第6章 第四節(jié) 定積分的應(yīng)用1

第四節(jié)定積分的應(yīng)用4.1微元法基本思想4.2定積分的幾何應(yīng)用4.3定積分的物理應(yīng)用2/1/20231南京郵電大學(xué)邱中華表示為1、什么問(wèn)題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對(duì)區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過(guò)“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義一個(gè)整體量;一、微元法的基本思想2/1/20232南京郵電大學(xué)邱中華

平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，然后把dA在[a,b]上作定積分，這就是所說(shuō)的微元法或元素法。abxyo應(yīng)用方向：2、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題?元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等2/1/20233南京郵電大學(xué)邱中華3.應(yīng)用微元法的一般步驟：(1)根據(jù)具體問(wèn)題，選取一個(gè)變量x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a,b]；(2)在

[a,b]上，任取一小區(qū)間[x,x+dx]；2/1/20234南京郵電大學(xué)邱中華二、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右圖所示圖形面積為2/1/20235南京郵電大學(xué)邱中華例1.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有2/1/20236南京郵電大學(xué)邱中華一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積2.參數(shù)表示的情形2/1/20237南京郵電大學(xué)邱中華例2.求橢圓解:

利用對(duì)稱(chēng)性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式2/1/20238南京郵電大學(xué)邱中華3.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為2/1/20239南京郵電大學(xué)邱中華2/1/202310南京郵電大學(xué)邱中華例3.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱(chēng)性,所求面積2/1/202311南京郵電大學(xué)邱中華例4.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對(duì)稱(chēng)性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:2/1/202312南京郵電大學(xué)邱中華三、立體的體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),1.平行截面面積已知的立體的體積2/1/202313南京郵電大學(xué)邱中華例5.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.2/1/202314南京郵電大學(xué)邱中華考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有2.旋轉(zhuǎn)體的體積2/1/202315南京郵電大學(xué)邱中華例6.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:將方程改寫(xiě)為則(利用對(duì)稱(chēng)性)2/1/202316南京郵電大學(xué)邱中華例7.

圓

繞x=-b(0<a<b)旋轉(zhuǎn)一周所生成立體的體積。

解

建立坐標(biāo)系

-bOaxy2/1/202317南京郵電大學(xué)邱中華四、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)則稱(chēng)2/1/202318南京郵電大學(xué)邱中華(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)2/1/202319南京郵電大學(xué)邱中華(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)2/1/202320南京郵電大學(xué)邱中華(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小。2/1/202321南京郵電大學(xué)邱中華例8.求拋物線被圓所截下的有限部分的弧長(zhǎng)。解：Oyx2/1/202322南京郵電大學(xué)邱中華例9.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).2/1/202323南京郵電大學(xué)邱中華五、曲率及曲率半徑在光滑弧上自點(diǎn)M

開(kāi)始取弧段,其長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)切線定義弧段上的平均曲率點(diǎn)

M

處的曲率注意:

直線上任意點(diǎn)處的曲率為0!轉(zhuǎn)角為2/1/202324南京郵電大學(xué)邱中華例10.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見(jiàn):R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.2/1/202325南京郵電大學(xué)邱中華有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率K的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由2/1/202326南京郵電大學(xué)邱中華曲率圓與曲率半徑設(shè)M

為曲線C

上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點(diǎn)M

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D

使2/1/202327南京郵電大學(xué)邱中華六、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動(dòng)到力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間

上所作的功為2/1/202328南京郵電大學(xué)邱中華例11.體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a

處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣2/1/202329南京郵電大學(xué)邱中華例12.半徑為R的球沉入水中,球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出,需作多少功？相應(yīng)于區(qū)間[x，x+dx]的球體中的薄片的體積約為當(dāng)球體恰好露出水面時(shí)，這一薄片在水面以上移動(dòng)的路程為R+x，解：建立如圖所示坐標(biāo)系克服重力做功為OxR+xx水面x+dx由于球的比重與水相同，則這部分的球由x提升到水面不做功奇函數(shù)2/1/202330南京郵電大學(xué)邱中華面積為A的平板七、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??2/1/202331南京郵電大學(xué)邱中華小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例13.

的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對(duì)稱(chēng)性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為2/1/202332南京郵電大學(xué)邱中華說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿(mǎn)液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)2/1/202333南京郵電大學(xué)邱中華例14.一底為10cm,

高為6cm的等腰三角形薄片,鉛直地沉入水中,頂在上,底邊在下且與水面平行,而頂離水面3cm,試求它的一個(gè)側(cè)面所受的水壓力。解：建立坐標(biāo)系如圖所示。直線AB的方程為xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy2/1/202334南京郵電大學(xué)邱中華八、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,則需用積分解決.2/1/202335南京郵電大學(xué)邱中華課堂練習(xí)解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.又故在區(qū)域2/1/202336南京郵電大學(xué)邱中華設(shè)平面圖形A

由與所確定,求圖形A

繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.提示：選x為積分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為2.若選

y為積分變量,則2/1/202337南京郵電大學(xué)邱中華提示:

作x軸如圖.3.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過(guò)程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問(wèn)克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由