第4章 初等模型

第4章初等模型4.1公平的席位分配4.2雙層玻璃窗的功效4.3汽車剎車距離4.4劃艇比賽的成績4.5實物交換4.6核軍備競賽4.7啟帆遠航4.8量綱分析與無量綱化4.1

公平的席位分配系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因學生轉系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席,若增加1席,問應分給A,還是B?不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2

，即對A不公平

~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總人數(shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi

/P,i=1,2,…,m,ni

應是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=

ni

(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應ni=qi

qi=Npi

/P不全為整數(shù)時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni

必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1)，但不滿足2)Q值方法滿足2),但不滿足1)。令人遺憾！2d墻室內

T1室外

T2dd墻l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導,沒有對流;T1,T2不變,熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài);材料均勻,熱傳導系數(shù)為常數(shù);建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數(shù)4.2

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導系數(shù)k2~空氣的熱傳導系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2

,

而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大4.3

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后車與前車的距離應增一個車身的長度。實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經過某一標志開始默數(shù)

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學模型,尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應距離制動距離司機狀況制動系統(tǒng)靈活性常數(shù)假設與建模

1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質量m成正比反應時間t1的經驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計

利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）12344.4

劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數(shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關系。試建立數(shù)學模型揭示這種關系。問題準備調查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數(shù)量

艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定運用合適的物理定律建立模型模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數(shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9np

fv模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！(10周5)問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??4.5

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,

線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如

p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線(無數(shù)條)。p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：

單調減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同）

雙方的交換路徑乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB(交換路徑)上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x4.6

核軍備競賽冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”,核軍備競賽不斷升級。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。背景以雙方(戰(zhàn)略)核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；

乙方在經受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設圖的模型y=f(x)~甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù)x=g(y)~乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù)當x=0時y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實行第一次打擊后已經沒有導彈,乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(雙方最少導彈數(shù))乙安全線精細模型乙方殘存率

s~甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。sx個基地未摧毀，y–x個基地未攻擊。x<y甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個基地中的x個,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個被攻擊2次，s2(x–y)個未摧毀；y–(x–y)=2y–x個被攻擊1次，s(2y–x)個未摧毀y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2

a~交換比(甲乙導彈數(shù)量比)x=ay,精細模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡s變大，y減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,甲方增加經費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標乙方威懾值y0變大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。（其它因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋

平衡點PP′甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0和交換比不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋

甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少PP′雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(x

,y仍為雙方核導彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小

y下移且變平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a變大y增加且變陡雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析模型解釋

乙安全線y=f(x)帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向。簡化問題AB

風向北航向帆船海面上東風勁吹，設帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，帆以及帆的朝向4.7

啟帆遠航w=w1+w2w1w2

wp模型分析風(