應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第四章-向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

§4.1－1

向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)映射f：

m(

n是開(kāi)集)，x。如果存在線性算子A：n

m，使得對(duì)hn，有則稱f

在點(diǎn)x處Frechet可微(簡(jiǎn)稱可微)，并稱線性算子A是f在x處的Frechet導(dǎo)算子，記為f，即f(x)=A。

f:(a,b)

A:

1§4.1－1

向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義（2）導(dǎo)算子一定是唯一的。注意：（1）導(dǎo)算子的定義式等價(jià)于

f(x+h)

f(x)=Ah+r(h)其中l(wèi)imh0

r(h)/h=0,稱Ah為f在x點(diǎn)的微分。思路：假設(shè)有兩個(gè)導(dǎo)算子：A1及A2

先證：(A1A2)(h)/h

0(h

0)；

再證：

(A1A2)(h)/h=0(h)。2§4.1－1向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)命題如果f：

m,則導(dǎo)算子f

：n

m

在標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1,e2,…,en}下的表示矩陣是（fi(x)/xj）Jacobi矩陣。類似地，如果f（一般寫(xiě)成列向量）是可微的，則稱相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)。證明思路：x=(x1,x2,…,xn)T,h=(h1,h2,…,hn)T,

計(jì)算差商的極限。此時(shí)，二階導(dǎo)算子相應(yīng)的矩陣稱為f在x處的Hesse矩陣，（2fi(x)/xi

xj）（認(rèn)為偏導(dǎo)可以交換）。3§4.1－2

單元函數(shù)矩陣的微分定義定義設(shè)A(t)=(ij(t))mn,其中ij(t)是變量t

(

)的函數(shù)。若對(duì)于i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,ij(t)均可微，則A(t)關(guān)于變量t的導(dǎo)數(shù)定義為矩陣函數(shù)的微分與積分具有與純量函數(shù)的微分、積分類似的定義及性質(zhì)。4§4.1－2

單元函數(shù)矩陣的積分定義

定義設(shè)A(t)=(ij(t))mn.如果ij(t)在[a,b]上可積，(

i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),則稱A(t)在[a,b]上可積，且定義而稱A(t)dt=為A(t)的不定積分。5§4.1－2單元函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)若函數(shù)矩陣A(t)，B(t)均可導(dǎo),a,b，C,K是數(shù)字矩陣,則6§4.1－2

單元函數(shù)矩陣的微分性質(zhì)7§4.2－1方陣序列收斂的充要條件及性質(zhì)定理4.1方陣序列{Am}

收斂于A

(即Am=A),對(duì)于所有i,j=1,2,…,n,都有{aij

(m)}收斂于aij

.Am=(aij(m)

)nn注意：定理4.1說(shuō)明，一個(gè)方陣序列收斂，意味著

n2個(gè)元素?cái)?shù)列收斂。(1)如果Am=A,

Bm=B,則AmBm=AB.(2)如果Am=A,A1及Am1均存在,則Am1=A1.性質(zhì)：8§4.2－1方陣序列收斂的充要條件及性質(zhì)定理4.2設(shè)ACnn,則收斂于零矩陣(A)1.證明思路：()((A))m=(Am)

Am;

()利用譜范數(shù)與矩陣范數(shù)的關(guān)系。定理4.3設(shè)ACnn,則Am收斂于零矩陣至少存在一種方陣范數(shù)||||,使得||A||1.9§4.2－1方陣級(jí)數(shù)收斂的充要條件及性質(zhì)證明思路：根據(jù)矩陣級(jí)數(shù)收斂的定義，以及定理4.1。定理4.5絕對(duì)收斂對(duì)所有i,j=1,2,…,n,

絕對(duì)收斂.證明思路：絕對(duì)收斂等價(jià)于收斂。定理4.4設(shè)Am=[aij(m)]Cnn,m=0,1,2,…,S=[sij]Cnn.

則方陣級(jí)數(shù)收斂于方陣S=[sij]

i,j=1,2,…,n,

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于sij.10§4.2－2方陣冪級(jí)數(shù)

定義定義4.4設(shè)X是任意的n階方陣,cm是一個(gè)復(fù)數(shù)列,稱為方陣X的冪級(jí)數(shù),cm稱為第m項(xiàng)的系數(shù).約定X

0=E.若收斂(絕對(duì)收斂)到f(A),即f(A)=,則稱在ACmn處收斂(絕對(duì)收斂).若XCnn,都收斂(絕對(duì)收斂),則稱它在內(nèi)收斂(絕對(duì)收斂),稱f(X)為方陣冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).11§4.2－2方陣冪級(jí)數(shù)

收斂性定理4.6設(shè)復(fù)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,XCnn的譜半徑為(X),則當(dāng)(X)R時(shí),絕對(duì)收斂;當(dāng)(X)R時(shí),發(fā)散.推論1若在全平面收斂,則該級(jí)數(shù)在全空間Cnn中絕對(duì)收斂.推論2設(shè)的收斂半徑為R.若XCnn的所有特征值都滿足不等式|j-0|<R,j=1,2,…,n.則方陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.若存在X的一個(gè)特征值k,使得|k-0|>R,則方陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散.12§4.2－3方陣函數(shù)幾個(gè)特殊的和函數(shù)13§4.2－4方陣函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1(Euler公式)XCnn,有

eiX=cosX+isinX,cosX=(eiX+eiX

)/2,sinX=(eiX

e

iX

)/2.性質(zhì)2

XCnn及t

C,有

eAt=AeAt=eAt

A,sin(At)=Acos(At)=cos(At)A,cos(At)=Asin(At)=sin(At)A.性質(zhì)3設(shè)A,BCnn,tA.若AB=BA,

則eAtB=BeAt.兩邊對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)具有此性質(zhì)14§4.2－4

方陣函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)4

A,BCnn且AB=BA,則 eA+B

=eA

eB=eB

eA.性質(zhì)5

ACnn

,eA必可逆且(eA)1=eA.性質(zhì)6

A,BCnn且AB=BA，有

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB,sin(2A)=2sinAcosA,cos(2A)=cos2A

sin2A,cos2A+sin2A=E.性質(zhì)7

XCnn

,有

sin(X+2E)=sinX,cos(X+2E)=cosX,eX+2iE

=eX.即,sinX和cosX是以2E為周期,

eX是2iE為周期的周期函數(shù).性質(zhì)8

對(duì)任意XCnn

,f(XT)=(f(X))

T.15§4.3－1

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算如果則當(dāng)(A)<R時(shí)

16與A

可以同時(shí)對(duì)角化。

的特征值是f(1),f(2),…f(n).注意：P

的列向量是A的特征向量§4.3－1

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算17§4.3－1

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算例4.6

設(shè)求其中j為A的特征值。/t=為A的特征值

18§4.3－1

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算例4.6

設(shè)求

det(EA)=(+2)=0:=2:的特征值=0,sin(2t):19§4.3－2

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A不能對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算定理4.7設(shè)f(X)=,XCnn

且(X)<R.若X=diag(X1,X2,…,Xs),其中Xi是ni

階方陣且則f(X)=diag(f(X1),f(X2),…,f(Xs)).

f(X)=f(diag(X1,X2,…,Xs))(Xi)(X)20§4.3－2

方陣函數(shù)值的計(jì)算當(dāng)A不能對(duì)角化時(shí)f(A)的計(jì)算定理4.8設(shè)復(fù)冪級(jí)數(shù)f(z)=的收斂半徑為R;J()=是k階Jordan塊,則當(dāng)||<R時(shí),21§4.3－3

方陣函數(shù)值的計(jì)算將f(A)表示為多項(xiàng)式定義設(shè)ACnn

的譜(A)={1,2,…,s

},A的最小多項(xiàng)式()=(-1)

(m11)…(-s)

(ms1),f(z)是復(fù)變函數(shù).若對(duì)j=1,2,…,s,f(j),f(j),…,f(mi1)(j)都存在,則稱f(z)在(A)上有定義,并稱f(j),f(j),…,f(mi1)(j)(j=1,2,…,s)為f在(A)上的值或f在A上的譜值.22§4.3－3

方陣函數(shù)值的計(jì)算將f(A)表示為多項(xiàng)式定理4.10設(shè)ACnn

的譜(A)={1,2,…,s

},f(z)=在(A)上有定義,則(f(A))={f(1),f(2),…,f(s

)},

A

=PJP1

f(A)=P

f(J)P1

f(J)=diag(f(J1),…,f(Js)).23§4.3－3

方陣函數(shù)值的計(jì)算將f(A)表示為多項(xiàng)式命題設(shè)ACnn

的譜(A)={1,2,…,s

},f(z)=,g(z)=在(A)上有定義,且

f(i)(k)=g(i)(k)(k=1,2,…,s;i=0,1,…,mk1)則f(A)＝g(A).f(A)=P

f(J)P124§4.3－3

方陣函數(shù)值的計(jì)算將f(A)表示為多項(xiàng)式定理4.9設(shè)ACnn的最小多項(xiàng)式為

()=(1)…(s),

f()=的收斂半徑為R.m1ms則當(dāng)(A)R時(shí),存在唯一的m次多項(xiàng)式T()=,使得T()與f()在(A)上的值相同,且f(A)=T(A).思路:1.在A的譜上與f()的值相同的多項(xiàng)式T()可由線性代數(shù)方程組解得。2.T()在(A)上與f()的值相同,則T(A)＝f(A)。25§4.3－3

方陣函數(shù)值的計(jì)算將f(A)表示為多項(xiàng)式定義2.11

方陣A的次數(shù)最低且首1的零化多項(xiàng)式，稱為A的最小多項(xiàng)式，用m()或mA()表示.(1)最小多項(xiàng)式m()由A唯一確定；(2)m()能整除A的任一零化多項(xiàng)式；(3)m()與特征多項(xiàng)式有相同的零點(diǎn)；(4)m()=dn(),即等于A的最后一個(gè)不變因子.Back26§4.4－1一階線性常微分方程組記號(hào)一階線性常微分方程組

xi(t)=