統(tǒng)計(jì)學(xué)PPT第四章：估計(jì)

Chapter4估計(jì)本章重點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)抽樣分布

均值區(qū)間估計(jì)

比例區(qū)間估計(jì)

方差區(qū)間估計(jì)第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)最大似然估計(jì)點(diǎn)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)總體和樣本

總體樣本觀測基本假設(shè)：獨(dú)立同分布（iid）參數(shù)和估計(jì)

總體：參數(shù)（parameter）樣本：估計(jì)量（estimator）觀測：估計(jì)值（estimate）抽樣估計(jì)

利用樣本估計(jì)值去估計(jì)總體參數(shù)的過程稱為抽樣估計(jì)（samplingestimation）或參數(shù)估計(jì)（parameterestimation）用單值估計(jì)參數(shù)稱為點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）用區(qū)間估計(jì)參數(shù)稱為區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的基本思想是根據(jù)樣本觀測為總體參數(shù)找到一個(gè)最優(yōu)估計(jì)矩估計(jì)（methodofmoments）最大似然估計(jì)（maximumlikelihoodestimation,mle）矩估計(jì)根據(jù)分布計(jì)算總體矩根據(jù)樣本觀測計(jì)算樣本矩?fù)?jù)總體矩等于樣本矩聯(lián)立方程組求參數(shù)最大似然估計(jì)根據(jù)分布計(jì)算樣本觀測的取值概率樣本觀測的總?cè)≈蹈怕始礊樗迫缓瘮?shù)，其對數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)最大似然估計(jì)讓似然函數(shù)或者對數(shù)似然函數(shù)取最大值的參數(shù)極為最大似然估計(jì)，即令該方程組得解即為最大似然估計(jì)練習(xí)某變量的10次觀測如下

216530.113112假設(shè)該變量的概率密度函數(shù)為求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)優(yōu)良估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)

無偏（unbiased）有效（effective）一致（consistent）主要參數(shù)和估計(jì)值名稱總體樣本均值方差比例（0-1變量）方差第二節(jié)樣本均值和比例分布樣本均值的分布樣本比例的分布

均值和標(biāo)準(zhǔn)差

樣本均值的均值（expectation）為總體均值，即標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)誤差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差代表了樣本均值估計(jì)總體均值的誤差，亦稱樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（standarderror）

影響抽樣誤差大小的因素有二：一為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，；二為樣本容量的大小應(yīng)當(dāng)指出，抽樣誤差同總體容量沒有關(guān)系或關(guān)系很小

標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)實(shí)際中總體標(biāo)準(zhǔn)差常常是未知的，因此要樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，需用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替

當(dāng)樣本容量很大時(shí)，這種代替的誤差是很小的；但當(dāng)樣本容量較小時(shí)，就會產(chǎn)生較大的誤差誤差計(jì)算從某企業(yè)生產(chǎn)的5000個(gè)零件中隨機(jī)檢測200個(gè)，測得這200個(gè)零件的平均長度為423毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為12毫米。求標(biāo)準(zhǔn)誤差誤差的修正

不重復(fù)抽樣時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算公式為

叫有限總體修正系數(shù)（finitepopulationcorrection）但當(dāng)總體容量很大時(shí)，這種修正就不存在或作用很少誤差計(jì)算從某企業(yè)生產(chǎn)的5000個(gè)零件中隨機(jī)檢測200個(gè)，測得這200個(gè)零件的平均長度為423毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為12毫米。若采用不重復(fù)抽樣，求標(biāo)準(zhǔn)誤差隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)地從1到9中隨機(jī)抽5個(gè)數(shù)，計(jì)算均值。觀察均值的分布樣本均值的分布形態(tài)

中心極限定理（centrallimittheorem）：不論總體變量成何種分布，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本均值服從以為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布樣本比例

樣本比例是樣本均值的特殊情況，即樣本比例可看成是0-1變量的均值，因此容易知道樣本比例分布

均值標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差）：標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)

同樣的道理，總體比例常常未知，需用樣本比例估計(jì)樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差某公司從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10件不合格。求樣本合格品率的標(biāo)準(zhǔn)誤差分析：題目未告知是否采用不重復(fù)抽樣，但據(jù)題意可知總體單位數(shù)很大，因此即便采用不重復(fù)抽樣其標(biāo)準(zhǔn)誤差的修正效果也不好，因此視同重復(fù)抽樣樣本比例的分布

當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例服從以為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布第三節(jié)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)必要抽樣數(shù)目

區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)是指給出未知的總體參數(shù)所在的區(qū)間，并且給出需要的概率保證度

總體均值的區(qū)間估計(jì)：根據(jù)樣本均值服從以為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，可知總體均值的區(qū)間估計(jì)上式說明，總體均值落在區(qū)間上的概率為或者更精確地說，我們能以的概率保證所給的區(qū)間能包含總體均值上述的區(qū)間稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval），概率稱之為置信水平（confidencelevel），稱之為極限誤差,稱之為顯著水平（significancelevel）區(qū)間估計(jì)從某企業(yè)生產(chǎn)的5000個(gè)零件中隨機(jī)檢測200個(gè)，測得這200個(gè)零件的平均長度為423毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為12毫米。若采用重復(fù)抽樣，求整批零件平均長度的95%的置信區(qū)間練習(xí)從某企業(yè)生產(chǎn)的5000個(gè)零件中隨機(jī)檢測200個(gè)，測得這200個(gè)零件的平均長度為423毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為12毫米。若采用不重復(fù)抽樣，求整批零件平均長度的95%的置信區(qū)間保質(zhì)期

某食品公司欲知道產(chǎn)品的保質(zhì)期，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件觀察，發(fā)現(xiàn)它們平均保質(zhì)期為400天，標(biāo)準(zhǔn)差為50天。求該批產(chǎn)品平均保質(zhì)期的95%的置信區(qū)間

總體比例的區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本比例的抽樣分布理論，很容易知道，在置信度下，總體比例的置信區(qū)間為：總體比例的區(qū)間估計(jì)某公司從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10件不合格。求該批產(chǎn)品合格品率的95%的置信區(qū)間：所以該批產(chǎn)品合格品率的一個(gè)95%的置信區(qū)間為總統(tǒng)的支持率2012年美國總統(tǒng)大選之前，美國權(quán)威的民意調(diào)查公司——蓋洛普（GallupTracking）的一項(xiàng)民意調(diào)查中顯示，在被隨機(jī)調(diào)查的2700個(gè)選民中有1320人表示會把選票投給奧巴馬，1350人表示會把票投給羅姆尼。在95%的概率保證下，請分布估計(jì)奧巴馬和羅姆尼支持率的置信區(qū)間

必要抽樣數(shù)目某工地有2000名工人，要用隨機(jī)不重復(fù)抽樣法來測定其工作量，已知標(biāo)準(zhǔn)差為9立方米。若以95.45%的概率作保證要求抽樣誤差不超過0.8立方米，問至少應(yīng)抽取多少名工人進(jìn)行調(diào)查

即至少抽取404人調(diào)查練習(xí)應(yīng)調(diào)查多少人？2012年美國總統(tǒng)大選之前，美國權(quán)威的民意調(diào)查公司——蓋洛普（GallupTracking）的一項(xiàng)民意調(diào)查中顯示，在被隨機(jī)調(diào)查的2700個(gè)選民中有1320人表示會把選票投給奧巴馬，1350人表示會把票投給羅姆尼。假設(shè)在大選之前蓋洛普又被要求作一次相同的民意調(diào)查，但要求在95%的概率保證下奧巴馬支持率的估計(jì)誤差不超過±1.5%，根據(jù)第一次的調(diào)查經(jīng)驗(yàn)蓋洛普應(yīng)該至少要抽取多少選民進(jìn)行調(diào)查？第四節(jié)小樣本的估計(jì)小樣本t分布小樣本如果樣本容量太小（小于30），那么用正態(tài)分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)誤差較大這時(shí)候改成用t分布（tdistribution）即可。即：t服從自由度為n-1（n為樣本容量）的t分布。t分布的pdf設(shè)t分布的自由度為則t分布的pdf為:t分布

t分布跟標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近，區(qū)別在于其分布形態(tài)取決于自由度n-1（n為樣本容量），t分布均值為0（當(dāng)n-1大于1時(shí)），標(biāo)準(zhǔn)差為（當(dāng)n-1大于2時(shí)）t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布跟標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比更低峰但是隨著自由度的增加，峰會越來越尖t分布隨著自由度增加收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，事實(shí)上，當(dāng)n大于30時(shí)，兩者區(qū)別已非常小，可視同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布的百分位數(shù)設(shè)百分?jǐn)?shù)，滿足

則稱為t分布在自由度為n-1下的第百分位數(shù)總體均值的區(qū)間估計(jì)根據(jù)t分布，很容易知道，在置信度下，總體均值

的置信區(qū)間為：保質(zhì)期

某食品公司欲知道產(chǎn)品的保質(zhì)期，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件觀察，發(fā)現(xiàn)它們平均保質(zhì)期為400天，標(biāo)準(zhǔn)差為50天。求該批產(chǎn)品保質(zhì)期的95%的置信區(qū)間

糖果平均重量從一批糖果中隨機(jī)抽取16袋，稱得重量（克）如下。求平均重量的一個(gè)95%置信區(qū)間506508499503508510497512514505493496506502509496

單側(cè)置信區(qū)間在前面的兩個(gè)例子中，糖果重量的需要一個(gè)雙側(cè)的置信區(qū)間，而對于保質(zhì)期而言，越長越好，所以我們只需要一個(gè)右側(cè)的置信區(qū)間，或者我們只要知道保質(zhì)期的下限。而有時(shí)我們需要一個(gè)左側(cè)的置信區(qū)間。我們稱之為單側(cè)置信區(qū)間（one-sidedconfidenceinterval）。在置信度下，總體均值的右側(cè)和左側(cè)置信區(qū)間分別為：保質(zhì)期

某食品公司欲知道產(chǎn)品的保質(zhì)期，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件觀察，發(fā)現(xiàn)它們平均保質(zhì)期為400天，標(biāo)準(zhǔn)差為50天。在95%的置信度下求該批產(chǎn)品平均保質(zhì)期的單側(cè)置信下限。

燈泡壽命

從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只做使用壽命試驗(yàn)，測得它們的使用壽命如下：（單位：小時(shí)）

10501100112012501280

求該批燈泡平均使用壽命的一個(gè)95%的置信下限

第五節(jié)總體方差的區(qū)間估計(jì)分布總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差總體方差的區(qū)間估計(jì)需要用到分布（chi-squaredistribution）上式表明，服從于自由度為n-1的分布，其中n為樣本容量，為樣本方差。分布的pdf設(shè)分布的自由度為則分布的pdf為:分布

跟t分布一樣，分布的形態(tài)取決于自由度n-1（n為樣本容量），分布均值為n-1，標(biāo)準(zhǔn)差為分布的特征分布總大于0分布不是對稱的分布，而是右偏分布。但是隨著自由度n-1的增加，偏度越來越小而趨于對稱，而且峰越來越低。分布隨著自由度增加收斂于正態(tài)分布，事實(shí)上，當(dāng)n大于50時(shí)，兩者區(qū)別已非常小，可視同正態(tài)分布分布的百分位數(shù)設(shè)百分?jǐn)?shù)，滿足

則稱為分布在自由度為n-1下的第百分位數(shù)總體方差的區(qū)間估計(jì)

即在置信度下，總體方差的一個(gè)置信區(qū)間為：保質(zhì)期的標(biāo)準(zhǔn)差

某食品公司欲知道產(chǎn)品的保質(zhì)期，從