-value');grid;subplot(313),plot(t,y3);title('(3)systemstepresponse');xlabel('(3)time-sec臨界阻尼');ylabel('(3)response-value');grid;§3-4高階系統(tǒng)的動態(tài)特性三階及以上系統(tǒng)稱高階高階系統(tǒng)由于求解C(t)困難，一般采用估算，簡化方法。但前提是：子系統(tǒng)要穩(wěn)定（收斂）一.主導極點(dominantpole)：

離虛軸最近的閉環(huán)極點，其實部絕對值小于其它極點實部1/5，且附近不存在零點，可認為系統(tǒng)的動態(tài)特性主要由此極點決定，稱為主導極點。S1是主導極點，ts=3T=3秒,Mp%=0例：S1S3S2二.偶極子dipole如：*S1附近有零點z1，則抵消S1的作用，稱它們是一對

偶極子注：太靠近原點的偶極子不能抵消習題：已知高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：1.用matlab求該系統(tǒng)的單位階躍響應性能參數(shù)。2.求其近似低階系統(tǒng)，手工計算階躍響應性能并與1.的結果進行比較分析?！?-5

穩(wěn)定性分析

StabilityofLinearControlSystems一、穩(wěn)定的一般概念

如果控制系統(tǒng)受到一個外界擾動，不論它的初始偏差多少，當擾動取消后，能以足夠準確度回到初始平衡位置，這種系統(tǒng)稱穩(wěn)定系統(tǒng)，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

平衡狀態(tài)穩(wěn)定性示意圖穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡系統(tǒng)穩(wěn)定于否，取決于結構參數(shù)，與輸入及初始條件無關。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能。所以分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，是設計系統(tǒng)的重要任務。

二、數(shù)學分析

R(s)C(s)GH-(n>m，初始為0)Si：n個特征根D(s)=0——稱特征方程，通式:

輸入信號拉氏變換通式：（任意數(shù)）輸出

輸出

第一項稱零狀態(tài)響應（穩(wěn)態(tài)分量），由輸入決定。第二項稱零輸入響應（瞬時、暫態(tài)分量），由結構參數(shù)決定。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須

σ>0

（1）當Si=σi(實根）σ=0 σ<0 討論 結論：從圖上看，σ<0時，收斂穩(wěn)定

（2）當 （復根）結論：σ<0時，收斂，穩(wěn)定

σ>0時，發(fā)散，不穩(wěn)定σ<0σ>0結論：（1）特征方程的所有特征根實部為負（落在復平面的左邊），系統(tǒng)穩(wěn)定。

（2）特征方程有特征根實部為正（ 落在復平面的右邊），系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）特征方程有特征根實部為零，屬于臨界狀態(tài)，也屬于不穩(wěn)定。

例：判斷下列單位負反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

當K>40

時，系統(tǒng)穩(wěn)定二、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：三階以上，如用解方程法判穩(wěn)定,求解復雜（分解困難）根據(jù)特征多項式D(s)直接判系統(tǒng)的穩(wěn)定，稱代數(shù)判據(jù)勞斯判據(jù)Routh’s

criterion

赫爾維茨判據(jù)Krai’ti?ri?n

特征多項式：

勞斯判據(jù) ：

穩(wěn)定充要條件是（1）ai>0

(不能缺項，每項系數(shù)都必須大于0）（2）勞斯表(Routhtabulation)表中第一列

a0,a1,b1,c1……>0

Sna0a2a4…Sn-1a1a3a5…Sn-2

b1b2b3…Sn-3

c1c2c3…..S0

…

………………………………S311S232S11/30S020

系統(tǒng)穩(wěn)定例1：D(s)=S3+3S2+S+2

例2：單位負反饋系統(tǒng),求K的取值范圍（穩(wěn)定域）：當0<k<14,系統(tǒng)穩(wěn)定(1)a0=0.025>0,a1=0.35>0,a2=1>0,a3=k>0c1=a3(2)打開MATLAB，在命令窗口中鍵入edit，開始編輯M文件。程序清單如下：den=[12812201616];r=roots(den);r運行該程序，會在命令窗口中輸出r的值，這個值就是方程的根。求得此特征方程的根為-0.0000+2.0000i-0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i所以可以判斷出此控制系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

例3

某控制系統(tǒng)特征方程為

，判斷此控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

MATLAB例：改進結構不穩(wěn)定系統(tǒng)方法：引入比例微分（PD）控制環(huán)節(jié)-

τ

s+1穩(wěn)定條件：

(1)

(2)

當σ

<0,且離虛軸越遠越穩(wěn)，

希望Si在左半平面與虛軸有一定的距離a

稱要求穩(wěn)定度＝a，怎樣才能保證達到這個要求？

-a方法：用S1－a代入S:上例：要求a＝1，即：要求根全部落在距離虛軸1之外的區(qū)域三、判穩(wěn)定度（穩(wěn)定裕量）：（相對穩(wěn)定性分析）再求k的范圍§3-6穩(wěn)態(tài)誤差分析

TheSteadyStateErrorofSystem

誤差e（t）＝希望值－實際值-C(t)G1(s)G2(s)r(t)定義：穩(wěn)態(tài)誤差一.只有r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差esr(n(t)=0)——給定穩(wěn)態(tài)誤差1.-C(t)G1(s)G2(s)r(t)E(S)=R(S)-B(S)=R(S)-C(S)H(S)=R(S)-R(S)Φ(S)H(S)=R(S)[1-G1G2H/(1+G1G2H)]

=R(S)/(1+G1G2H)esr=2、系統(tǒng)的型別（type)及靜態(tài)誤差系數(shù)

——R（s）作用下的誤差傳遞函數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)通式

問：二階系統(tǒng)幾型？型別0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)R(s)C(s)Kp——位置誤差系數(shù)，是階躍輸入時的精度指標，