第七章彎曲變形 第一節(jié)積分法

一、工程實例（Exampleproblem）第七章彎曲變形第一節(jié)引言車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.二、梁對稱彎曲時的變形對稱彎曲時，梁的軸線彎成一條光滑連續(xù)的平面曲線。該曲線稱為梁的撓曲線建立圖示坐標系，彎曲變形所導致的梁橫截面的位移可橫截面形心的豎向線位移，為撓曲線的縱坐標

w，1.撓度（線位移）即規(guī)定上正下負；用兩個參量來描述

——撓曲線方程橫截面繞中性軸轉動的角度，2.轉角（角位移）記作

，規(guī)定逆時針旋向為正，反之為負第二節(jié)撓曲線近似微分方程一、梁的撓曲線（中性層）曲率式中，EIz稱為梁的抗彎剛度橫力彎曲時,M

和都是x的函數，略去剪力對梁的位移的影響,則二、梁的撓曲線近似微分方程高等數學中的曲率計算公式OxwxOw

此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）

近似原因:（1）略去了剪力的影響;

（2）略去了

項;與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為◆轉角方程◆撓曲線方程第三節(jié)計算彎曲變形的積分法說明：1）若彎矩方程

M(x)

為分段函數，積分則應分段進行；2）積分常數由梁的位移邊界條件以及位移連續(xù)條件確定二、確定位移邊界條件[例1]圖示懸臂梁，自由端承受集中力

F

作用，試建立梁的轉角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎剛度

EI

為常數。1）列彎矩方程解：2）建立轉角方程和撓曲線方程對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉角方程再積分一次，得撓曲線方程3）確定積分常數該梁的位移邊界條件為解得積分常數故得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為4）計算最大撓度和最大轉角由梁的變形圖易見，梁的最大撓度和最大轉角均發(fā)生于x=l

的自由端面

B

處，故得最大撓度：最大轉角：[例2]圖示簡支梁，在截面

C

處受集中力

F

作用，試建立梁的轉角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉角。設梁的抗彎剛度

EI

為常數。1）列彎矩方程解：支座反力分段列彎矩方程AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）分段積分，得轉角方程和撓曲線方程分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）2）建立轉角方程和撓曲線方程3）確定積分常數位移邊界條件：位移連續(xù)條件：根據上述條件求得四個積分常數分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）所以，最終梁的轉角方程和撓曲線方程分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）4）計算最大轉角和最大撓度假設

a

＞

b，可得梁的最大轉角AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）最大撓度[例3]圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其

和

ABql解:由對稱性可知ABqlFRAFRBx

此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件x=0和x=l時,

xABqlFRAFRBAB