隨機(jī)-過(guò)程譜分析

第三章

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

頻域分析我們知道，傅里葉變換建立了時(shí)域和頻域之間的關(guān)系，對(duì)于確定性信號(hào)，應(yīng)用傅里葉變換可以使線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析變得簡(jiǎn)單，因?yàn)闀r(shí)域卷積對(duì)應(yīng)于頻域相乘。問(wèn)題：對(duì)于隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，可否用頻域分析方法呢？回答：隨機(jī)信號(hào)仍然可以應(yīng)用傅里葉變換，但是需要根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的特點(diǎn)構(gòu)建新的時(shí)域、頻域物理量，同樣可以使隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析大大簡(jiǎn)化。

3.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析

2023/2/1一預(yù)備知識(shí)1傅里葉變換設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)

滿足

在范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件

絕對(duì)可積，即

信號(hào)的總能量有限，即有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限值2023/2/1則的傅里葉變換為：

其反變換為：

稱為的頻譜。包含：振幅譜相位譜2023/2/12帕塞瓦（Parseval）等式即能譜密度信號(hào)總能量2023/2/163.2隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

由于隨機(jī)過(guò)程的持續(xù)期無(wú)限長(zhǎng)，其樣本函數(shù)不滿足絕對(duì)可積和能量有限條件，因此傅里葉變換不存在，但是，樣本函數(shù)的功率是有限的對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，傅里葉變換不存在，無(wú)法分析頻譜，能量無(wú)限，無(wú)法分析能譜，但是功率是有限的，因此研究隨機(jī)過(guò)程的功率譜是有意義的。信號(hào)能量的時(shí)間平均2023/2/173.2隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

截取函數(shù)：

為了將傅里葉變換應(yīng)用于隨機(jī)過(guò)程，對(duì)樣本函數(shù)進(jìn)行截取，使其滿足可積和能量有限條件

2023/2/18當(dāng)x(t)為有限值時(shí)，的傅里葉變換存在

應(yīng)用帕塞瓦等式

注：樣本函數(shù)具有隨機(jī)性，因此平均功率具有隨機(jī)性求平均功率：

2023/2/19令，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序

隨機(jī)過(guò)程的功率Q

（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量（2）為確定性實(shí)函數(shù)。注意：取集合平均

10/30（1）隨機(jī)過(guò)程的平均功率可以通過(guò)對(duì)過(guò)程的均方值的求時(shí)間平均得到，若隨機(jī)過(guò)程為寬平穩(wěn)，則其功率就等于均方值w.s.s（2）功率譜密度描述了隨機(jī)過(guò)程平均功率在頻域的分布（3）對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有對(duì)功率譜密度定義的討論

11/30功率譜密度的計(jì)算

12/30功率譜密度的計(jì)算

13/30功率譜密度的計(jì)算x(t)-TT1tSx()2a2b2/2b2/200

14/30功率譜密度的計(jì)算傅里葉反變換2023/2/1例2：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中皆是實(shí)常數(shù)，是服從上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程的平均功率。

解：不是寬平穩(wěn)的平均功率的計(jì)算2023/2/1平均功率的計(jì)算2023/2/1功率譜密度和復(fù)頻率面

（只是記號(hào)相同，函數(shù)形式不同）例：應(yīng)用復(fù)頻率來(lái)表示功率譜密度，對(duì)于某些應(yīng)用會(huì)帶來(lái)方便（例如，求有理譜的平均功率）2023/2/13.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)

一功率譜密度的性質(zhì)

1功率譜密度為非負(fù)的,即

證明：2功率譜密度是的實(shí)函數(shù)

是的實(shí)函數(shù)3

對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是的偶函數(shù)，即證明：是實(shí)函數(shù)2023/2/14

功率譜密度可積，即

證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值有限2023/2/1二(有理)譜分解定理

1譜分解

在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類過(guò)程，它們的功率譜密度為的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來(lái)逼近。這時(shí)可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即

2023/2/122

若用復(fù)頻率s來(lái)表示功率譜密度，那么，對(duì)于一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：

這種偶次冪形式可以保證滿足偶對(duì)稱性質(zhì)2023/2/1

據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：（1）

為實(shí)數(shù)。

（2）

的所有虛部不為0的零點(diǎn)和極點(diǎn)都成復(fù)共軛出現(xiàn)。

（3）的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。

（4）M＜N（根據(jù)性質(zhì)4）

s-plane2023/2/12譜分解定理

根據(jù)上面的性質(zhì)，可將

分解成兩項(xiàng)之積，即：

其中（零極點(diǎn)在s上半平面）（零極點(diǎn)在s下半平面）且譜分解定理

此時(shí)注：有兩種分解方法：上下分解，左右分解2023/2/13為有理函數(shù)時(shí)的均方值求法（1）利用

（2）直接利用積分公式

（3）查表法（4）留數(shù)法2023/2/1預(yù)備知識(shí)：留數(shù)定理

設(shè)為復(fù)變量s的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線C反時(shí)針?lè)较蛏虾颓€C內(nèi)部只有幾個(gè)極點(diǎn)

則：

一階留數(shù)

二階留數(shù)

上式積分路徑是沿著軸，應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，要求積分沿著一個(gè)閉合圍線進(jìn)行。為此，考慮沿著左半平面上的一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半園積分。根據(jù)留數(shù)定理，不難得出（4）留數(shù)法2023/2/1例:

考慮一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，具有功率譜密度

求過(guò)程的均方值（平均功率）解:用復(fù)頻率的方法來(lái)求解。用代入上式得用復(fù)頻率s表示得功率譜密度：2023/2/1因式分解：

在左半平面內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：-1和-3。于是可以分別計(jì)算這兩個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)為：

故：

30/303.4功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Khinchine前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家,

1894-1959

Wiener美國(guó)學(xué)者,

1894-1964

維納-辛欽定理建立了隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域和頻域統(tǒng)計(jì)特性之間的聯(lián)系，是分析隨機(jī)信號(hào)的最重要、最基本的公式

31/30W.S.S維納-辛欽定理的證明證明：若X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，則

32/30W.S.S維納-辛欽定理的證明令t2t1T-T-TT0t2T-2T-TT0趨于1

33/30**

教材200-201頁(yè)證明：無(wú)論隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)與否，總存在功率譜密度：

**利用實(shí)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納—辛欽定理表示成：維納-辛欽定理（續(xù)）

34/30維納-辛欽定理（續(xù)）

35/30維納-辛欽定理（續(xù)）

36/30維納-辛欽定理（續(xù)）

37/30維納-辛欽定理（續(xù)）00

38/30維納-辛欽定理（續(xù)）

39/30常見(jiàn)W.S.S自相關(guān)函數(shù)及其功率譜密度

40/30常見(jiàn)W.S.S自相關(guān)函數(shù)及其功率譜密度1

41/303.4.1、平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)

若X(n)為由X(t)經(jīng)采樣間隔T均勻采樣后得到的廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，則其自相關(guān)函數(shù)序列是X(t)自相關(guān)函數(shù)的采樣序列，即3.4離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

42/303.4.2、平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度SX()20一、定義（直接給出）二、離散維納-辛欽定理數(shù)字角頻率以2pi為周期

43/30①?gòu)?fù)頻域功率譜離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度②性質(zhì)

③譜分解定理極點(diǎn)在單位圓內(nèi)零點(diǎn)在單位圓內(nèi)/上極點(diǎn)在單位圓外零點(diǎn)在單位圓外/上3.4.3、譜分解定理

1確知信號(hào)的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理從沖激抽樣信號(hào)恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析采樣信號(hào)，采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的2倍。設(shè)理想低通濾波器，其頻域特性為：截止頻率濾波器沖激響應(yīng)為：1確知信號(hào)的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理采樣后的信號(hào)為原始連續(xù)信號(hào)為：當(dāng)時(shí)，2023/2/1連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)離散時(shí)間確知信號(hào)采樣香農(nóng)采樣定理連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程采樣香濃采樣定理在數(shù)字信號(hào)處理中具有重要地位，建立了連續(xù)信號(hào)與其離散采樣信號(hào)之間的變換關(guān)系2023/2/1

若為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，具有零均值，其功率譜密度為

，則當(dāng)滿足條件時(shí)，可將按它的振幅采樣展開(kāi)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理均方意義下的極限2023/2/1證明:

帶寬有限，第一步：(1)

的帶寬也是有限(2)令，則(3)是確知函數(shù)，根據(jù)維納-辛欽定理，對(duì)，

對(duì)應(yīng)用香農(nóng)采樣定理的，對(duì)應(yīng)用香農(nóng)采樣定理2023/2/149第二步：令，則=0(2)這說(shuō)明，正交

又是的線性組合，因此正交2023/2/150即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即2023/2/151第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=0

52/30

53/30

54/30

55/30

56/302023/2/1二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

F互相關(guān)函數(shù)互譜密度

F

定義：對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為

即2023/2/1若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。2023/2/1三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：證明：

（令）互譜密度和功率譜密度不同，不再是正的、實(shí)的偶函數(shù)2023/2/1性質(zhì)2：

證明：

（令）

同理可證2023/2/1性質(zhì)3：

證明：類似性質(zhì)2證明。性質(zhì)4：

若X(t)與Y(t)正交，則有

證明：若X(t)與Y(t)正交，則所以2023/2/1性質(zhì)5：

若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，則

證明：

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）2023/2/163性質(zhì)6：

例：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)