第6章 梁的變形

材料力學(xué)第6章梁的變形姓名：魯曉俊單位：武昌理工學(xué)院第6章梁的變形6.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角6.2直梁撓曲線近似微分方程6.3用積分法求梁的變形6.4用疊加方法求梁的變形6.5梁的剛度條件6.1.1研究梁變形的目的6.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角研究范圍：梁在平面彎曲時(shí)的位移（繞度和轉(zhuǎn)角）計(jì)算。研究目的：⑴對(duì)梁作剛度校核

⑵解超靜定梁（變形協(xié)調(diào)條件作為補(bǔ)充方程）

⑶為研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題提供必要的理論基礎(chǔ)

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì),

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交變彎后的梁軸，稱為撓曲軸研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題提供有關(guān)基礎(chǔ)6.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角6.1.2撓度和轉(zhuǎn)角－撓度—轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉(zhuǎn)角－橫截面的角位移－轉(zhuǎn)角方程（rad）（小變形）正負(fù)號(hào)與坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)相同順為正，逆為負(fù)6.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角（純彎）（推廣到非純彎）

y－彎矩引起的撓度

smax

<sp－撓曲軸微分方程6.2直梁撓曲線近似微分方程小變形時(shí)：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標(biāo)軸y向下應(yīng)用條件：6.2直梁撓曲線近似微分方程根據(jù)撓曲線的近似微分方程：約束處位移應(yīng)滿足的條件梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件－位移邊界條件－位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)6.3用積分法求梁的變形例題6.1有一受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，EI為常數(shù)。試求此梁的最大撓度ymax（通常用符號(hào)f表示）以及兩端截面的轉(zhuǎn)角qA和qB。解（1）列梁撓曲線近似微分方程彎矩方程：

即得梁的撓曲線近似微分方程支座反力：6.3用積分法求梁的變形（2）積分將上式連續(xù)積分兩次，可分別得到（3）確定積分常數(shù)邊界條件為：和

（1）

（2）

當(dāng)x=0時(shí)，y=0；可得當(dāng)x=l時(shí)，y=0。6.3用積分法求梁的變形轉(zhuǎn)角方程為撓度方程為(4)求ymax、qA、qB：即處撓度最大（3）（4）

（1）

（2）

正號(hào)表示ymax的方向與y軸正方向相同，即向下。6.3用積分法求梁的變形將x=0代入式（3），得代入式（3），得負(fù)號(hào)表示qB為反時(shí)針轉(zhuǎn)向。轉(zhuǎn)角方程為撓度方程為（3）（4）

正號(hào)表示為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。6.3用積分法求梁的變形例題6.2承受集中荷載P的簡(jiǎn)支梁如圖所示，EI為常數(shù)，試求此梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并求最大撓度ymax（f）。解（1）求轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：6.3用積分法求梁的變形（2）確定積分常數(shù)利用邊界條件x1=0，y1=0；x2=l，y2=0變形連續(xù)條件6.3用積分法求梁的變形(3)求最大撓度設(shè)

;當(dāng)x1=0時(shí)，；當(dāng)時(shí)x1=a時(shí)，故在AC段內(nèi)必存在的位置，即最大撓度f(wàn)的位置。最大撓度6.3用積分法求梁的變形[討論]當(dāng)集中力P的作用點(diǎn)越靠近B支座，即b值越小或時(shí)，在這種極端情況下，最大撓度位置x1為：中點(diǎn)的撓度當(dāng)集中力P作用于跨度中點(diǎn)時(shí)，

6.3用積分法求梁的變形（2）積分常數(shù)的物理意義上式表明，對(duì)于等截面梁（其抗彎剛度EI=常量），積分常數(shù)C等于梁坐標(biāo)原點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角與抗彎剛度EI的乘積的負(fù)值。在x=0處

同理在x=0處積分式恒為零積分常數(shù)D等于梁在坐標(biāo)原點(diǎn)處撓度與抗彎剛度EI乘積的負(fù)值。6.3用積分法求梁的變形由于坐標(biāo)原點(diǎn)經(jīng)常取在梁左端，故當(dāng)左端為固定端時(shí)，恒有對(duì)于兩端鉸支或只有右端外伸的外伸梁，恒有6.3用積分法求梁的變形分為n段，則有：關(guān)于對(duì)撓曲線近似微分方程積分，若彎矩方程(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端，各段梁的彎矩方程均由截面左端梁段的外力列出；(2)M(x)方程所含因子（x-a）的各項(xiàng)沒(méi)有展開，而將（x-a）作自變量進(jìn)行積分，則所得兩段的積分常數(shù)必然對(duì)應(yīng)相等，C1=C2，

D1=D2。同理，若彎矩方程分為n段，則撓曲線方程也相應(yīng)地分為n段，這時(shí)出現(xiàn)的2n個(gè)積分常數(shù)，也必然存在······這樣只需利用邊界條件確定兩個(gè)積分常數(shù)就可以了。6.3用積分法求梁的變形方法分解載荷分別計(jì)算位移求位移之和當(dāng)梁上作用幾個(gè)載荷時(shí)，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和6.4用疊加方法求梁的變形理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內(nèi)）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內(nèi)6.4用疊加方法求梁的變形分解梁分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，其余梁段視為剛體6.4用疊加方法求梁的變形例

1q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求yB=?解：()()6.4用疊加方法求梁的變形例題6-3試按疊加法求出圖所示梁中點(diǎn)C的撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角。

6.4用疊加方法求梁的變形例

2解：()()()6.4用疊加方法求梁的變形例

3圖示組合梁，EI=常數(shù)，求

yB

與qA()()解：6.4用疊加方法求梁的變形例

4圖示剛架，求截面

C的鉛垂位移解：6.4用疊加方法求梁的變形例題6-5圖所示一個(gè)二跨連續(xù)梁（超靜定梁）ABC，受均布荷載作用，試作它的剪力Q圖和彎矩M圖。變形協(xié)調(diào)條件為yB=0，建立補(bǔ)充方程6.4用疊加方法求梁的變形最大位移控制土建工程方面:機(jī)械制造工程方面，對(duì)主要的軸:6.5梁的剛度條件一、梁的剛度條件使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀。例如工字形與盒形等薄壁截面。橫截面形狀的合理選擇梁的抗彎剛度：EI其中：I—慣性矩6.5梁的剛度條件二、梁的合理剛度設(shè)計(jì)對(duì)比計(jì)算：例：令矩形截面寬b=20cm，h=34cm，求當(dāng)工字形截面與矩形截面具有相同慣性矩時(shí)，兩者面積比。矩形：工字形：查型鋼表選56a熱軋工字鋼，則即：節(jié)省80%材料6.5梁的剛度條件對(duì)比計(jì)算：例：令矩形截面寬b=40mm，h=77mm，若當(dāng)工字形截面與矩形截面面積相同，比較兩者的慣性矩。矩形：工字形：選18號(hào)熱軋工字鋼，則即：工字形截面I是矩形截面I的10.9倍6.5梁的剛度條件材料的合理選擇為提高梁的抗彎剛度，宜選用E較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同梁的抗彎剛度：EI其中：E—彈性模量6.5梁的剛度條件

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變例如:l

縮短

20％，ymax

將減少

48.8%6.5梁的剛度條件合理安排約束與加載方式q=F/l6.5梁的剛度條件例題6-6有一長(zhǎng)度l=4m的懸臂梁，在自由端承受集中力P＝10kN（如圖），試按強(qiáng)度條件及剛度條件從型鋼表中選擇一工字形截面。已知，。解（1）按強(qiáng)度條件選擇截面選用20a號(hào)工字