第四章功和能

[例]一塊很長(zhǎng)的木板，下面裝有活動(dòng)輪子，靜止地置于光滑的水平面上，如圖。質(zhì)量分別為和的兩個(gè)人A和B站在板的兩頭，他們由靜止開(kāi)始相向而行，若，A和B對(duì)地的速度大小相同，則木板將[]（A）向左運(yùn)動(dòng)（B）靜止不動(dòng)（C）向右運(yùn)動(dòng)（D）不能確定ABX解：系統(tǒng)（兩個(gè)人A和B以及車）水平方向不受外力作用，水平方向動(dòng)量守恒A[例]體重、身高相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過(guò)無(wú)摩擦輕滑輪的繩子各一端．他們從同一高度由初速為零向上爬，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間，甲相對(duì)繩子的速率是乙相對(duì)繩子速率的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)的情況是

(A)甲先到達(dá)．(B)乙先到達(dá)．(C)同時(shí)到達(dá)．(D)誰(shuí)先到達(dá)不能確定．［］

CO甲乙系統(tǒng)所受合外力矩對(duì)O點(diǎn)為：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒（初始時(shí)刻）甲、乙對(duì)地速率相同，所以同時(shí)到達(dá)。第四章

功和能

本章主要內(nèi)容§4-1功§4-5

由勢(shì)能求保守力§4-2動(dòng)能定理§4-6機(jī)械能守恒定律§4-3

勢(shì)能§4-7

守恒定律的意義§4-4

引力勢(shì)能§4-8

碰撞§4-1功

時(shí)間積累：沖量空間積累：功研究力在空間的積累效應(yīng)功、動(dòng)能、勢(shì)能、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律。

功的定義

功的計(jì)算

直線運(yùn)動(dòng)中恒力的功功——力在位移方向上的分量與位移大小的乘積。注意：功是一個(gè)標(biāo)量，沒(méi)有方向，但有正負(fù)。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

當(dāng)時(shí)，。

變力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力為，它的空間位置發(fā)生一無(wú)限小的位移——位移元

，則該力做功表示為元功質(zhì)點(diǎn)沿曲線從到，整個(gè)路徑上的功為元功之和：線積分在直角坐標(biāo)系中表示為：在自然坐標(biāo)系中表示為：

變力呈現(xiàn)隨位置變化的函數(shù)關(guān)系0

合力的功結(jié)論：合力的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數(shù)和。

如果質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，計(jì)算它們等效合力的功：思考：寫(xiě)這個(gè)等號(hào)的條件？所以在計(jì)算功的過(guò)程中特別要分清研究對(duì)象對(duì)質(zhì)點(diǎn)有：即，各力作功之和等于合力作的功。但對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：寫(xiě)不出像質(zhì)點(diǎn)那樣的簡(jiǎn)單式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。

功率功率的定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)所做的功。即例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在幾個(gè)力作用下的位移為，其中一個(gè)力為恒力，則此力在該位移過(guò)程中所做的功為（）（A）（B）（C）（D）C解：該問(wèn)題是計(jì)算恒力的功。L緩慢拉質(zhì)量為m的小球，解xy例求已知用力保持方向不變=0

時(shí)，作的功。[例]一個(gè)力作用在質(zhì)量為1.0Kg的質(zhì)點(diǎn)上，使之沿x軸運(yùn)動(dòng)。已知在此力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為。在0到4s的時(shí)間間隔內(nèi)：（1）力的沖量大小I=（2）力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功W=解：§4-2動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理力對(duì)空間的積累（即做功）會(huì)給質(zhì)點(diǎn)帶來(lái)怎樣的結(jié)果？考慮合力的功：即過(guò)程量狀態(tài)量在B點(diǎn)的取值狀態(tài)量在A點(diǎn)的取值引入動(dòng)能

Ek：動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的

增量。功是能量傳遞或轉(zhuǎn)化的量度。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理例.將一重物勻速推上一斜坡,因其動(dòng)能不變,所以(A)推力不做功．(B)推力功和摩擦力功等值反號(hào)．(C)推力功和重力功等值反號(hào)．(D)此重物所受的外力的功之和為零．答案：D例.質(zhì)點(diǎn)在外力作用下運(yùn)動(dòng),下述哪種說(shuō)法正確？(A)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變時(shí),其動(dòng)能一定改變.(B)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能不變時(shí),其動(dòng)量也一定不變.(C)外力的沖量是零,則外力的功一定是零.(D)外力的功是零,則外力的沖量一定是零.答案：C[例]把一質(zhì)量為m＝0.4?kg的物體，以初速度v

0＝20?m/s豎直向上拋出，測(cè)得上升的最大高度H＝16?m，求空氣對(duì)它的阻力f（設(shè)為恒力）等于多大？

解：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量v

0mgf正[例]質(zhì)量為M的木快靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m、速度為的子彈沿水平方向打入木塊并陷在其中，試計(jì)算相對(duì)于地面木塊對(duì)子彈所做的功W1及子彈對(duì)木塊所作的功W2。解：木塊、子彈系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動(dòng)量守恒。設(shè)子彈打入后二者的共同運(yùn)動(dòng)速度為V木塊對(duì)子彈所做的功：（對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理）子彈對(duì)木塊所作的功：（對(duì)木塊應(yīng)用動(dòng)能定理）例：光滑水平臺(tái)面上有一質(zhì)量為m的物體栓在繩的一端，輕繩的另一端穿過(guò)臺(tái)面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初速度作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。求半徑減小為時(shí)，拉力對(duì)物體做的功。解：設(shè)半徑為r時(shí)，速度為v

對(duì)圓心角動(dòng)量守恒，有：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，拉力所做的功為：m1、m2組成一個(gè)系統(tǒng)一對(duì)力:分別作用在兩個(gè)物體上的大小相等、方向相反的力，稱之為“一對(duì)力”。一對(duì)力通常是作用力與反作用力。此“一對(duì)力”做的功之和：om1m2在dt時(shí)間內(nèi)：

一對(duì)力的功

表示m2相對(duì)于m1的相對(duì)位移。意義：兩質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)力作功之和等于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的路徑所作的功。

1）在無(wú)相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況下，一對(duì)力的功必為零。討論：3）A對(duì)與參考系選取無(wú)關(guān)。2）一對(duì)滑動(dòng)摩擦力的功恒小于零。質(zhì)點(diǎn)系：m1，m2

初速度：

末速度：內(nèi)力：外力：兩式相加得：

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理注意：內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。即：外力的功之和+內(nèi)力的功之和=質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能的增量記作例:一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在xoy平面上運(yùn)動(dòng)。其位置矢量為：其中a,b,為正值常數(shù)，a>b。(1)求質(zhì)點(diǎn)在A(a,0)點(diǎn)和B(0,b)點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能。(2)求質(zhì)點(diǎn)所受的作用力以及當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中分力Fx、Fy所做的功。解：A(a,0)點(diǎn)：cost=1sint=0B(0,b)點(diǎn)：cost=0sint=1§4-3勢(shì)能

§4-4引力勢(shì)能

幾種常見(jiàn)力的功xyzO一.重力的功重力mg在曲線路徑M1M2上的功為重力所作的功等于重力的大小乘以質(zhì)點(diǎn)起始位置與末了位置的高度差。(1)重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。(2)質(zhì)點(diǎn)上升時(shí)，重力作負(fù)功；質(zhì)點(diǎn)下降時(shí)，重力作正功。mG結(jié)論②①二.萬(wàn)有引力的功結(jié)論：萬(wàn)有引力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置。Mmab三.彈性力的功

(1)彈性力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所行經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。(2)彈簧的變形減小時(shí)，彈性力作正功；彈簧的變形增大時(shí)，彈性力作負(fù)功。彈簧彈性力由x1到x2

路程上彈性力的功為彈性力的功等于彈簧勁度系數(shù)乘以質(zhì)點(diǎn)始末位置彈簧形變量平方之差的一半。結(jié)論xO結(jié)論：摩擦力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑有關(guān)，不只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置。考慮一質(zhì)點(diǎn),從A運(yùn)動(dòng)到B，在這個(gè)過(guò)程中，所受的摩擦力大小恒為在位移上的元功為摩擦力做的總功為對(duì)直線對(duì)曲線四.摩擦力的功[例]已知地球質(zhì)量為M，半徑為R．一質(zhì)量為m的火箭從地面上升到距地面高度為2R處．在此過(guò)程中，地球引力對(duì)火箭作的功為

___________________．

O解：選擇地心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸如圖所示[例]如圖所示，質(zhì)量為m的隕石在距地面高h(yuǎn)處時(shí)速度為v0．忽略空氣阻力，求隕石落地的速度.令地球質(zhì)量為M,?半徑為R,?萬(wàn)有引力常量為G．

v0h地球O解：

隕石落地過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功

根據(jù)動(dòng)能定理

例：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦系數(shù)m

，在外力作用下小物體（質(zhì)量m）以速率v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。r解：小物體對(duì)環(huán)帶壓力摩擦力的大小為轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功為

一輕彈簧的勁度系數(shù)為k=100N/m，用手推一質(zhì)量m=0.1

kg

的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動(dòng)到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運(yùn)動(dòng)到x1

處和彈簧分離。在整個(gè)過(guò)程中，解例物體與水平面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據(jù)動(dòng)能定理有例：一根柔繩長(zhǎng)為，質(zhì)量為，繩的一部分在桌面上，其余長(zhǎng)度為的部分從桌面上懸下，如圖所示。設(shè)繩與桌面之間的摩擦系數(shù)為，求：柔繩全部滑離桌面時(shí)，重力和摩擦力所做的功。解：這是一個(gè)變力做功的問(wèn)題。應(yīng)先求出物體發(fā)生微小位移時(shí)力做的元功，然后再積分求力做的總功。設(shè)下滑過(guò)程中，懸在桌面下的長(zhǎng)度為y時(shí)，柔繩又向下滑落dy距離，重力的元功為：繩全部離開(kāi)桌面時(shí)，重力做的總功為：同理，摩擦力的元功為繩全部離開(kāi)桌面時(shí)，摩擦力做的總功為：保守力數(shù)學(xué)表達(dá)：一、保守力與非保守力--做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末(相對(duì))位置有關(guān)例如：重力、彈簧的彈力、萬(wàn)有引力非保守力——做功與路徑有關(guān)的力例如：摩擦力二、勢(shì)能：關(guān)系:保守力做的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少量。在具有保守力的系統(tǒng)內(nèi)，存在著由系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置決定的能量----稱為勢(shì)能。記若規(guī)定零勢(shì)能點(diǎn)：選狀態(tài)b為零勢(shì)能點(diǎn)，則有：記（1）重力勢(shì)能建立坐標(biāo)：以地面為零勢(shì)能點(diǎn)，有:注意：1).零勢(shì)能點(diǎn)可以任意選取。

2).只有系統(tǒng)的內(nèi)力為保守力，才有相應(yīng)的勢(shì)能。

3).勢(shì)能屬于相互作用的系統(tǒng)。

4).勢(shì)能與參考系無(wú)關(guān)(相對(duì)位移)。abPyx0yayb（2）彈簧的彈性勢(shì)能baox平衡位置以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)，有：（3）

萬(wàn)有引力勢(shì)能特點(diǎn)：引力做功與路徑無(wú)關(guān)。Mmab----萬(wàn)有引力是保守力以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，有：3-10已知地球的半徑為R，質(zhì)量為M．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體，在離地面高度為2R處。以地球和物體為系統(tǒng)，若取地面為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為_(kāi)_________；若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的引力勢(shì)能為_(kāi)___________。（萬(wàn)有引力常量為G）§4-5由勢(shì)能求保守力

由勢(shì)能求保守力其中，于是，有：保守力沿某一給定的方向的分量等于此保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)沿方向的空間變化率的負(fù)值。1.直角坐標(biāo)系中由勢(shì)能函數(shù)求保守力的表達(dá)式2.由勢(shì)能曲線求保守力勢(shì)能曲線上某點(diǎn)斜率的負(fù)值，就是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置處質(zhì)點(diǎn)所受的保守力。

，斜率為正，彈力為負(fù)，這表示彈力與正方向相反。

，斜率為負(fù)，彈力為正，這表示彈力與正方向相同。

，斜率為零，彈力為零，這表示彈簧處于原長(zhǎng)。§4-6機(jī)械能守恒定律

定義機(jī)械能:

E=Ek+EP即：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)外力做的功與系統(tǒng)內(nèi)非保守力做的功的總和等于質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的增量。A外＋A非保內(nèi)＝E-Eo功能原理一、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：A外+A內(nèi)=Ek-Eko

A保內(nèi)＝－

（EP－EPo)A內(nèi)=A保內(nèi)＋A非保內(nèi)因?yàn)椋篈外+A保內(nèi)＋A非保內(nèi)=Ek-EkoA外＋A非保內(nèi)＝(Ek+EP)-(Eko+EPo)所以：二、機(jī)械能守恒定律三、能量守恒定律封閉系統(tǒng)（孤立系統(tǒng)）：不受外界作用的系統(tǒng)。一個(gè)封閉系統(tǒng)內(nèi)經(jīng)歷任何變化過(guò)程，該系統(tǒng)的總能量保持不變。能量守恒定律：則:E＝Eo＝常量如果:A外＋A非保內(nèi)＝0

例：如圖所示的系統(tǒng)中（滑輪質(zhì)量不計(jì)，軸光滑）外力F通過(guò)一根不可伸長(zhǎng)的繩與勁度系數(shù)為200N·m-1輕彈簧，緩慢地拉地面上的物體。物體的質(zhì)量為2kg，初始時(shí)彈簧為自然長(zhǎng)度，在把繩子拉下20cm的過(guò)程中，所做的功為（重力加速度取10m·s-2）[](A)1J(B)2J(C)3J(D)4JC圖3-10習(xí)題3-4圖M

20cm

Fv

解：當(dāng)彈簧的彈性力等于重力時(shí)，物體將開(kāi)始離開(kāi)地面。此時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為即：于是，當(dāng)把繩子拉下20cm時(shí)，物體上升的高度為：根據(jù)功能原理，可知，外力的功為：例：如圖，勁度系數(shù)為k的輕彈簧在質(zhì)量為m的木塊和外力（未畫(huà)出）作用下，處于被壓縮的狀態(tài)，其壓縮量為x，當(dāng)撤去外力后彈簧被釋放，木塊沿光滑斜面彈出，最后落到地面上（）。（A）在此過(guò)程中，木塊的動(dòng)能和彈性勢(shì)能之和守恒（B）木塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，高度h滿足（C）木塊落地時(shí)的速度v滿足（D）木塊落地點(diǎn)的水平距離隨θ的不同而異，θ愈大，落地點(diǎn)愈遠(yuǎn)。C圖3-9習(xí)題3-3圖例：行星在橢圓軌道上繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)質(zhì)量為，行星質(zhì)量為，行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)離太陽(yáng)中心的距離分別為和，求行星在軌道上運(yùn)動(dòng)是的總能量。解：將行星與太陽(yáng)視為一個(gè)系統(tǒng)，由于只有萬(wàn)有引力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。行星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，受太陽(yáng)的萬(wàn)有引力作用，引力方向始終指向太陽(yáng)，以太陽(yáng)為參考點(diǎn)，行星所受力矩為零，故行星的角動(dòng)量守恒，即：解得行星在軌道運(yùn)動(dòng)的總能量為：用輕質(zhì)彈簧連接兩個(gè)木板m1

、m2

，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為k。解整個(gè)過(guò)程只有保守力作功，機(jī)械能守恒例給m2

上加多大的壓力才能使該力突然撤去后，m2跳起到最高點(diǎn)，m1離開(kāi)桌面？求§4-8碰撞（自學(xué)）

碰撞的特點(diǎn)物體由接近、產(chǎn)生強(qiáng)烈的相互作用，到分離的過(guò)程。碰撞中總動(dòng)量和總機(jī)械能特點(diǎn)：持續(xù)時(shí)間短、作用力大

物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化明顯（有動(dòng)量、能量傳遞）動(dòng)量不變，動(dòng)量守恒。減少（形變部分恢復(fù)）—非彈性碰撞不變（形變完全恢復(fù)）—彈性碰撞減少最嚴(yán)重（形變無(wú)恢復(fù)）—完全非彈性碰撞機(jī)械能碰撞問(wèn)題的求解設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞。碰撞前動(dòng)量為，碰撞后動(dòng)量為，

例：完全非彈性碰撞（三維）：彈性碰撞完全非彈性碰撞（形變無(wú)