自適應數(shù)字濾波器

自適應數(shù)字濾波器AdaptiveDigitalFilters內(nèi)容提要自適應濾波器概述數(shù)字濾波器自適應處理器的結構自適應的諸多算法自適應原理應用1自適應濾波器概述自適應(Adapt/Adaptation)線性濾波自適應DF概述1.1自適應概念：生物體的某些結構和功能經(jīng)自然選擇發(fā)生改變，以更好地適應環(huán)境而生存和繁殖。從生物體對環(huán)境的自適應推廣到人造的自適應系統(tǒng)。1.1自適應自適應系統(tǒng)的特征：能自動適應變化的環(huán)境和系統(tǒng)要求；能通過訓練、學習某種功能去完成特定的濾波或判決任務；自行設計；經(jīng)少量訓練，就能外推至一個新的性能模型；在有限范圍內(nèi)，能自我修復；時變、非線性系統(tǒng)；系統(tǒng)復雜、分析困難。1.1自適應發(fā)展歷史1960年代以前1960年，B.Widrow提出自適應濾波的概念；發(fā)展很快1.2線性濾波線性濾波：假定輸入的有用信號與加性噪聲的某些統(tǒng)計特性已知，然后設計線性濾波器，使其輸出中的噪聲影響最小

影響最?。阂罁?jù)某一統(tǒng)計準則，如誤差信號的均方值最小。最佳濾波：濾波器與輸入數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性相匹配。先驗知識未知時的解決方法：“猜測試驗法”和自適應濾波器1.3自適應DF概述概念：利用前一時刻已獲得的濾波器參數(shù)等結果，自動地調節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應信號與噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。

1.3自適應DF概述最小均方誤差（LMS）自適應DF：以均方誤差最小為準則，能自動調節(jié)單位脈沖響應h(n),以達到最優(yōu)濾波的時變最佳DF。1.3自適應DF概述算法原理：從某一初始條件出發(fā)，在平穩(wěn)環(huán)境下，算法經(jīng)過若干次迭代，最終收斂于（某種統(tǒng)計意義上的）最佳維納解。1.3自適應DF概述遞歸算法要考慮的一些因素RateofconvergenceMisadjustment

TrackingRobustnessComputationrequirementsAlgorithmstructureNumericalproperties

1.3自適應DF概述目的設計自適應DF，可以不必預先知道信號與噪聲的自相關函數(shù)。

1.3自適應DF概述發(fā)展前景1、廣泛用于系統(tǒng)模型識別2、通信信道的自適應均衡3、雷達與聲納的波束形成4、消除心電圖中的電源干擾5、噪聲中信號的濾波、跟蹤、譜線增強以及線性預測等。1.3自適應DF概述目前常見的自適應濾波器遞推最?。≧LS）濾波器最小均方（LMS）濾波器格型濾波器無限沖激響應（IIR）濾波器2數(shù)字濾波器DF的數(shù)學模型IIR數(shù)字濾波器的特性FIR數(shù)字濾波器的特性2.1DF的數(shù)學模型線性時不變數(shù)字濾波器用常系數(shù)線性差分方程來描述：

2.1DF的數(shù)學模型遞歸與非遞歸DF非遞歸遞歸2.1DF的數(shù)學模型DF的系統(tǒng)函數(shù)2.1DF的數(shù)學模型DF的單位取樣響應

對于非遞歸濾波器，除b0=1外，其余bi=0(i=1,2,…,N-1)。若脈沖傳遞函數(shù)H(z)已知，當輸入信號x(k)為單位采樣脈沖，則此時濾波器的輸出為：

2.1DF的數(shù)學模型FIR和IIRDFFIRDF:IIRDF:

h(n)是無限長序列2.2IIRDF的特性IIRDF:遞歸結構x(n)b0b1b2z-1z-1y(n)a1a2z-1z-1bMz-1aN-1aNz-1z-1直接I型x(n)a1a2z-1z-1aN-1aNz-1z-1b0b1b2bMy(n)直接II型x(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22β1Ma2Mz-1z-1a1Mβ2My(n)…...級聯(lián)型并聯(lián)型2.2IIRDF的特性若IIRDF是因果、穩(wěn)定的，則H(z)是有理函數(shù)

2.3FIRDF的特性(1)系統(tǒng)的單位沖激響應h(n)在有限個n值處不為零。即h(n)是個有限長序列。(2)系統(tǒng)函數(shù)|H(z)|在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處(即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng))(3)結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入反饋。2.3FIRDF的特性FIRDF:非遞歸結構1.

橫截型結構（直接型）2.級聯(lián)型結構3.快速卷積型結構4.頻率抽樣型結構h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)橫截型結構級聯(lián)型結構L點DFTL點DFTL點IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)快速卷積型3自適應處理器的結構3.1自適應濾波器的原理3.2非遞歸自適應濾波器3.3具有期望響應和誤差信號的非遞歸自適應濾波器及性能函數(shù)3.4梯度法(gradientmethods)

3.5誤差信號與輸入信號正交

3.1自適應濾波器的原理開環(huán)自適應系統(tǒng)閉環(huán)自適應系統(tǒng)3.1自適應濾波器的原理閉環(huán)自適應系統(tǒng)的典型應用自適應預測器(adaptivepredition)3.1自適應濾波器的原理自適應模擬(adaptivemodeling)：前向模擬3.1自適應濾波器的原理自適應干擾對消(adaptiveinterferencecancelling)3.1自適應濾波器的原理自適應陣處理(adaptivearrayprocessing)

3.2非遞歸自適應濾波器自適應線性組合器(adaptivelinearcombiner)3.2非遞歸自適應濾波器單輸入系統(tǒng)

3.2非遞歸自適應濾波器多輸入系統(tǒng)

列向量矩陣表示3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)誤差信號3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)瞬時平方誤差若e(k),d(k)和X(k)為平穩(wěn)隨機序列，X(k)和d(k)是不相關的，則e2(k)的期望為將代入，可得3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)輸入相關矩陣主對角線是輸入分量的均方值，交叉項是輸入分量之間的互相關值3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)期望響應與輸入分量之間的一組相關值當X(k)和d(k)為平穩(wěn)時，P和P的元素都是固定的二階統(tǒng)計量。均方誤差3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)當輸入分量與期望分量是平穩(wěn)隨機過程時，上式的展開式中，W的元素僅以一次或二次冪出現(xiàn)，均方誤差E[e2(k)]是權向量W分量的二次函數(shù)。3.3具有期望響應和誤差信號的非

遞歸ADF及性能函數(shù)典型的二維均方誤差函數(shù)超拋物面3.4梯度法(gradientmethods)

權向量搜索性能表面最小值的自適應方法。設則矩陣形式的維納-霍夫方程3.4梯度法(gradientmethods)

最小均方誤差3.5誤差信號與輸入信號正交當W=Wopt時，誤差信號與輸入信號向量正交。令W=Wopt時，則當濾波器的沖擊響應是最優(yōu)時，誤差信號與輸入信號是正交的，即為不相關的。4自適應的諸多算法搜索性能表面的最速下降法最小均方算法(LMS,LeastMeanSquare)其它算法與LMS算法比較4.1搜索性能表面的最速下降法平穩(wěn)信號自適應理論：自適應信號處理中的性能表面具有不變的統(tǒng)計特性，從性能表面某點出發(fā)，向下運動至最小點附近，最后停止在這點。

非平穩(wěn)信號自適應理論：若非平穩(wěn)信號有慢變化的統(tǒng)計特性，自適應過程不僅向下運動至最小點，而且當性能表面移動時，還要跟蹤它的最小點。4.1搜索性能表面的最速下降法固定性能表面的數(shù)學性質梯度搜索法的基本原理最速下降法梯度估值超量均方誤差與失調固定性能表面的數(shù)學性質要研究性能表面的性質，首先要研究R的特征值和特征向量。

4.1搜索性能表面的最速下降法齊次方程具有非平凡解的充分必要條件為：det(R-λI)=0RQL=λLQL

推廣可得固定性能表面的數(shù)學性質上式還可寫成或ξ是在以w0,w1,…wn-1為相應坐標軸的n+1維空間的超拋物誤差表面，在三維誤差空間，ξ是一個拋物面。固定性能表面的數(shù)學性質橢圓方程固定性能表面的數(shù)學性質歸納表征特征向量與特征值幾何意義的幾何關系：固定性能表面的數(shù)學性質梯度搜索法的基本原理當輸入信號與期望響應是平穩(wěn)過程時，自適應線性組合器的均方誤差性能表面是權的二次函數(shù)。該二次型性能表面的參數(shù)是未知的，它的解析表達式得不到。可用在一段時間內(nèi)，將誤差的平方求平均來測量或估計在誤差表面上的位置。發(fā)展出一系列搜索性能表面并找尋最優(yōu)權向量的方法和算法。

用梯度估計(gradientestimation)指明性能表面最小值所在的方向。在每一迭代周期讓權向量的所有分量發(fā)生改變。權向量在性能表面的負梯度方向上變化。

梯度搜索法的基本原理梯度搜索法的基本原理單個權的情況一個權（單變量）的性能表面是一條拋物線。梯度搜索法的基本原理一次導數(shù)二次導數(shù)問題是尋找最優(yōu)權wopt。即通過調整權，以使均方誤差達到最小，梯度搜索法的基本原理尋優(yōu)的步驟:第一步：任選w(0)。并測量曲線在此點的斜率。

第二步：求w(1)。第一步完成之后，再選一個w(1)，讓它等于初值w(0)加上一個正比于斜率負值的增量。

第三步：求w(2)。由測量在w(1)的斜率，用第二步同樣的方法求出下一個新值w(2)。以后各點重復進行，直到求到最優(yōu)權

wopt

為止。在離散間隔w(0),w(1),…測量性能曲線的斜率所得到的值稱為梯度估值。最速下降法（steepestdescent）主要特點：每一步權的調整都在梯度的方向上。搜索二次型表面的張弛過程（relaxationprocess）：

變換到主軸坐標系去求解：上式的解為：最速下降法（steepestdescent）收斂的充分和必要條件：最速下降法（steepestdescent）當選擇μ，使其滿足：梯度估值

ξmin---最小均方誤差；n---樣本數(shù)；I---單位矩陣。超量均方誤差與失調

超量均方誤差（excessmeansquareerror）產(chǎn)生：當自適應過程引進噪聲，將使穩(wěn)態(tài)權向量解圍繞最小點隨機變化。這時，ξ的穩(wěn)態(tài)值大于ξmin，產(chǎn)生超量均方誤差。定義：均方誤差減去最小均方誤差后的平均值。

意義：提供了真實的與最優(yōu)性能的時間平均上差別的量度。超量均方誤差與失調

超量均方誤差（excessmeansquareerror）近似式：

n---權的個數(shù)；ξmin---最小均方誤差；P---擾動，估計梯度時引起的ξ的歸一化增量；Tmse---自適應時間常數(shù)；av---平均。超量均方誤差與失調

失調（misadjustment

）產(chǎn)生：量度真實性能與最優(yōu)性能差別的量。定義：在自適應過程中，超量均方誤差與最小均方誤差之比。

意義：表征了由于梯度估值噪聲引起的自適應系統(tǒng)的性能與最優(yōu)維納解性能間的差異。超量均方誤差與失調

失調（misadjustment

）近似式：最小均方算法的推導

權向量的收斂性

權向量解的噪聲

失調

4.2最小均方算法(LMS,LeastMeanSquare)

最小均方算法的推導多輸入（并聯(lián)）形式非遞歸自適應濾波器的結構橫向濾波器結構形式最小均方算法的推導誤差：X(k)——輸入樣本向量。該系統(tǒng)在自適應過程每次迭代時，其梯度估值為：

最小均方算法的推導原理：把下一時刻的權系數(shù)向量W(k+1)等于現(xiàn)時刻的權系數(shù)向量W(k)加上一項比例于負的均方誤差的梯度估值。權向量的收斂性經(jīng)過多次迭代后，權向量的期望值E[W(k)]將收斂于維納最優(yōu)解。即權向量解的噪聲若N(k)表示第k次迭代時梯度估值的噪聲向量，則假如采用一個小的自適應增益常數(shù)μ，并且過程已收斂到穩(wěn)態(tài)權向量處Wopt附近，則梯度噪聲逼近于此時，噪聲的協(xié)方差為：

假如權向量

W(k)保持在最優(yōu)權附近，e2(k)與輸入信號向量近似不相關，所以上式可改寫為：將上式轉換到主軸坐標系，令則權向量解的噪聲失調定義：在自適應中，超量均方誤差與最小均方誤差之比。意義：是自適應過程跟蹤真正維納解接近程度的量度，自適應能力代價的量度。

失調正比于自適應增益系數(shù)μ，因此失調與自適應速率必須折中考慮。牛頓法LMS算法與最速下降法的比較歸一化LMS算法4.3其它算法與LMS算法比較

牛頓法基本思想：通過求解函數(shù)的零點（多項式的根）一步就可以達到最佳解。實際牛頓算法的迭代公式：

求函數(shù)的零點：離散形式LMS算法與最速下降法的比較最速下降法：采用精確的梯度估值，故當?shù)鷶?shù)次趨近于無窮大以后，LMS算法：利用帶噪聲的梯度估值：因此最終的只能是接近最佳維納解，產(chǎn)生超量均方誤差。

歸一化LMS算法梯度估值與X(k)的大小成正比，故提出歸一化LMS算法，即兩邊同時除以。

5自適應原理應用遞歸自適應濾波器自適應噪聲對消自適應陷波濾波器非線性自適應濾波與盲均衡5.1遞歸自適應濾波器遞歸自適應濾波器的結構

遞歸自適應濾波器的LMS算法遞歸自適應濾波器的結構遞歸濾波器的結構系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：除零點外，還有極點。遞歸濾波器的結構遞歸自適應濾波器的結構遞歸自適應濾波器的結構遞歸自適應濾波器的結構遞歸自適應濾波器的特點：具有遞歸濾波器的優(yōu)點；

自適應過程中，如果極點移動出單位圓，濾波器將變得不穩(wěn)定；它們的性能表面一般是非二次型的，還有可能具有局部極小值；

遞歸自適應濾波器的結構遞歸自適應濾波器的LMS算法5.2自適應噪聲對消自適應對消原理信號分量泄漏到參考輸入中產(chǎn)生的影響自適應對消原理定義：對各種確知的以及隨機的干擾，用對消的方法抑制干擾，把受污染的信號提取出來，稱為噪聲對消。原理：

自適應對消原理假定：s、n0和n1是零均值的平穩(wěn)隨機過程，s、n0及n1不相關。則自適應濾波器的輸出y為n1的濾波信號。因此，自適應噪聲抵消，系統(tǒng)的輸出z為自適應對消原理因為所以當E[(n0-y)2]最小時，E[(z-s)2]也最小，即自適應噪聲抵消。理想情況：y=n0

，則z=s。自適應濾波器自動調節(jié)其脈沖響應，將n1加工成n0，與原始輸入信號d中的n0相減，輸出信號z中的噪聲可完全被抵消，而等于有用信號s

。

極端情況：參考輸入與原始輸入完全不相關，此時濾波器將“自行關閉”，因而并不增加輸出噪聲。自適應濾波器能完成上述任務的必要條件：參考輸入信號n1必須與被抵消的信號（一般為噪聲）n0相關。

使用噪聲對消技術比使用噪聲過濾技術具有增強信噪比等優(yōu)越性。

自適應對消原理自適應對消原理單信道噪聲對消器的性能評價：輸出端的信噪功率密度比輸入端信噪功率密度比原始輸入噪聲功