第6章力系的簡化

第6章力系的簡化6.1力的平移定理6.2一般力系向某點(diǎn)的簡化6.3一般力系的最簡形式6.4特殊力系的簡化

6.4.1平面力系的簡化

6.4.2平行力系的簡化作業(yè)6.16.36.56.104學(xué)時(shí)1在工程實(shí)際中，一個(gè)剛體的受力往往是比較復(fù)雜的，為了便于了解力系對剛體總的作用效應(yīng)，常常要用一個(gè)簡單的與之等效的力系進(jìn)行替換，稱為力系的簡化。本章主要內(nèi)容第6章力系的簡化學(xué)習(xí)本章的意義力系的簡化在研究剛體在力系作用下的平衡條件或運(yùn)動規(guī)律時(shí)具有十分重要的意義。2第6章力系的簡化§6.1

力的平移定理問題的提出：作用于同一剛體上的力是一個(gè)滑移矢量；作用于同一剛體上的力偶的力偶矩是一個(gè)自由矢量；力偶矩矢量可以在同一剛體內(nèi)作任意的平移，都不會影響力偶對剛體的作用效應(yīng)。那么，力矢量能否隨意地平移呢？若不能，則需要附加什么條件，才能保證力矢量平移后對剛體的作用效應(yīng)保持不變呢？下面就來研究這一問題。3力的平移定理若將作用于剛體上的力平移至同一剛體上不在力的作用線上的其他點(diǎn)，則必須增加一個(gè)附加力偶，其力偶矩等于原力對平移點(diǎn)之矩，這樣才能保證對剛體的作用效應(yīng)相同?；蛘哒f，原來作用于點(diǎn)A的力可以分解為作用于同一剛體上點(diǎn)O的一個(gè)力和作用于這個(gè)剛體上的一個(gè)力偶，而且作用于點(diǎn)O的這個(gè)力的力矢與原作用于點(diǎn)A的力的力矢相等，作用于剛體上的這個(gè)力偶的力偶矩等于原力對點(diǎn)O的矩。顯然，這個(gè)力偶的力偶矩垂直于由點(diǎn)O與原力的作用線所作出的平面。4力的平移定理的逆定理當(dāng)作用于剛體上某點(diǎn)O的某個(gè)力與作用于同一剛體的某個(gè)力偶的力偶矩垂直時(shí)，該力和力偶可以合成為一個(gè)力。

的力矢與相同，其作用線需將的作用線平移，平移的垂直方向?yàn)槠揭频拇怪狈较驗(yàn)槠揭频拇怪本嚯x為即力和力偶矩為的力偶可以合成為一個(gè)作用線過點(diǎn)B，其大小和方向與相同的合力，且5力螺旋的概念方向一致方向一致右手力螺旋左手力螺旋6§6.2

一般力系向某點(diǎn)的簡化一般力系向某點(diǎn)簡化作用于同一剛體上點(diǎn)上點(diǎn)O為剛體上任一確定點(diǎn)，根據(jù)力的平移定理，將力系中各力均向點(diǎn)O平移，得到共點(diǎn)力系作用于點(diǎn)O力偶系(6.1)(6.2)結(jié)論：一般力系可簡化為過點(diǎn)O的一個(gè)力和力偶矩為的一個(gè)力偶。通常，稱點(diǎn)O為力系的簡化中心，而將以上過程稱為一般力系向點(diǎn)O的簡化。7力系的第一不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)O、A簡化，得到(6.3)上式表明：力系的主矢與簡化中心無關(guān)，稱為力系的第一不變量。力系的第二不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)O、A簡化，得到(6.4)(6.5)由力系對不同兩點(diǎn)的主矩關(guān)系知8則(6.6)上式表明：力系的主矢與主矩的點(diǎn)積是不隨簡化中心的不同而改變的（此時(shí)主矩的矩心一般不寫），將稱為力系的第二不變量。9固定端約束的約束力的表示方法作為一般力系向某點(diǎn)簡化理論的應(yīng)用，可以說明固定端約束的約束力的表示方法。當(dāng)物體的一端受到另一物體的固結(jié)作用，不允許它們在約束處發(fā)生任何相對平移和轉(zhuǎn)動時(shí)，稱這種約束為固定端約束。(a)(b)(c)(d)10平面一般力系懸臂梁若物體的一端不受其他物體的任何約束，則稱該端為自由端。在工程實(shí)際中，將一端為固定端，另一端為自由端的梁（會發(fā)生彎曲變形的桿件）稱為懸臂梁。平面固定端約束11§6.3

一般力系的最簡形式空間一般力系向任一點(diǎn)O簡化：空間一般力系向任一點(diǎn)O簡化得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。力的作用線過簡化中心，其力偶的力偶矩與該力系對簡化中心的主矩，即和的不同情況可分為以下幾種情形：(1)平衡力系：力系為零力系，即平衡力系；(2)合力偶：力系可簡化為一個(gè)力偶——合力偶，其力偶矩為；(3)合力：力系可簡化為一個(gè)過簡化中心的合力，其力矢與力系主矢相同；12作用線過點(diǎn)B力矢與力系主矢相同的合力。①力系的第二不變量(4)有兩種情況：力系可進(jìn)一步簡化為“合力”：建立直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)為作用線任一點(diǎn)，則合力作用線方程為(6.7)或由得到(6.8)13當(dāng)與反向，即②力系的第二不變量此時(shí)又分為兩種情況此時(shí)力系不能進(jìn)一步簡化了。(a)力螺旋該力系由一個(gè)力和在與該力垂直平面內(nèi)的一個(gè)力偶所組成，通常稱之為力螺旋。右手力螺旋：當(dāng)與同向，即(a)(b)左手力螺旋：力螺旋中力的作用線稱為力螺旋的中心軸。不難證明，力螺旋可以與兩個(gè)大小相等的異面力等效。力螺旋的舉例：在工程實(shí)際中的力螺旋有許多應(yīng)用，手?jǐn)Q螺釘，右手螺旋；飛機(jī)螺旋槳，左手螺旋。14(a)(b)與不平行：（沿主矢方向的分量）（垂直于方向的分量）設(shè)

的量綱為長度，且，稱

為力螺旋參數(shù)。力螺旋參數(shù)是一個(gè)完全由力系的第一不變量和第二不變量確定的量，稱為力系的第三不變量。(b)15顯然，和過點(diǎn)O的一個(gè)力（）可進(jìn)一步簡化為作用線過點(diǎn)B的一個(gè)力，其力矢與相同，于是，力系簡化為由力與力偶矩為的力偶組成的力螺旋。建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則該力螺旋的中心軸[設(shè)為其上任一點(diǎn)]方程為(6.9)或由，而得到(6.10)16空間一般力系的最簡形式：綜上所述，可歸納如下：一般力系的簡化的最簡形式主矢主矩第二不變量力系最簡形式平衡合力偶合力合力力螺旋表明：

和完全確定了力系簡化的最簡形式，它們是力系的兩個(gè)極其重要的特征量。17一般力系的合力矩定理假設(shè)某個(gè)一般力系可合成為一個(gè)合力，其作用線通過點(diǎn)C，根據(jù)力系的簡化理論(6.11)(6.12)(6.13)(6.14)(6.15)(6.16)18若一個(gè)一般力系存在合力，則其合力對任一點(diǎn)的矩等于此力系各分力對該點(diǎn)的矩的矢量和。存在合力的一般力系，其合力對某軸的矩等于此力系各分力對該軸的矩的代數(shù)和。上式表明：以上性質(zhì)稱為一般力系的合力矩定理。19§6.4

特殊力系的簡化平面力系平面力系是各力作用線均在同一平面內(nèi)的力系。平行力系平行力系是各力作用線均平行的力系。空間平行力系平面平行力系6.4.1平面力系的簡化平面力系向其作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡化的結(jié)果，取決于平面力系的簡化是一般力系的簡化的一種特殊情況。（必在平面力系的作用面內(nèi)）（必垂直于平面力系的作用面）力系的對簡化中心O的主矩力系的主矢平面力系的第二不變量這說明平面力系簡化的最簡形式只有平衡，合力偶和合力三種情形。20平面力系的合力作用線：當(dāng)平面力系的第一不變量時(shí)，力系存在合力的非平衡情形。合力的力矢合力的作用線可用如下方法求得：(1)平面力矩(2)平面力矩的轉(zhuǎn)向規(guī)定根據(jù)右手螺旋法則，若規(guī)定某一轉(zhuǎn)向所對應(yīng)的方向?yàn)槠矫媪氐恼较?，平面力系中各力對點(diǎn)O的矩恒垂直于平面力系的作用平面，稱它們?yōu)槠矫媪亍t對點(diǎn)O的矩用一個(gè)代數(shù)量來表示，大小為表示其轉(zhuǎn)向與規(guī)定的正轉(zhuǎn)向一致；表示其轉(zhuǎn)向與規(guī)定的正轉(zhuǎn)向相反。轉(zhuǎn)向?yàn)橛谑?1且使由至的轉(zhuǎn)向與平面力矩所規(guī)定的正轉(zhuǎn)向一致，若在平面力系的作用面內(nèi)以簡化中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy，(6.17)(3)平面力系的合力作用線方程則合力作用線方程為226.4.2平行力系的簡化平行力系：力系各力作用線都相互平行的力系為平行力系。平行力系的簡化是一般力系簡化的另一種特殊情形。平行力系的最簡形式平行力系的主矢平行力系對空間任一確定點(diǎn)O的主矩(6.18)(6.19)(6.20)(6.21)上式表明：平行力系的第二不變量為零，平行力系的最簡形式只有平衡、合力偶和合力三種情形。23平行力系的簡化與平行力系的中心(1)平行力系的合力(2)平行力系的合力矩當(dāng)平行力系的主矢時(shí)，該力系必存在合力，合力的力矢平行力系各力作用點(diǎn)相對于點(diǎn)O的矢徑；平行力系合力作用線上任意一點(diǎn)C相對于點(diǎn)O的矢徑，根據(jù)平行力系的合力對其作用線上的點(diǎn)C的矩為零及由力系的等效性質(zhì)知，平行力系的合力的矩等于各分力的矩的矢量和，有(6.22)24(3)平行力系的中心若取力作用線的某一指向?yàn)檎?，其單位矢量為，則(6.23)將上式代入式(6.22)得到(6.24)當(dāng)平行力系的各力大小和作用點(diǎn)保持不變，但各力的作用線繞同向軸轉(zhuǎn)過任意相同的角度后（體現(xiàn)在方向的任意性上），由式(6.24)可確定一個(gè)唯一的固定不變的點(diǎn)C，滿足(6.25)這個(gè)固定不變的點(diǎn)C稱為平行力系的中心。平行力系的中心相對于點(diǎn)O的矢徑公式25(4)平行力系的中心的坐標(biāo)公式(5)結(jié)論若在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則平行力系的中心的坐標(biāo)公式為(6.26)只要求得平行力系的中心位置，則平行力系的合力作用線的位置也就確定了?？傊羝叫辛ο档闹魇?，則平行力系存在合力，且合力必過平行力系的中心，其力矢與相同。266.4.3平行力系的簡化理論在工程中的兩個(gè)應(yīng)用(1)物體的重心、質(zhì)心和形心計(jì)算物體的重心是平行力系簡化在工程中的一個(gè)具體應(yīng)用。物體的重力系是同向的平行力系，顯然其主矢不為零，一定存在合力。物體的重力系的合力稱為物體的重力，物體重力的中心稱為物體的重心。①物體的重心整個(gè)物體所受的重力可等效于全部都集中在其重心上。物體重心矢徑公式物體重心坐標(biāo)公式：假設(shè)：為某一物體的體積；為該物體微元體的體積；為物體的密度；為重力加速度的大??；則微元體的質(zhì)量為，微元體受到的重力的大小為。27有限大小的物體，其上各點(diǎn)處的重力加速度可以認(rèn)為是相等的。則由式(6.25)、(6.26)可得物體重心矢徑和坐標(biāo)公式為(6.27)(6.28)②物體的質(zhì)心和物質(zhì)的形心通常，有限大小的物體的重心位置與重力加速度無關(guān)，它只是反映物體質(zhì)量分布特征的一個(gè)幾何點(diǎn)。物體質(zhì)量分布的中心稱為物體的質(zhì)心。在均勻重力場中，物體的重心與質(zhì)心重合。應(yīng)該指出，質(zhì)心單純地由質(zhì)量分布所決定，而重心只在重力場中才有意義。28當(dāng)，即物體是均質(zhì)時(shí)，式(6.27)、(6.28)可寫為(6.29)(6.30)以上兩式表明，均質(zhì)物體的重心位置完全由物體的幾何形狀所決定，物體幾何形狀的中心稱為物體的形心，對均質(zhì)物體，其重心和形心重合。均質(zhì)平板的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對于面積為A的均質(zhì)平板，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫為(6.31)(6.32)對于工程中常見的等厚、均質(zhì)薄殼，其厚度可看成趨于零，可用式(6.31)、(6.32)求重心的矢徑和坐標(biāo)。29均質(zhì)細(xì)長桿的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對于長度為l的均質(zhì)細(xì)長桿，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫為(6.33)(6.34)對于工程中常見的等截面均質(zhì)細(xì)長線條物體，其橫截面積可看成趨于零，可用式(6.33)、(6.34)求重心的矢徑和坐標(biāo)。工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法：任何物體的重心均可利用重心的積分公式求得。但在很多情況下，其積分運(yùn)算比較麻煩，甚至是相當(dāng)困難的。下面介紹工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法。①查表法工程中許多物體都具有簡單的幾何形狀，其重心可通過工程手冊直接查得。在本教材的P335~338的附錄II列出了幾種常見規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)物體的重心公式。30②對稱性法凡是具有質(zhì)量對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)的物體，其重心必在對稱