四年級下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程(尖子生)

.PAGE.四年級下期第一講定義新運算同學(xué)們對于"加、減、乘、除"四則運算已經(jīng)相當熟悉了。為了擴展對運算的認識,在四則運算的基礎(chǔ)上,還可以按需要規(guī)定新的運算。例1設(shè)a、b都表示數(shù),規(guī)定a△b＝3×a－2×b。求4△3,3△4。<2>這種運算有"交換律"嗎？<3>求<17△6>△2,17△<6△2>。<4>這種運算有"結(jié)合律"嗎？<5>如果已知5△b＝1,求b。解：像這樣的題目叫做"定義新運算"。這里,"△"當作一種新的運算符號來使用,它的意義是：如等號右端所要求的那樣,先求出3×a和2×b的值,再求出3×a與2×b的差。弄清了新定義運算的意義之后,就要嚴格按照要求進行操作。仍然要先做括號里面的。所以：<1>4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。<2>由<1>可知,4△3與3△4的結(jié)果不同,所以,這種運算沒有"交換律"。<3><17△6>△2＝<3×17－2×6>△2＝<51－12>△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。17△<6△2>＝17△<3×6－2×2>＝17△<18－4>＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。<4>由<3>可知,<17△6>△2與17△<6△2>的結(jié)果不同,所以,這種運算也沒有"結(jié)合律"。<5>因為5△b＝3×5－2×b＝15－2b,而15－2b＝1,所以2b＝15－1,2b＝14,b＝7。通過這個例題使我們認識到,所謂的"新運算"并不神秘,它只不過是對原有的四則運算的一種綜合運用而已。在做這類題目時,關(guān)鍵是要弄清楚新運算的意義是什么,并且要嚴格按照它的意義進行運算。例2如果a＃b＝2×a＋3×b,a*b＝<a＋b>÷2,那么<3*5>＃7＝？解："＃"的意義是先求出2×a和3×b,再求出2×a與3×b的和。"*"的意義顯然是求a、b的平均數(shù)。因為3*5＝<3＋5>÷2＝4,所以,<3*5>＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。例3規(guī)定：a＆b＝a＋<a＋1>＋<a＋2>＋…＋<a＋b－1>,其中a、b表示自然數(shù)。<1>求1＆100的值；<2>已知x＆10＝75,求x。解：<1>a＋<a＋1>＋<a＋2>＋…＋<a＋b－1>＝1＋<1＋1>＋<1＋2>＋…＋<1＋100－1>＝1＋2＋3＋…＋100＝<1＋100>×100÷2＝101×100÷2＝5050。<2>x＋<x＋1>＋<x＋2>＋…＋<x＋10－1>＝7510x＋<1＋2＋…＋9>＝7510x＋45＝7510x＝75－4510x＝30x＝30÷10x＝3例4羊和狼在一起時,狼要吃掉羊,所以關(guān)于羊和狼,我們規(guī)定一種運算,用符號△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。以上運算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼,所以我們規(guī)定另一種運算,用符號☆表示：羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。這個運算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是由于羊能戰(zhàn)勝狼,當狼和羊在一起時,它便被羊趕走而幾只剩下羊了。對羊或狼,可以用上面規(guī)定的運算作混合運算,混合運算的法則是從左到右,括號內(nèi)先算。運算的結(jié)果或者是羊,或者是狼。那么求下式的結(jié)果：羊△<狼★羊>★羊△<狼★狼>。解：羊△<狼★羊>★羊△<狼★狼>＝羊△羊★羊△狼＝羊★羊△狼＝羊△狼＝狼練習(xí)一1．設(shè)a、b都表示數(shù),規(guī)定：a△b表示a的4倍減去b的3倍,即a△b＝4×a－3×b。試計算：<1>5△6；6△5。2．a(chǎn)、b是自然數(shù),規(guī)定a＊b＝a×5＋b÷3,求8＊9。3．設(shè)a▼b＝8×a－18÷b,求7▼9＝？4．規(guī)定a☆b＝<a＋3>×<b－5>,求5☆<6☆7>的值。5．設(shè)a▽b＝a×b＋a－b,試求5▽8。6．如果規(guī)定a※b＝13×a－b÷8,那么17※24的最后結(jié)果是多少？7．設(shè)a、b都表示數(shù),規(guī)定：a△b＝2×a＋b÷2。求<1>10△6；<2>7△<4△8>。8．規(guī)定A＠B＝B×B－A,計算<2＠3>＠<4＠5>。9．如果規(guī)定a△b＝4×a＋3×b－1,那么5△7和7△5相等嗎？10．對于兩個數(shù)x、y,x☉y表示y×A－x×2,并且已知82☉65＝31。計算：<1>29☉57；<2>38☉<14☉23>。11．如果3

4＝3＋4＋5＋6＝18,6

5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。計算2000

6。12．如果"＋、－、×、÷、<>"的意義與通常相同,而式子中的數(shù)字卻不是原來的數(shù)字,試問下面的四個算式應(yīng)該是我們通常的哪四個算式？<1>8×7＝8；<2>7×7×7＝6；<3><7＋8＋3>×9＝39；<4>3×3＝3。第二講圖形問題<一>例1有大、小兩個正方形,它們的周長相差16厘米,面積相差80平方厘米,那么小正方形的面積是多少平方厘米？解：把小正方形重疊地放在大正方形的左上角如圖,因為它們的邊長相差16÷4＝4<厘米>,所以圖中正方形B的面積是4×4＝16<平方厘米>,又因為陰影部分的面積是<80－16>÷2＝32<平方厘米>,所以原來的小正方形<正方形A>的邊長是32÷4＝8<厘米>,面積是8×8＝64<平方厘米>。AB例2下面的整個圖形是一個邊長40厘米的正方形,求圖中陰影部分的面積。解法一：圖形的總面積是40×40＝1600<平方厘米>。每個小空白正方形的對角線是20厘米,根據(jù)"正方形的面積等于對角線的平方除以2",每個空白小正方形的面積是20×20÷2＝200<平方厘米>,所以圖中陰影部分的面積是1600－200×4＝800<平方厘米>。解法二：仔細觀察發(fā)現(xiàn),圖中陰影部分的面積與空白部分的面積正好相等,所以,陰影部分的面積是40×40÷2＝800<平方厘米>。例3如圖,陰影部分是一個長方形,它的四周是四個正方形,如果這四個正方形的周長的和是240厘米,面積的和是1000平方厘米,那么陰影部分的面積是多少平方厘米？解：圖中兩個小正方形相同,兩個大正方形也相同,所以一個小正方形和一個大正方形的面積的和是1000÷2＝500<平方厘米>。一個小正方形和一個大正方形的邊長的和是240÷2÷4＝30<厘米>。在原圖的右上角補上一個同樣的長方形,得到一個新的正方形如圖這個新正方形的面積是30×30＝900<平方厘米>,所以一個長方形也就是原圖的陰影部分的是<900－500>÷2＝200<平方厘米>。例4如圖,矩形ABCD被分成六個正方形,其中最小的正方形的面積等于1,矩形ABCD的是多少？ABDC解：如果設(shè)右下角正方形的邊長為a,那么,左下角正方形的邊長就是a＋1,左上角正方形的邊長就是a＋1＋1,右上角正方形的邊長就是a＋1＋1＋1。因為CD＝AB,所以a＋a＋<a＋1>＝<a＋1＋1>＋<a＋1＋1＋1>,即3×a＋1＝2×a＋5,于是a＝4。從而,CD＝a＋a＋<a＋1>＝13,AD＝<a＋1>＋<a＋1＋1>＝11。因此,矩形ABCD的面積是13×11＝143。練習(xí)二1．已知甲是正方形,乙是長方形,圖形的周長是多少厘米？甲3乙1582．把所有周長為22,且4條邊的長度都是整數(shù)的長方形的面積加起來,和是多少？3．一個正方形,如果一組對邊各增加10厘米,另一組對邊各減少6厘米,那么,所得長方形的面積與原來正方形的面積相等。原來正方形的面積是多少平方厘米？4．下圖中陰影部分A和陰影部分B的面積,哪個大？AB5．一塊長方形玻璃,長截去5分米,寬截去3分米,剩下的部分是正方形。已知截去的面積是71平方分米,那么剩下的正方形的面積是多少平方分米？6．四個大小相同的正方形拼成一個大正方形后,周長比原來的四個正方形周長的和少了40厘米,原來每個正方形的周長是多少厘米？如果把這四個小正方形拼成的一個長方形,那么這個長方形的周長是多少？7．如圖,已知大、小兩個正方形的邊長之和是20厘米,并且大正方形比小正方形的面積大40平方厘米,大正方形的面積是多少平方厘米？8．有一塊如圖所示的紙板,把它剪成三塊后再拼成一個正方形,應(yīng)該怎樣剪拼,請畫圖表示。2239．如圖,一個大長方形被分成了4個小長方形,圖中數(shù)字是它們的面積,陰影部分的面積是多少？19574510．將邊長為a的正方形各邊的中點連結(jié)成第二個正方形,再將第二個正方形各邊的中點連結(jié)成第三個正方形,依此規(guī)律繼續(xù)下去得到下圖。那么邊長為a的正方形的面積是圖中陰影部分面積的多少倍？11．在一個正方形水池四周,環(huán)繞著一條寬2米的路,這條路的面積是120平方米,那么水池的面積是多少平方米？12．如圖所示,陰影部分是一個長3分米、寬2分米的長方形,我們需要用14張邊長1分米的正方形紙片才能將它圍起來?，F(xiàn)在有一個面積為124平方分米,且長和寬都是整數(shù)分米的長方形,那么至少需要多少張邊長1分米的正方形紙片才能用同樣的方法將其圍起來？第三講枚舉與計數(shù)例1數(shù)列A：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……。把這個數(shù)列中一位以上的數(shù)的數(shù)字全部隔開,得到新的數(shù)列：1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,……。<1>數(shù)列A中的數(shù)100的個位數(shù)字0在數(shù)列B中是第幾個數(shù)？<2>數(shù)列B中的第100個數(shù)是數(shù)列A中的第幾個數(shù)的哪一位上的數(shù)字？這個數(shù)字是什么？<3>到數(shù)列B中的第100個數(shù)為止,數(shù)字3共出現(xiàn)多少次？解：<1>數(shù)列A中,1到9共有9個數(shù)字；10到99共有180個數(shù)字；100有3個數(shù)字。所以數(shù)列A中的100的個位數(shù)字0在數(shù)列B中是第9＋180＋3＝192個數(shù)。<2>數(shù)字B中前9個數(shù)是數(shù)列A中的一位數(shù)1到9,100－9＝91,而91＝2×46－1,說明數(shù)列B中第100個數(shù)是數(shù)列A中第46個兩位數(shù)的第一位數(shù),這個數(shù)是9＋46＝55,它的第一位〔十位數(shù)字是5。<3>數(shù)列A中,55以前的數(shù)含有數(shù)字3的依次是3,13,23,30,31,32,33,……,39,43,53,所以數(shù)字3共出現(xiàn)16次。答：<略>。例2個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？所有這些兩位數(shù)的和是多少？解：當十位數(shù)字是1時,滿足題意的兩位數(shù)有8個；當十位數(shù)字是2時,滿足題意的兩位數(shù)有7個；……當十位數(shù)字是8時,滿足題意的兩位數(shù)有1個；共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36<個>。這些兩位數(shù)的十位數(shù)字的和是8×1＋7×2＋6×3＋5×4＋4×5＋3×6＋2×7＋1×8＝120,個位數(shù)字的和是9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240,所以這些兩位數(shù)的和是10×120＋240＝1440。答：個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有36個,所有這些兩位數(shù)的和是1440。例3有10個小朋友圍坐在一圈做游戲,從其中選出兩個不相鄰的小朋友,有多少種不同的選法？解：與某一小朋友不相鄰的小朋友有7個,所以不相鄰的小朋友有7×10＝70<對>,每對小朋友都重復(fù)算了一次,所以共有70÷2＝35<種>選法。答：有35種不同的選法。例4在校級運動會上,運動員A、B、C分別獲得100米短跑的第一、第二、第三。在區(qū)級運動會上,他們也是100米短跑的前三名。<1>如果在區(qū)級運動會上,他們當中有一人的排名與校級運動會的排名相同,那么排名情況有多少種可能？<2>如果在區(qū)級運動會上,他們的排名都與校級運動會的排名不同,那么排名情況有多少種可能？解：<1>設(shè)A的排名不變,那么B排第三,C排第二,只有這1種情況。同理B、C的排名不變,也各有1種情況。因此,共有3種情況。<2>如果排名情況都改變,A可能排第二或第三：當A排第二時,B排第三,C排第一,有1種情況；當A排第三時,B排第一,C排第二,也有1種情況。因此,排名均不同的可能性有2種。答：<略>。練習(xí)三1．三個連續(xù)自然數(shù),后面兩個數(shù)的積與前面兩個數(shù)的積的差是114,那么這三個數(shù)中最小的是多少？2．由數(shù)字卡片5、7、2、0、1各一張能組成多少個不同的三位數(shù)？把這些數(shù)按照從小到大的順序排列,第14個數(shù)是多少？3．一個三位數(shù),三個數(shù)字各不相同且不為0,如果三個數(shù)字之和為10,這樣的三位數(shù)有個？4．一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字大5?，F(xiàn)將十位和個位上的數(shù)字對調(diào),所得的兩位數(shù)比原來小多少？5．編排一本書的頁碼共用了870個阿拉伯數(shù)字,這本書一共有多少頁？6．新華小學(xué)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是一個三位數(shù),平均每班有36人。統(tǒng)計員提供的學(xué)生總?cè)藬?shù)比實際總?cè)藬?shù)少180人。原來在他記錄時粗心地將三位數(shù)的百位和十位上的數(shù)字對調(diào)了。學(xué)生的總?cè)藬?shù)最多是多少人？最少是多少人。7．一圈小朋友玩報數(shù)拍手游戲,從1開始順序報數(shù),規(guī)定：報7的倍數(shù)時要拍一次手,報帶7的數(shù)時要拍兩次手,報既帶7又是7的倍數(shù)時要拍三次手。則報到100時共拍了多少次手？8。一只口袋里有5個小球,另一只口袋里有4個小球,所有這些小球的顏色各不相同。<1>從兩只口袋里任意取出一個小球,有多少種不同的情況？<2>從兩只口袋里分別取出一個小球,有多少種不同的情況？9．某地區(qū)有50個縣城,每個縣城都有3條公路通向別的縣城,這些縣城之間共有多少條公路？10．如圖,從B逐步往下走到A,有多少條不同的路線？BA11．如圖,小麗從家到學(xué)?？梢杂卸嗌俜N不同的走法？小麗家學(xué)校12．小明的爸爸買了6張電影票<如下圖>,想和小張家一塊去看電影。但因臨時有事不能和小張同時出發(fā),小明只好撕下3張連在一起的票給小張家送去。那么有多少種不同的撕法？第四講推理與判斷例1小東、小蘭、小英讀書的學(xué)校分別是一中、二中、三中,他們各自愛好游泳、籃球、排球中的一項體育運動,但是誰愛好哪項運動,在哪個學(xué)校讀書還不清楚。只知道：<1>小東不在一中；<2>小蘭不在二中；<3>愛好排球的不在三中；<4>愛好游泳的在一中；<5>愛好游泳的不是小蘭。那么誰在一中？誰在二中？小蘭愛好什么？解：由<4>愛好游泳的在一中,由<1>這個人不是小東,由<5>這個人不是小蘭,所以這個人是小英,即小英在一中。同時得知,小蘭也不在一中,小蘭只能在三中,進而得知小東在二中。由<3>愛好排球的在一中或二中,可是一中的小英已經(jīng)愛好了游泳,所以愛好排球的是在二中的小東。還剩下小蘭就只能愛好籃球了。例2小華同學(xué)做了三道習(xí)題,小明、小麗、小剛看完后分別說："小華做對了第一題","小華第二題沒有做對","小華第一題沒有做對"。老師看完三道題后發(fā)現(xiàn)：小華只做對了一道題,而且小明、小麗、小剛?cè)酥兄挥幸蝗苏f對了。請判斷小華做對的是哪道題？解：假設(shè)小華做對了第一題,那么小明和小麗就都說對了,與題意不符；假設(shè)小華做對了第二題,那么小明和小麗就都說錯了,只有小剛說對了,與題意相符；假如小華做對了第三題,那么小麗和小剛就都說對了,也與題意不符。所以小華做對了第二題。例3標有A、B、C、D、E、F、G、H記號的8盞燈,順次排成一行,每盞燈裝有一個開關(guān)?，F(xiàn)在B、E、G開著,其余5盞燈關(guān)著,小明從燈A開始,循環(huán)逐個拉動8盞燈的開關(guān),拉了2004次后,關(guān)著的燈是哪幾盞？解：因為2004÷8商250余4,從A開始拉動開關(guān)250次后,由于250的雙數(shù),所以B、E、G仍然開著,其余5盞燈A、C、D、F、H都滅著。而對前面的4盞燈A、B、C、D又各拉動一次以后,A、C、D變成開著的,B又滅了,所以最后關(guān)著的燈是B、F、H。例4購物單上某商品的單價是49.36元╱千克,總價是7.28元,方框中的數(shù)看不清了。則購買此商品的數(shù)量至少是多少千克？解：寫成豎式進行推導(dǎo)。先考慮個位數(shù)：493.6493.6×……3×……81480839488………………7.28……7.28進一步考慮十位數(shù)：493.6493.6493.6493.6×……23×……73×……48×……9814808148083948839488987234552197444424………………4837.28……7.28……7.28……7.28所以至少購買98千克。練習(xí)四1．甲、乙、丙、丁四人圍坐在方桌的四邊。乙說：我的對面是"南"；丙說：我在乙的左邊；丁說：我的對面不是乙。甲坐在哪邊？2．甲、乙、丙、丁、戊參加歌詠比賽,獲得前五名。他們的得分情況如下：<1>丙比乙低,但比戊高；<2>甲比丁高,但比戊低；<3>乙比戊高。這次歌詠比賽的第一名是誰？3．甲、乙、丙三人中一位是工人,一位是農(nóng)民,一位是教師。已知丙比教師的年齡大,甲與農(nóng)民不同歲,農(nóng)民比乙的年齡小。那么誰是教師？4．甲、乙、丙三人中只有一人會開汽車。甲說："我會開。"乙說："我不會開。"丙說："甲不會開。"三人的話只有一句是真話。會開車的是誰？5．△、○、□代表三個數(shù),并且○＋○＝△＋△＋△△＋△＋△＝□＋□＋□＋□○＋△＋□＋□＝800那么△、□、○各代表多少？6．下圖中的"？"應(yīng)填多少？2313？5835325457．1號、2號、3號、4號運動員取得了運動會800米賽跑的前四名。賽后他們接受小記者的采訪。1號說："3號在我前面沖向終點。"另一個得第三名的運動員說："1號不是第四名。"小裁判員說："他們的號碼與他們的名次都不相同。"則第一名是幾號？第二名是幾號？第三名是幾號？8．將99棋子放在兩種型號的盒子中,每個大盒子中裝12粒,每個小盒子中裝5粒。已知盒子數(shù)大于10個,那么有多少個大盒子？多少個小盒子？9．會議室某排有15個座位,小宇去時部分座位已有人就座,他無論坐在何處都要與已坐的人相鄰。那么,在小宇就座之前,這一排至少已坐了多少人？10．某次數(shù)字競賽有20道題,初始分為60分。規(guī)定：答對一題給5分,不答扣1分,答錯一題扣3分。最后得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？11．"希"、"望"、"杯"、"賽"各代表不同的數(shù)字,請根據(jù)下面的算式判斷這四個漢字分別代表的是哪個數(shù)字？希望希望杯＋希望杯賽200512．下面是一個六位數(shù)乘一個一位數(shù)的算式,不同的漢字表示不同的數(shù),相同的漢字表示相同的數(shù),這個六位數(shù)是多少？小學(xué)希望杯賽×賽999999第五講解決問題<一>例1祖父與父親的年齡之差是孫子年齡的6倍,而孫子與父親的年齡之和比祖父的年齡小30歲,孫子今年多少歲？解：當用孫子與父親的年齡之和與祖父相比時,祖父的年齡比這個和多出來的部分只有孫子的6－1＝5倍。所以孫子今年30÷5＝6<歲>。答：孫子今年6歲。例2幼兒園分餅干,如果每人分3塊,余14塊；如果每人分4塊,還有3個小朋友沒分到。一共有多少個小朋友？有多少塊餅干？解：改變分法后,從余15塊到缺4×3＝12<塊>,一共要多分14＋12＝26<塊>,這是因為每人多分4－3＝1<塊>的緣故,所以一共有26÷1＝26<個>小朋友,有3×26＋14＝92<塊>餅干。答：一共有26個小朋友,92塊餅干。例3運輸公司為客戶裝運1600只瓷盤,每只運費1元,如果損壞一只,不但得不到運費,還要照價格的一半賠償。若運到目的地后運輸公司損壞了5只瓷盤,并得到1540元。則瓷盤價格為每只多少元？解：如果瓷盤沒有損壞,運輸公司將得到1×1600＝1600<元>,實際少得了1600－1540＝60<元>。損壞一只瓷盤運輸公司少得60÷5＝12<元>,其中有運費損失1元和瓷盤價格的一半,所以瓷盤的價格是<12－1>×2＝22<元>。答：每只瓷盤22元。例4懷特海是英國數(shù)理邏輯學(xué)家,曾執(zhí)教于劍橋大學(xué)和哈佛大學(xué)。下面是他給他的學(xué)生出的一道題：A、B、C三人各有硬幣若干枚。A將自己的硬幣分給B、C,使他們的硬幣各增長了一倍；之后,B將自己的硬幣分給A、C,使他們的硬幣各增長了一倍；最后,C將自己的硬幣分給A、B,使他們的硬幣各增長了一倍。這樣,三人的硬幣都是8枚。請問他們原來各有硬幣多少枚？解：用倒推法。第三次調(diào)整后：A有8枚,B有8枚,C有8枚；第二次調(diào)整后：A有8÷2＝4<枚>,B有8÷2＝4<枚>,C有8＋4＋4＝16<枚>；第一次調(diào)整后：A有4÷2＝2<枚>,C有16÷2＝8<枚>,B有4＋2＋8＝14<枚>；原來：B有14÷2＝7<枚>,C有8÷2＝4<枚>,A有2＋7＋4＝13<枚>。答：原來A有13枚、B有7枚、C有4枚。練習(xí)五1．有甲、乙兩隊少先隊員去春游,甲隊人數(shù)是乙人數(shù)的2倍。從甲隊調(diào)出10人到乙隊后,甲隊仍比乙隊多5人。甲隊原來有多少人？2．在第二屆"希望杯"全國數(shù)學(xué)邀請賽中,有一位同學(xué)在第一試答了24道題,其中,答對的題數(shù)是答錯的題數(shù)的2倍；第二試答了20道題,結(jié)果,兩次一共答對的題數(shù)是答錯的題數(shù)的3倍。則這位同學(xué)在第二試答對了多少道題？3．菜市場運來6筐蘿卜,分別裝著24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的蘿卜。營業(yè)員小王承包了其中3筐,小李承包了另外2筐。已知小王承包的蘿卜質(zhì)量是小李的2倍,剩下的沒有被承包的蘿卜有多少千克？4．小光和小明,共有48枚紀念郵票和20枚特種郵票。已知,小光的紀念郵票是小明的5倍,小明的特種郵票是小光的3倍。小光的郵票比小明多多少張？5．幼兒園老師給幾組小朋友分蘋果,每組分7個,少3個；每組分6個,則多4個。蘋果有多少個？小朋友共幾組？6．某校組織學(xué)生去春游,晚上住宿時,如果在預(yù)訂的房間里每間住5個人,還有4個人無法入??；每間安排6個人,最后一間還可以住2個人。那么預(yù)定了房間多少間？共有多少個人？7．有三角形桌子和正方形桌子共13張,共有44條腿<桌子的每個角有一條腿>,則三角形桌子比正方形桌子多多少張？8．一次口算比賽,規(guī)定：答對一題得8分,答錯一題扣5分。小華答了18道題,得了92分,小華在此次比賽中答錯了多少道題？9．購買5元、8元和10元的公園門票共100張,用去748元,其中5元和8元的張數(shù)相同,則10元的門票共多少張？10．小王、小李兩人射擊比賽,約定每中一發(fā)記20分,脫靶一發(fā)則扣12分。兩人各打10發(fā),共得208分,小王比小李多得64分,小王打中多少發(fā)？小李打中多少發(fā)？11．小明問老師今年多少歲,老師說："我6年前的年齡和你6年后的相同,我3年后的年齡和你3年前的年齡之和是42歲。"老師今年多少歲？小明今年多少歲？12．將786個桃子分成四堆,第一堆比第二堆多24個,比第三堆多16個,比第四堆多46個,那么第四堆有多少個？第六講解決問題<二>例110名同學(xué)的考試成績按分數(shù)從高到低排列名次,前4名平均得92分,后6名的平均分數(shù)比10人的平均分數(shù)少8分,這10名同學(xué)的平均分數(shù)是多少分？解：如果從前4名的總分中拿出6個8分補給后6名同學(xué),那么前4名的平均分數(shù)也就和10個同學(xué)的平均分數(shù)同樣多了,所以這10名同學(xué)的平均分是<92×4－8×6>÷4＝80<分>。答：這10名同學(xué)的平均分是80分。例2一列以相同速度行駛的火車,經(jīng)過一根有信號燈的電線桿用了9秒,通過一座468米長的鐵橋用了35秒,這列火車長多少米？解：因為火車行駛一個車身的距離要9秒,而通過一座鐵橋所行的距離包括橋的長度和車身的長度,所以火車行468米只需35－9＝26<秒>,每秒行駛468÷26＝18<米>,這列火車長18×9＝162<米>。答：這列火車長162米。例3星期天,媽媽從超市買了4支"小夢龍"和3支"可愛多"冰淇淋,用去24元錢。媽媽對小麗說："上星期天我買3支‘小夢龍’和5支‘可愛多’冰淇淋用去29元錢。""小夢龍"和"可愛多"冰淇淋每支各多少錢？解：把已條件整理成算式：4支小夢龍＋3支可愛多＝24<元><1>3支小夢龍＋5支可愛多＝29<元><2>為了消去"小夢龍",讓<1>擴大3倍,<2>式擴大4倍,得：12支小夢龍＋9支可愛多＝72<元><3>12支小夢龍＋20支可愛多＝116<元><4><4>式－<3>式得：每支"可愛多"<116－72>÷<20－9>＝4<元>。再由<1>式得：每支"小夢龍"<24－4×3>÷4＝3<元>。答："小夢龍"每支3元,"可愛多"每支4元。例4要用1000元錢買23元、22元、21元的三種物品,三種物品都要買,而且不能剩錢,則最多可以買多少件？最少可以買多少件？解：要想買的件數(shù)最多,就要盡量多買21元一件的,1000÷21＝47……13,說明可以47件21元的,還余13元,可以用這13元補到幾件21元的物品上換成22元和23元的物品,所以最多可以買47件。要想買的件數(shù)最少,就要盡量多買23元一件的,1000÷23＝43……11,也就是說如果買44件就少23－11＝12<元>,可以買44件23元的,超出23－11＝12<元>,可以用幾件23元的物品換21元和22元的物品,直到把超出的12元抵消,所以最少可以買44件。答：最多可以買47件,最少可以買44件。練習(xí)六1．有四個數(shù),每次選取其中三個數(shù),算出它們的平均數(shù),再加上另外一個數(shù),用這樣的方法計算了4次,分別得到4個數(shù)：26,32,40,46,那么原來四個數(shù)的平均數(shù)是多少？2．有6個數(shù)排成一行,它們的平均數(shù)是27。已知前4個數(shù)的平均數(shù)是23,后3個數(shù)的平均數(shù)是34。第4個數(shù)是多少？3．甲筐蘋果個數(shù)比乙筐多64個,從甲筐取出多少個蘋果放入乙筐,可使乙筐蘋果比甲筐多12個？4．期末考試中,小強語文、數(shù)學(xué)、外語三門課的的平均成績是92分,語文、外語兩門課的平均成績比數(shù)學(xué)低3分,語文比外語高2分。則外語多少分？5．小光故意把成績單上的兩個分數(shù)涂掉了,讓爸爸猜。已知數(shù)學(xué)比思想品德分數(shù)高,那么數(shù)學(xué)得了多少分？科目思想品德語文數(shù)學(xué)體育科學(xué)藝術(shù)平均分數(shù)88817976876．為了支援西部,四一班班長小明和四二班班長小光帶了同樣多的錢買了同一種書44本,錢全部用完,小明要了26本,小光要了18本?；匦：?小明補給小光28元。小明、小光各帶了多少元？每本書多少元？7．三個工廠拿出相同的資金買煤,結(jié)果甲廠比乙廠多要了15噸,丙廠比乙廠多要了15噸,因此甲廠和丙廠各付給乙廠3000元,每噸煤多少元？8．空間站上的5位宇航員輪流值班和休息,值班崗位有2個。在60小時里,平均每個宇航員休息了幾小時？9．小明沿著長為100米的橋面步行。當他走到橋頭時,一輛迎面駛來的火車車頭也恰好到達橋頭。100秒鐘后,小明走到橋尾,火車的車尾恰好也到達橋尾。已知火車的速度是小明速度的3倍,則火車通達這座橋大約用了多少時間？10．兩列相向而行的火車恰好在某站相遇。如果甲列車長225米,每秒行25米,乙列車每秒行20米,甲、乙兩列車錯車時間是9秒。求：<1>乙列火車長多少米？<2>坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了多少秒？11．甲、乙兩人練習(xí)跑步,如果甲讓乙先跑10米,那么甲跑5秒鐘可追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘,那么甲跑4秒鐘可追上乙。求甲的速度。12．小明去相距9千米遠的同學(xué)家,已知他步行的速度是每小時3千米,他每走50分鐘要休息10分鐘,他想在中午12：00之前趕到同學(xué)家,則他最晚要在上午幾時幾分出發(fā)？第七講綜合練習(xí)<一>1．如果a△b＝3a－2b,a*b＝<a＋b>÷2,那么<7*3>△6＝？2．一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字小6?，F(xiàn)將十位和個位上的數(shù)字對調(diào),所得的兩位數(shù)比原來大多少？3．有10個盒子和45個乒乓球,能否把這45個乒乓球放入這10個盒子中,使任意兩個盒子中的乒乓球數(shù)都不相同？4．10．公園里有一個正方形花壇,在花壇四周有一條2米寬的小路。如果這一圈小路的面積是64平方米,那么花壇<陰影部分>的面積是多少平方米？5．一個長方形的寬去掉3厘米而長不變,其面積比原來減少30平方厘米；如果長增加6厘米,而寬不變,其面積比原來增加42平方厘米。那么原長方形的面積是多少平方厘米？6．個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？7．某次會議有30人參加,如果見面時每兩人都要握一次手,那么這些人總共要握手多少次？8．幼兒園分餅干,如果每人分3塊,那么余10塊；如果每人分4塊,那么還有2個小朋友沒分到。一共有多少塊餅干？9．甲、乙、丙三個好朋友都喜歡集郵。如果甲把自己的郵票給乙、丙一些,使他們的郵票各增加一倍；乙再把自己的郵票給甲、丙一些,使他們的郵票各增加一倍；丙再把自己的郵票給甲、乙一些,使他們的郵票各增加一倍。這樣一樣,三個人的郵票正好都是80枚。原來甲有郵票多少枚？10．一列以勻速行駛的火車,經(jīng)過一根電線桿用了10秒,通過一座600米長的鐵橋用了40秒,這列火車全長多少米？11．10名同學(xué)的考試成績<滿分為100分>按分數(shù)排列名次,前5名平均得90分,后5名的平均分數(shù)比10人的平均分數(shù)少6分,這10名同學(xué)的平均分數(shù)是多少分？12．1999年12月澳門回到了偉大祖國的懷抱。在下面的算式中,"慶"、"澳"、"門"、"歸"四個漢字各代表一個數(shù)字,那么"慶"是、"澳"是、"門"是、"歸"是。澳門澳門歸＋慶澳門歸1999第八講等差數(shù)列上學(xué)期我們已經(jīng)對等差數(shù)列有了一些初步的了解。比如,等差數(shù)列a1,a2,a3,…,an的和Sn＝<a1＋an>×n÷2；如果公差是d,那么從ap到aq共有<aq－ap>÷d＋1項等。這一講我們就來研究一些有關(guān)等差數(shù)列的比較復(fù)雜的問題。例1從1,2,3,…,100這100個數(shù)中,每次取兩個數(shù),使其和大于100,共有多少種取法？解：較小數(shù)取1時,較大數(shù)可以取100,共1種取法；較小數(shù)取2時,較大數(shù)可以取99、100,共2種取法；較小數(shù)取3時,較大數(shù)可以取98、99、100,共3種取法；……較小數(shù)取50時,較大數(shù)可以取51、52、……、100,共50種取法；較小數(shù)取51時,較大數(shù)可以取52、53、……、100,共49種取法；較小數(shù)取52時,較大數(shù)可以取53、54、……、100,共48種取法；……較小數(shù)取99時,較大數(shù)可以取100,共1種取法?？偣灿?lt;1＋2＋3＋…＋49>×2＋50＝<1＋49>×49÷2×2＋50＝2500<種>取法。例2計算：<101＋103＋…＋399>－<91＋93＋…＋389>。解：第一個等差數(shù)列共有<399－101>÷2＋1＝150項,第二個等差數(shù)列共有<389－91>÷2＋1＝150項。方法一：原式＝<101＋399>×150÷2－<91＋389>×150÷2＝1500。方法二：原式＝<101－91>＋<103－93>＋…＋<399－389>＝10×150＝1500。例3計算：1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。解法一：觀察發(fā)現(xiàn)：由于減數(shù)"998、995、……、104、101"的存在,使得加數(shù)失去了連續(xù)性,不能運用等差數(shù)列的求和公式。為了解決這個問題,添上所缺的加數(shù)"998、995、……、104、101",同時把原有的減數(shù)擴大2倍,因為一共有<1000－101>＋1＝900個加數(shù),<998－101>÷3＋1＝300個減數(shù),于是：原式＝<1000＋999＋998＋…＋102＋101>－<998＋995＋992＋104＋101>×2＝<1000＋101>×900÷2－<998＋101>×300÷2×2＝165750。解法二：先對減號兩邊的進行計算,一共得到300個1,同時,原有的900個加數(shù)減少到300個<參看解法一>于是：原式＝1000＋1＋997＋1＋…＋106＋1＋103＋1＝<1000＋103>×300÷2＋1×300＝165750。例4計算1＋2＋3＋2＋4＋6＋3＋6＋9＋…＋100＋200＋300。解：原式＝<1＋2＋3>＋<2＋4＋6>＋<3＋6＋9>＋…＋<100＋200＋300>＝1×<1＋2＋3>＋2×<1＋2＋3>＋3×<1＋2＋3>＋…＋100×<1＋2＋3>＝<1＋2＋3＋…＋100>×<1＋2＋3>＝<1＋100>×100÷2×6＝30300。練習(xí)八1．計算：<1＋3＋5＋…＋1997>＋<2＋4＋6＋…＋1996>＝？2．計算：1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70＝？3．計算：2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋22＋…＋92＋94＋98＋100＝？4．計算：<1994＋1992＋1990＋…＋4＋2>－<1＋3＋5＋…＋1991＋1993>＝？5．計算<2004－1>＋<2003－2>＋<2002－3>＋…＋<1003－1002>。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>6．在1000到2000之間,所有個位數(shù)字是7的自然數(shù)之和是多少？7．小明從一月一日開始寫大字,第一天寫了4個,以后每天比前一天多寫相同數(shù)量的大字,結(jié)果全月共寫了589個大字。問：小明每天比前一天多寫幾個大字？8．袋子里共有415個小球,第一次從袋子里取出1個小球,第二次從袋子里取出3個小球,第三次從袋子里取出5個小球,第四次從袋子里取出7個小球……依次地取球,如果剩下的球已不夠某次取了,則將余下的小球留在袋中。那么,袋子中留下多少個小球？<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>9．學(xué)校進行乒乓球選拔賽,每個參賽選手都要和其他所有選手各賽一場,一共進行了78場比賽。問：有多少人參加了選拔賽？10．有一列數(shù)：1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。求從第一個數(shù)起到第1993個數(shù)的和。11．計算100×95－95×90＋90×85－85×80＋80×75－75×70＋…＋20×15－15×10＋10×5。12．觀察下面的數(shù)陣,第20行所有的數(shù)的和是多少？12345678910111213141516171819202122232425……第九講速算與巧算<一>例1用簡便方法計算134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>解：觀察發(fā)現(xiàn)：各個數(shù)位上的數(shù)字都是"1、3、4、5、8、9",所以134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485＝111111×<1＋3＋4＋5＋8＋9>＝111111×30＝3333330。例2計算：99999×77778＋33333×66666＝？解：觀察發(fā)現(xiàn)：66666含有因數(shù)3,如果把66666分解成3×22222,再根據(jù)乘法結(jié)合律,讓3與前一個因數(shù)33333相乘,得到99999,這樣一來,與前面的積就有相同的因數(shù),于是可以用乘法分配律進行簡算。99999×77778＋33333×66666＝99999×77778＋33333×〔3×22222＝99999×77778＋〔33333×3×22222＝99999×77778＋99999×22222＝99999×<77778＋22222>＝99999×100000＝9999900000。例3計算2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>解：觀察發(fā)現(xiàn)：<1>算式中的數(shù)是從2004遞減到1的連續(xù)自然數(shù)；<2>算式是由3個加數(shù)、3個減數(shù)、3個加數(shù)、3個減數(shù)……組成。所以,可以分組計算：2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1＝<2004＋2003＋2002－2001－2000－1999>＋…＋<6＋5＋4－3－2－1>＝9×<2004÷6>＝3006。例4計算100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋…＋2×3－1×2。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>解：100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋…＋2×3－1×2＝<100×101－99×100>＋<98×99－97×98>＋<96×97－95×96>＋…＋<2×3－1×2>＝<101－99>×100＋<99－97>×98＋<97－95>×96＋…＋<3－1>×2＝2×<100＋98＋96＋…＋2>＝2×[<100＋2>×50÷2]＝2×2550＝5100。練習(xí)九1．計算56832＋25683＋32568＋83256＋68325。〔20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題2．計算：<1>9＋99＋999＋9999＝？<2>1999999＋199999＋19999＋1999＋199＋19?！瞂X省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題3．計算：379000÷125÷8＝？4．計算：<38＋99×99＋61>÷<396÷36>＝？5．計算：<1>12345679×810＝？<2>8888888×7777777÷1111111÷1111111＝？6．計算：<1>22222×22222＝？<2>33333×33333＝？7．計算：<1>99999×22222＋33333×33334＝？<2>66666×10001＋66666×6666＝？<3>111111×999999＋999999×777777＝？<4>353353×352－352352×353。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>8．計算：2375×3987＋9207×6013＋3987×6832＝？9．計算：77×13＋255×999＋510＝？10．計算：2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1＝？11.計算：<1×2×3×4×…×9×10×11>÷<27×25×24×22>。<20XX全國奧賽預(yù)賽題>12．計算<282＋3102＋31302＋313302＋3133302>÷47。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>第十講速算與巧算<二>例1計算181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>解：根據(jù)運算性質(zhì)：一個數(shù)連續(xù)除以幾個數(shù),等于這個數(shù)除以那幾個除數(shù)的積。181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8＝181440÷<3×5×6>÷4÷7÷8＝181440÷90÷4÷7÷8＝2016÷4÷7÷8＝504÷7÷8＝72÷8＝9。例2計算2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>解：觀察發(fā)現(xiàn)：有一些加數(shù)可以湊成9999,另一些加數(shù)比較接近10000,于是：2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898＝<2323＋7676>＋<3232＋6767>＋<3434＋6565>＋<4343＋5656>＋<4545＋5454>＋7878＋8787＋8989＋9898＝9999×5＋40000－<2122＋1213＋1011＋102>＝49995＋40000－4448＝50000＋40000－4453＝90000－4452＝85547。例3計算2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>解：觀察發(fā)現(xiàn)：如果從2004中取出2移給4002,從2005中取出3移給5002,從2006中取出4移給6002,從2007中取出5移給7002,從2008中取出6移給8002,那么,所有的加數(shù)就都含有因數(shù)1001,于是：2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002＝2002＋4004＋2002＋5005＋2002＋6006＋2002＋2007＋2002＋8008＝1001×<2＋4＋2＋5＋2＋6＋2＋7＋2＋8>＝1001×<2×5＋4＋5＋6＋7＋8>＝1001×40＝40040。例4計算19981999×19991998－19981998×19991999＝？解：觀察發(fā)現(xiàn),如果把19981999變成19981998＋1,把19991999變成19991998＋1,就有可能找到兩個積的相同部分。于是19981999×19991998－19981998×19991999＝<19981998＋1>×19991998－19981998×<19991998＋1>＝19981998×19991998+19991998-19981998×19991998+19981998＝19991998－19981998＝10000。練習(xí)十1．計算：<1>516＋418＋734＋825＋582＋266＋484＋175。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題><2>7186＋8671＋6718＋1867＋3282＋1329＋8133＋2814。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>2．計算：<1>23＋223＋2233＋22233＋222333＋2222333。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題><2>1＋11＋121＋1221＋12321＋123321＋1234321。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>3．計算：<1>161616×5994。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題<2>37037037×594。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>4．計算87840÷2÷3÷4÷5÷6。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>5．計算9192－8283＋7273－6364＋5354－4445＋3435－2526＋1516。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>6．計算：<1>2008×4＋2007×5＋2006×6＋2005×7＋2004×8。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題><2>2004×4＋2003×3＋2002×2＋2001＋1999＋1998×2＋1997×3＋1996×4。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>7．計算<10×12×24×36>÷<12×24×36＋12×36×48＋12×36×72＋24×36×48>。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>8．計算：<1><56789＋67895＋78956＋89567＋95678>÷7。<陳省身小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題><2>2003×2001÷111＋2003×73÷37。<陳省身小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>9．計算：<1>1991××<2>20022003×20032002－20022002×20032003。<陳省身小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題><3>20042005×20052004－20042004×20052005。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>10．計算2003＋2002－2001－2000＋1999＋1998－1997－1996＋…＋3＋2－1。<陳省身小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>11．計算2004＋2003＋2002＋2001－2000－1999－1998－1997＋…＋12＋11＋10＋9－8－7－6－5。<XX省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題>12．計算20042－1920×2004＋1924×2000－1928×1996＋1932×1992－…＋2004×1920。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>第十一講速算與巧算<三>例1計算666…66×397。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>2004個6解：觀察發(fā)現(xiàn)：397很接近400,于是：原式＝666…66×<400－3>＝666…66×400－666…66×32004個62004個62004個6＝2666…66400－1999…998＝2666…66400－2000…00＋22003個62003個92003個62004個0＝264666…66402。2001個6例2計算666…66÷99。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>2004個6解：試算發(fā)現(xiàn),連續(xù)6個6除以99,商6734無余。2004除以6,商334,無余,所以,原式＝673400…6734006734。333組673400例3計算20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962。<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>解：算式中的加數(shù)和減數(shù)全都是平方數(shù),解決這個問題,要用到"平方差公式"：a2－b2＝<a＋b>×<a－b>這個公式很容易驗證。比如：52－42＝<5＋4>×<5－4>,302－202＝<30＋20>×<30－20>。于是：20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962＝<20042－19962>＋<20032－19972>＋<20022－19982>＋<20012－19992>＋20002＝<2004＋1996>×<2004－1996>＋<2003＋1997>×<2003－1997>＋<2002＋1998>×<2002－1998>＋<2001＋1999>×<2001－1999>＋20002＝4000×8＋4000×6＋4000×4＋4000×2＋4000000＝4000×<8＋6＋4＋2>＋4000000＝80000＋4000000＝4080000。例4求99952＝？解：根據(jù)平方差公式a2－b2＝<a＋b>×<a－b>可以推出a2＝<a＋b>×<a－b>＋b2。設(shè)a＝9995,b＝5,于是：99952＝<9995＋5>×<9995－5>＋52＝10000×9990＋25＝99900000＋25＝99900025。請同學(xué)們用這種方法,任意求幾個個位上是5的數(shù)的平方,再認真觀察、分析,看看有什么簡單的規(guī)律可以遵循。事實上,任意一個個位上是5的數(shù)的平方,都等于5前面所有數(shù)字組成的數(shù),乘上比這個新組成的數(shù)大1的數(shù),然后在得數(shù)后面接著寫上25。比如752→7×8→56→5625；3052→30×31→930→93025；8952→89×90→8010→801025；1999952→19999×20000→399980000→39998000025。練習(xí)十一1．計算：<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題><1>555…55×297。2004個5<2>222…22÷33。96個6<3>999…9×999…9＋1999…9的結(jié)果末尾有多少個連續(xù)的零？100個9100個9100個92．2004×□□□□□＝□6666666□<每個□內(nèi)只填一個數(shù)字>,則五位數(shù)□□□□□是多少？<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>3．計算111111×999999＋999999×777777。4．計算1999×1＋1999×2＋1999×3＋…＋1999×1999。5．計算10032＋10022＋10012＋10002－9992－9982－9972。6．將所有的四位數(shù)用它的各位數(shù)字之和去除,可能得到的最大的商是多少？<20XXXX省小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題>7．兩數(shù)相除,商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)等于415,則被除數(shù)是多少？<20XX全國奧賽預(yù)賽題>8．寫出七個自然數(shù),使它們的和等于它們的積。9．小馬在計算兩個整數(shù)相乘時,錯把一個因數(shù)個位上的5看成了8,算出的積是5632；小虎錯把同一個因數(shù)十位上的8看成了6,算出的積是4160。這道題正確的積應(yīng)該是多少？10.小明在計算一道加法式題時,沒有認真審題,把加號當成除號了,結(jié)果,除得的商和余數(shù)都是18。如果這道題的正確得數(shù)是531,那么這兩個加數(shù)各是多少?11．將1949按"先加12,再減9,接著加6,然后減4"的四步運算順序,依次不斷地重復(fù)計算。經(jīng)過多少步計算,結(jié)果恰好是1984,經(jīng)過多少步計算,結(jié)果恰好是2001？12．邊計算,邊找規(guī)律,再按規(guī)律計算。12＝112＝1112＝11112＝……111111112＝1111111112＝第十二講解決問題<三>例1有A、B、C、D四個點,從左向右依次排在一條直線上,以這四個點為端點,可以組成6條線段。已知這6條線段的長度分別是13、21、34、35、48、69<單位：毫米>。那么線段BC的長度是多少毫米？<"《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》杯"競賽題>解：對6條線段的長度進行分析后發(fā)現(xiàn)：顯然69是最遠的兩個點的距離,34＝13＋21,48＝13＋35,說明線段13是線段34和48的公有部分,而69＝21＋13＋35,于是可以畫出示意圖：69211335ABCD3448所以,BC的長度是13。例2青少年科技活動中心工地上,有一批廢舊建筑材料和垃圾需要清理并運離現(xiàn)場,由兩位貨車司機小王和小李負責清理、運輸。兩人同時清理廢舊建筑材料需2小時；兩人同時清理垃圾需0.5小時；貨車將垃圾運送郊區(qū),往返需3小時；貨車將廢舊建筑材料運送收購站,往返需1小時。小王和小李完成這項清理、運輸工作返回工地最少需幾小時？<垃圾與建筑材料均不超過一車,裝車時間不計。>解：仔細分析各項工作所需的時間后發(fā)現(xiàn),要想節(jié)省時間,就要盡量讓兩人同時工作?？梢赃@樣安排：兩人先同時清理垃圾,用0.5小時；然后兩人同時清理建筑材料1小時；最后,一人運送垃圾用3小時,同時,另一人繼續(xù)清理廢舊建筑材料2小時,再用1小時運送廢舊建筑材料。這樣共用0.5＋1＋3＝4.5<小時>。例3甲有一些桌子,乙有一些椅子。如果乙用全部椅子跟甲換相同數(shù)量的桌子,那么需要給甲320元；如果乙不補錢,就得少換5張桌子。已知3張桌子比5把椅子的價錢少48元。乙原來有多少把椅子？解：由題意可知,5張桌子的價錢是320元,所以1張桌子320÷5＝64<元>。再根據(jù)3張桌子比5把椅子的價錢少48元,可以求出1把椅子<64×3＋48>÷5＝48<元>。1張桌子比1把椅子貴64－48＝16<元>,乙用全部椅子換回相同數(shù)量的桌子,那么需要補給甲320元,說明乙原來有椅子320÷16＝20<把>。例4甲、乙兩同時上一幢19層的大樓辦事,恰遇電梯停開。甲走到第3層時,乙走到第4層,以這樣的速度,甲走到第11層時,乙走到第幾層？如果乙走到第19層,甲應(yīng)該走到第幾層？解：甲走到第3層時,走了3－1＝2<層>樓的樓梯,乙走了4－1＝3<層>樓的樓梯,甲走到第11層,走了11－1＝10<層>樓的樓梯,甲走到第11層,走了11－1＝10<層>樓的樓梯,10÷2＝5,所以,這時乙走了3×5＝15<層>樓的樓梯,到了第15＋1＝16<層>。同理,乙走到第19層時,甲走到第2×[<19－1>÷3]＋1＝13<層>。練習(xí)十二1.一個粗心的會計,在給貨主付款時,把貨主開來的發(fā)票上應(yīng)付款多看了一位,使應(yīng)付款擴大了10倍。幾天后,貨主將她多匯的75258元如數(shù)退回了。應(yīng)付款是多少元？<"《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》杯"競賽題>2.迪斯尼樂園里,冒失的米老鼠和唐老鴨把小火車面對面開上了同一條鐵軌,米老鼠的速度是每秒10米,唐老鴨的速度是每秒6米。由于沒有及時剎車,結(jié)果兩列小火車相撞。假如米老鼠和唐老鴨在相撞前多少秒同時緊急剎車,不僅可以避免兩車相撞,兩車車頭還能保持4米的距離？<緊急剎車后米老鼠和唐老鴨的小火車分別向前滑行30米。>3.李老師為參加數(shù)學(xué)愛好者冬令營的同學(xué)安排了一些間宿舍。營員到來之后,李老師發(fā)現(xiàn),按照原先的計劃,每間宿舍住的營員人數(shù)不全是同樣多。他一計算,如果增加2間宿舍,每間宿舍恰好住6人；如果減少2間宿舍,每間宿舍恰好住9人。參加冬令營的營員共有多少人？<"《小學(xué)生學(xué)習(xí)報》杯"競賽題>4.廣宇建筑工地租用兩種貨車,將76噸水泥從建材倉庫運送到工地。大貨車每次可運5噸,每次運費85元；小貨車每次可運3噸,每次運費60元。要使運費最節(jié)省,應(yīng)租用大貨車、小貨車各運多少次？5．小區(qū)便利店銷售的礦泉水進貨時5元錢4瓶,售出時5元錢3瓶。要獲利100元,需售出多少瓶？6．有黑、白、紅三種顏色的珠子共17顆,已知白珠子的數(shù)量是黑珠子的5倍,紅珠子有多少顆？7．公園成人票每張10元,兒童票每張5元。20人及20人以上可以買團體票,買團體票時不分成人和兒童,按每人8元收費。15名成人帶25名兒童進公園時,至少要花多少錢？8．我國明代的數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中記載有一個"和尚分饅頭"的問題：大和尚與小和尚共100名,分配100個饅頭,大和尚每人給3個,小和尚每3人給1個。問大、小和尚各有多少人？9．在秋游活動中,四年級的50名同學(xué)到公園劃船。公園有兩種船,一種是大船,每條可坐6人,一種是小船,每船可坐4人。大船每條租金10元,小船每條租金8元。請你設(shè)計一種你認為最經(jīng)濟實惠的租船方案。10．摩托車賽全程共281千米,全程劃分為若干路段。路段有兩種：一種是由一段3千米的上坡路,一段4千米的平路,一段2千米的下坡路和一段4千米的平路組成；另一種是由一段3千米的上坡路,一段2千米的下坡路和一段4千米的平路組成。已知摩托車跑完全程后,共有15段上坡路。問全程中的兩種路段各有幾段？11．有一批磚,每塊長比寬長10厘米,這些磚橫著鋪可以鋪2775厘米,如果豎著鋪可以鋪1675厘米,這批磚有多少塊？12．甲、乙二人比賽爬樓梯,甲跑到第4層時,乙恰好跑到第3層。以這樣的速度,甲跑到第28層時,乙跑到第幾層？第十三講圖形問題<二>例1數(shù)一數(shù),下圖中共有多少個長方形？解：數(shù)較復(fù)雜的圖形,一定要盡量避免重復(fù)和遺漏,最基本的方法是分類計數(shù)。這個圖形被分成了9塊。其中：<1>單個的長方形有7個；<2>由2部分拼成的長方形有8個；<3>由3部分拼成的長方形有5個；<4>由4部分拼成的長方形有2個；<5>由6部分拼成的長方形有3個,<6>由9部分拼成的長方形有1個?？偣?＋8＋5＋2＋3＋1＝26<個>。例2用1平方厘米的紅色和白色兩種小正方形擺大正方形,擺出的大正方形四邊都是紅色,內(nèi)部都是白色的。如果所用的白色正方形比紅色正方形多,那么擺出的大正方形的至少是多少平方厘米？解：試算發(fā)現(xiàn),當白色正方形拼成的正方形的邊長為5厘米時,有白色正方形5×5＝25<個>,大正方形的每邊有5＋2＝7<個>正方形,所以,這時大正方形的面積是7×7＝49<平方厘米>,紅色正方形有7×7－25＝24<個>。例3四個同樣的長方形和一個正方形拼成一個大正方形,大正方形的面積為100平方厘米,小正方形的面積為36平方厘米,則一個長方形的周長是多少厘米？解：如圖,因為大正方形的邊長為10厘米,小正方形的邊長為6厘米,所以長方形的寬是<10－6>÷2＝2<厘米>,長是10－2＝8<厘米>,周長是<8＋2>×2＝20<厘米>。例4將如圖所示的一塊地分給5個種植小組,要求每組分得的土地形狀和大小都相同,請畫圖表示。解：分法如圖。練習(xí)十三1．AOB是三角形紙,OA＝OB,圖中的虛線是折痕,至少要折幾次,就可以得到8個相同的三角形？ABO2．下圖是一個正方體木塊。M是AB的中點,N是AD的中點。過M、N、G三點將木塊鋸成兩塊,截面是平的,這個截面是幾邊形？ANDMBCEHFG3．數(shù)一數(shù),圖中共有多少個正方形？4．數(shù)一數(shù),圖中共有多少個長方形？5．在圖中再畫一個三角形,使三角形的總數(shù)達到13個。6．一根鐵絲恰好可以彎成一個邊長10分米的正方形,如果把它彎成長是12分米的長方形,面積將會減少多少平方分米？7．將一張長32厘米、寬16厘米的長方形紙裁去一半,再將剩下的長方形紙裁去一半,這樣重復(fù)裁下去,直到裁出一張長2厘米、寬1厘米的紙為止,一共裁了多少次？8．剪出四個同樣大小的正方形,將它們重新拼合成一個圖形,使相鄰的正方形都有一條邊完全重合,且每個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)都各不相同,這樣的圖形共有多少種？9．用120個邊長是1厘米的正方形,可以擺出多少種面積是120平方厘米的長方形？10．把一個等邊三角形分別分成8個和9個形狀、大小相同的三角形。11．如圖,用3根火柴棍可以擺一個三角形,按這種方式擺下去,當N＝5時,共需要火柴棍多少根？……N＝1N＝2N＝3N＝412．如果下圖中每個小正方形的面積都是1,每個圖形均由4個小正方形構(gòu)成,那么只用所給的5個圖形中的一種不能拼成面積為16的正方形的是哪一種？<拼合時可以翻轉(zhuǎn)><1><2><3><4><5>第十四講圖形問題<三>例1在正方形紙的內(nèi)部有96個點,連接這些點和正方形的4個頂點,最多可以得到多少個互不重疊的三角形？解法一：連接正方形內(nèi)部的某個點與四個頂點可以得到4個三角形,此后每連接某個三角形內(nèi)部的一個點與這個三角形的三個頂點可以增加2個三角形,所以,最多可以得到4＋2×<100－4－1>＝194<個>三角形。解法二：在正方形的每個頂點處聚集著若干個三角形的角,這些角度數(shù)的和是90°×4＝360°。而在正方形內(nèi)部的每個點也處聚集著若干個三角形,這些角的度數(shù)和是360°×96＝34560°,兩處所有角的和總共是360°＋34560°＝34920°,每個三角形的內(nèi)角和是180°,所以,最多可以得到34920°÷180°＝194<個>三角形。解法三：試驗得到,當四邊形內(nèi)的點數(shù)為1、2、3、4時,相應(yīng)的三角形的個數(shù)如下表：四邊形內(nèi)的點數(shù)m1234三角形的個數(shù)n46810觀察發(fā)現(xiàn),n＝<m＋1>×2。所以,當m＝96時,n＝<96＋1>×2＝194。例2下圖是一個底角為60°、上底和腰相等的等腰梯形,請把它分成四個形狀和大小都相同的部分。解：從這個梯形的底角是60°并且上底和腰相等,可以先把它分成三個等邊三角形如圖<1>；<1><2>因為要求把整個圖形分成同樣的四部分,所以必須再把每個三角形分成四個相同的部分,于是,想到圖<2>的分法。例3下圖是一個"十字形",要求把它分成形狀和大小完全相同的四部分,然后再拼成一個正方形,應(yīng)該怎樣做？解：這個一個對稱圖形,拼成的正方形也是對稱圖形,由此想到,可以沿它的對稱軸分成形狀和大小完全相同的四部分<圖1>,再把這四部分拼成一個正方形<圖2>。<1><2>例4下圖是一個正五邊形點陣,中心是1個點的第一層,第二層每邊2個點,第三層每邊3個點……依次類推,共100層。試求點陣中點的總數(shù)。解：觀察發(fā)現(xiàn),從中心向外共有5條射線,每條射線上除了中心的那個點以外,各有100－1＝99<個>點,5條射線上共有99×5＋1＝496<個>點。其余的點從第三層開始,每條線段上依次有1、2、3、……、98個,共有<1＋2＋3＋…＋98>×5＝<1＋98>×98÷2×5＝24255<個>,總共有496＋24255＝24751<個>點。練習(xí)十四1．一只小海龜在沙灘上爬行,它每爬行30步右轉(zhuǎn)72°,它爬行了600步后,能不能回到原地？它爬行的路線是一個什么圖形？2．如圖,已知∠4＝90°,那么∠3－∠1＝？14323．如圖,已知∠A＝80°,∠1＝∠2,∠3＝∠4,那么∠5＝？4．如圖,標有"·"的6個角的和是多少度？BANCPDGFE5．<1>把左下圖中的正六邊形分成形狀、大小相同的8個部分。<2>把右下圖分成4個形狀、大小都相同的部分。6．把下圖分成4個形狀、大小都相同的部分。7．把下圖分成兩塊,再拼成一個正方形。8．下圖是一個長16、寬9的長方形,請把它分成兩塊,再拼成一個正方形。9．把下圖分成形狀、大小相同的4部分,再拼成一個正方形。10．下圖是一個堆放鉛筆的V形架,如果V形架上一共有210枝鉛筆,那么最上層有多少枝鉛筆？11．用相同的立方體擺成像下圖這樣的一堆,如果共擺了10層,那么最下面一層有多少個立方體？12．如圖,一個三角形分成36個小三角形,把每個小三角形涂上紅色或藍色,使兩個有公共邊的小三角形異色,如果紅三角形比藍三角形多,那么多多少個？