統(tǒng)計學(xué)第七章：總體參數(shù)估計

教學(xué)重點教學(xué)過程教學(xué)總結(jié)第七章總體參數(shù)估計STAT1STAT統(tǒng)計案例

一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行檢測，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負(fù)責(zé)質(zhì)量檢驗，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進(jìn)行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗結(jié)果。第七章總體參數(shù)估計表125袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.32STAT

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在101.38~109.34克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過4克。產(chǎn)品的合格率在96.07%~73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過16%。質(zhì)檢報告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個更大的樣本進(jìn)行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不超過3克，估計合格率時誤差不超過10%。三是總體平均重量的方差是多少？因為方差的大小說明了生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應(yīng)對生產(chǎn)過程進(jìn)行調(diào)整。第七章總體參數(shù)估計3STAT本章重點1.抽樣誤差的概率表述；2.區(qū)間估計的基本原理；3.小樣本下的總體參數(shù)估計方法；4.樣本容量的確定方法；本章難點1.一般正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；2.t分布；3.區(qū)間估計的原理；4.分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。第七章總體參數(shù)估計4STAT點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間【例1】CJW公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量，CJW公司每月都要隨機地抽取一個顧客樣本進(jìn)行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。7.1.1抽樣誤差（也稱抽樣極限誤差，簡稱極限誤差）抽樣誤差：一個無偏估計與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。抽樣誤差=（實際未知）7.1總體均值的區(qū)間估計（大樣本n≥30）5STAT要進(jìn)行區(qū)間估計，關(guān)鍵是將抽樣誤差求解。若已知，則區(qū)間可表示為：此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進(jìn)行描述。上例中，已知，樣本容量n=100,總體標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。即：7.1.2抽樣誤差的概率表述由概率論可知，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，6STAT有以下關(guān)系式成立：一般稱，為置信度，可靠程度等，反映估計結(jié)果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對應(yīng)的臨界值。進(jìn)而計算極限誤差若，則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得，極限誤差此時極限誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的極限誤差是3.92或更小的概率是0.95。7STAT常用的置信度還有68.27%,90%，95%,95.45%，99.73%，他們對應(yīng)的臨界值分別為1,1.645，1.96,2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應(yīng)的精確程度和把握程度。7.1.3計算區(qū)間估計：在CJW公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計算所得區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：第七章總體參數(shù)估計8STAT3.923.92圖1根據(jù)選擇的在、、位置的樣本均值建立的區(qū)間9STAT上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認(rèn)為，以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應(yīng)的置信水平為置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負(fù)值。也將正負(fù)值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。總結(jié)：10STAT7.1.4計算區(qū)間估計：在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計?！纠?】斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨機樣本，得到關(guān)于投保人年齡、保費數(shù)量、保險單的現(xiàn)金值、殘廢補償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。11STAT

投保人年齡投保人年齡投保人年齡投保人年齡123456789325040243344454844101112131415161718473136394645393845192021222324252627274354363448233642282930313233343536343934354253284939上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計。分析：區(qū)間估計包括兩個部分——點估計和極限誤差，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。解：已知12STAT

（1）樣本的平均年齡（2）極限誤差樣本標(biāo)準(zhǔn)差極限誤差（3）90%的置信區(qū)間為39.5±2.13即（37.37，41.63）歲。注意:（1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，即根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率。（2）置信區(qū)間的長度（準(zhǔn)確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準(zhǔn)確度，可以擴大樣本容量來達(dá)到。13STAT7.2總體均值的區(qū)間估計：小樣本的情況在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。t分布的圖形和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：第七章總體參數(shù)估計14STAT0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布的比較第七章總體參數(shù)估計15STAT在ｔ分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應(yīng)的臨界值，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的誤差邊際因此，總體均值的區(qū)間估計在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的小樣本情況下可采用下式進(jìn)行：假定總體服從正態(tài)分布；第七章總體參數(shù)估計16STAT【例3】謝爾工業(yè)公司擬采用一項計算機輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時間。為了評價這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對這種程序所需要的平均時間進(jìn)行估計。以下是利用新方對１５名職員進(jìn)行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。根據(jù)上述資料建立置信度為９５％的總體均值的區(qū)間估計。（假定培訓(xùn)時間總體服從正態(tài)分布）。職員時間職員時間職員時間１５２６５９１１５４２４４７５０１２５８３５５８５４１３６０４４４９６２１４６２５４５１０４６１５６３第七章總體參數(shù)估計17STAT解：依題意，總體服從正態(tài)分布，ｎ＝１５（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計。樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差極限誤差95%的置信區(qū)間為53.87±3.78即（50.09，57.65）天。第七章總體參數(shù)估計18STAT7.3確定樣本容量誤差邊際（極限誤差）其計算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：第七章總體參數(shù)估計19STAT【例4】在以前的一項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標(biāo)準(zhǔn)差為9.65美元。假定進(jìn)行該項研究的組織想進(jìn)行一項新的研究，以估計美國當(dāng)前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（90）即為必要的樣本容量。第七章總體參數(shù)估計20STAT說明：由于總體標(biāo)準(zhǔn)差在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；（2）抽取一個預(yù)備樣本進(jìn)行試驗性研究。用實驗性樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值。（3）運用對值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎萌嗟淖鳛榈慕浦?。

另：簡單不重復(fù)抽樣時的樣本容量的計算公式見P158的（7－14）第七章總體參數(shù)估計21STAT7.4總體比例的區(qū)間估計7.4.1區(qū)間估計對總體比例的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例的抽樣分布來進(jìn)行估計。若，則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差第七章總體參數(shù)估計22STAT上式中，是正待估計的總體參數(shù)，其值一般是未知，通常簡單的用替代。即用樣本方差替代總體方差。則，誤差邊際（極限誤差）的計算公式為：第七章總體參數(shù)估計23STAT【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內(nèi)的902名女子高爾夫球手進(jìn)行了調(diào)查，以了解美國女子高爾夫球手對自己如何在場上被對待的看法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數(shù)感到滿意。試在95%的置信水平下估計總體比例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）極限誤差第七章總體參數(shù)估計24STAT（3）95%的置信區(qū)間0.44±0.0324即（0.4076，0.4724）。結(jié)論：在置信水平為95%時，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數(shù)感到滿意。

7.4.2

確定樣本容量在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣本容量的原理與7.3節(jié)中使用的為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。第七章總體參數(shù)估計25STAT【例6】在例中，該公司想在1997年結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行一項新的調(diào)查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數(shù)感到滿意的人數(shù)所占的比例。調(diào)查主管希望這項新的調(diào)查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來進(jìn)行，那么，樣本容量應(yīng)該為多大？解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（1515）即為必要的樣本容量。第七章總體參數(shù)估計26STAT

說明：由于總體比例在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個預(yù)備樣本進(jìn)行試驗性研究。用實驗性樣本的比例作為的估計值。（3）運用對值的判斷或者“最好的猜測”；（4）如果上面的方法都不適用，采用。另：簡單不重復(fù)抽樣時的樣本容量的計算公式見P159的（7－16）第七章總體參數(shù)估計27STAT7.5其他抽樣方法下總方差的計算在第六章中學(xué)習(xí)到，除簡單隨機抽樣方法外，在現(xiàn)實中還可運用分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對總體參數(shù)的估計過程。通過前面的知識，可知對總體參數(shù)的估計過程中比較關(guān)鍵的因素是計算總體方差。如果已知總體方差，總體參數(shù)區(qū)間估計的過程與前面介紹的方法相同。第七章總體參數(shù)估計28STAT7.5.1分層抽樣在簡單隨機抽樣中，我們計算總方差是采用的公式是在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標(biāo)志進(jìn)行分層，所形成的數(shù)據(jù)實際等同于組距式數(shù)列，在組距式數(shù)列中，總方差需要運用方差加法定理來計算。這就是說，如果要計算總方差，則需分別將組間方差和平均組內(nèi)方差先計算出來。在分層抽樣下，是否真的需要由組間方差和平均組內(nèi)方差相加來計算總方差呢？29STAT

我們來考察一下分層抽樣的實施過程：層間抽樣：在每一層抽取全面調(diào)查層間方差層內(nèi)抽樣：抽取部分樣本單位抽樣調(diào)查層內(nèi)方差我們說抽樣誤差是抽樣調(diào)查這種調(diào)查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只有由于抽樣調(diào)查所形成的層內(nèi)方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調(diào)查所形成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。因此，30【例7】某廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)保溫瓶，乙車間產(chǎn)量是甲車間的2倍?，F(xiàn)按產(chǎn)量比例共抽查了60支，結(jié)果如下。試以95.45%的可靠程度推斷該廠生產(chǎn)的保溫瓶的平均保溫時間的可能范圍。31【例8】某地一萬住戶，按城鄉(xiāng)比例抽取一千戶，進(jìn)行電腦擁有量調(diào)查，結(jié)果如下。試以95.45%的概率推斷該地電腦擁有戶比率的范圍。32STAT7.5.2整群抽樣與分層抽樣類似，整群抽樣下，總方差的計算仍然需要分解：方差的加法定理：總方差=群間方差+平均群內(nèi)方差同樣考察整群抽樣的實施過程：層間抽樣：在部分層中抽取抽樣調(diào)查群間方差層內(nèi)抽樣：抽取全部樣本單位全面調(diào)查群內(nèi)方差類似的，只有群間方差是抽樣誤差的組成部分。

因此，整群抽樣抽樣平均誤差的計算是將群間方差代替純隨機抽樣抽樣平均誤差計算公式中的總方差即可。33STAT抽樣平均數(shù)的群間方差：抽樣成數(shù)的群間方差：

1.抽樣平均數(shù)抽樣平均誤差的計算（一般為不重復(fù)抽樣）2.抽樣平均數(shù)的極限誤差34STAT3.抽樣成數(shù)抽樣平均誤差的計算（一般為不重復(fù)抽樣）4.抽樣成數(shù)的極限誤差35【例9】某鄉(xiāng)播種某種農(nóng)作物3000畝，分布在60塊地段上，每塊地段50畝?，F(xiàn)抽取5塊地，得資料如下?，F(xiàn)要求以95%的概率估計這種農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)及受災(zāi)面積的區(qū)間。總體：R=60群樣本：r=5群36

受災(zāi)面積區(qū)間37課堂練習(xí)1.某公司出口一種名茶，規(guī)定每包規(guī)格重量不低于150g，現(xiàn)用簡單隨機抽樣方法抽取其中1%進(jìn)行檢驗，結(jié)果如下（1）