簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析

第六章簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析6.1靜定與超靜定系統(tǒng)

6.2變形比較法解簡單超靜定系統(tǒng)6.3能量法解超靜定系統(tǒng)6.4對稱和反對稱特性的應(yīng)用6.5例題分析以前各章我們確定了構(gòu)件在各種變形情況下的內(nèi)力、應(yīng)力應(yīng)變、變形、位移的計算方法，尤其在受力分析中只要通過靜力學(xué)平衡方程就能解決，成為靜定問題。但工程中有很多機構(gòu)和結(jié)構(gòu)，為了更好的承載或提高加工精度、提高剛度，往往增加約束條件，單依靠靜力平衡方程是無法求解的，稱超靜定問題。本章討論簡單超靜定（亦稱靜不定）系統(tǒng)的受力分析。首先要了解系統(tǒng)的概念，掌握靜定與超靜定的區(qū)別，明確超靜定系統(tǒng)的解題思路和分析計算方法。當(dāng)確定了多余約束力之后，系統(tǒng)的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移及強度、剛度、穩(wěn)定性的分析就迎刃而解了。6.1靜定與超靜定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)作為承力的結(jié)構(gòu)，無論是桿件還是桿系，統(tǒng)稱為

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，簡稱為系統(tǒng)，它們都必須具有足夠的約束條件，使之有穩(wěn)定的形狀和位置。靜定系統(tǒng)平面系統(tǒng)中必須具有三個約束條件，利用獨立的三個平衡方程確定三個待定約束力；在空間系統(tǒng)中必須具有六個約束條件，利用空間力系六個獨立的平衡方程求解。這一類問題稱為靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng)僅憑靜力平衡方程不能解出全部約束力的系統(tǒng)，稱為超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng)僅憑靜力平衡方程不能解出全部約束力的系統(tǒng)，稱為超靜定系統(tǒng)

以右圖為例，被車床夾住的工件有FAx、FAy、MA、FBy四個約束反力，而獨立的靜力平衡方程式仍為三個，不能確定四個未知約束力。待求未知力的數(shù)超出所能建立的獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。習(xí)慣上將超出平衡方程式數(shù)目的約束稱為“多余”約束，但從提高系統(tǒng)的剛度和穩(wěn)定性要求來說又是必要的，所以有重要的實用價值。對于一次超靜定系統(tǒng)常采用變形疊加法列出變形協(xié)調(diào)條件，由物理方程得到補充方程，與靜力平衡方程一起即可求解，稱為變形比較法。多次超靜定系統(tǒng)常利用能量原理仍以“力”作為基本未知量進(jìn)行求解，故稱為力法。解題思路都是將原超靜定系統(tǒng)的“多余”約束去掉，得到幾何不變的靜定系統(tǒng)，稱之為原系統(tǒng)的基本系統(tǒng)（也稱靜定基）。將已知的載荷和待定的未知廣義力都視為外力作用在所選擇的基本系統(tǒng)上，如果依此求得的待定未知廣義力即為原系統(tǒng)的“多余”約束力，那么后者系統(tǒng)的變形情況一定與原系統(tǒng)是完全相當(dāng)?shù)?，所以將這個后者系統(tǒng)稱為相當(dāng)系統(tǒng)。

以圖a所示A端固定B端活動鉸支座的一次超靜定梁為例。圖b、c、d為原超靜定梁的基本系統(tǒng)（即靜定系統(tǒng)）以上提出的附加要求是基于變形一致的原則，常稱為變形協(xié)調(diào)條件（亦稱幾何方程）。它必須滿足小變形條件，將物理方程(胡克定律)，即建立力與位移的關(guān)系代入幾何方程中成為以力為待求量的補充方程。n次超靜定，就要建立n個補充方程，以彌補靜力平衡方程數(shù)的不足，這樣就能求出所有以力為待求的未知值。

（a）（b）（c）（d）

若利用廣義力和廣義位移的概念，將待定的未知力都用Xi表示（i=1,2,…,n），變形協(xié)調(diào)條件都用表示，那么，其中第一項是已知外力Fi在已知變形協(xié)調(diào)條件處的位移，第二項是待求未知力Xi在上述位置處的位移，顯然上面所指的力和位移都是廣義的，這樣變形協(xié)調(diào)條件都可寫成相同的形式，最后得出一組線性方程式，為力法的正則方程（典型方程）。

6.2變形比較法解簡單超靜定系統(tǒng)要使相當(dāng)系統(tǒng)代替原超靜定系統(tǒng)，應(yīng)使兩者變形完全一致，使相當(dāng)系統(tǒng)在去掉“多余”約束后，在該處的位移（廣義位移）滿足原超靜定系統(tǒng)在該處的約束條件，這就是變形比較法。6.2.1拉伸（壓縮）超靜定系統(tǒng)

如圖a所示平面桁架是靜定系統(tǒng)。桁架中，在A節(jié)點處添加一桿件AD（圖c），為一次超靜定系統(tǒng)。三個位移間必然滿足幾何關(guān)系：仍選圖a作為基本系統(tǒng)，將AD桿作為“多余”約束，視為待求的廣義力，將載荷F和作用在基本系統(tǒng)上成為相當(dāng)系統(tǒng)。那么在、、和F作用在節(jié)點A后，使AC和AD桿伸長（Δ2、Δ3），AB桿縮短（Δ1）。原系統(tǒng)的上述三桿匯交在節(jié)點A，在相當(dāng)系統(tǒng)上，變形后仍應(yīng)匯聚在一個新位置A′（圖e)。變形協(xié)調(diào)條件（1）設(shè)三桿的剛度分別為E1A1，E2A2，E3A3，長度分別為l1

，l2

，l3

。（a）由（4.1）得將式（b）帶入（a），得補充方程為（c）（b）而平衡方程為（d）（e）聯(lián)立求解（c）、（d）、（e）三式，設(shè)l1=l，l2=lcosα，l3=l1=l解得（f）說明靜定系統(tǒng)的受力與其剛度無關(guān)，而超靜定系統(tǒng)的受力與其剛度密切相關(guān)。（c）例6.1求圖a所示等直桿AB上、下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。解:(1)有兩個未知，但只有一個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。(2)取固定端B為多余約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖，它應(yīng)滿足相容條件(3)補充方程為(4)由平衡方程FA+FB-F=0(5)利用相當(dāng)系統(tǒng)求得例6.2設(shè)1、2、3三桿用鉸連接如圖所示。已知1、2兩桿的長度、橫截面面積及材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E；桿3的長度為l3，橫截面面積為A，其材料的彈性模量為E3.試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力。解：(1)靜力平衡方程(2)補充方程得補充方程為(3)各桿軸力本例中也可將桿3與桿1、2的結(jié)點A間的鉸接視為多余約束，其多余未知力為一對分別作用于桿3和桿1、2結(jié)點A的力

，相應(yīng)的基本靜定系如圖所示，其變形相容方程為

。若已知

與桿系外力

間的物理關(guān)系，則由補充方程即可解得多余未知力

。例6.3在圖所示的結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁AB的變形可以省略，1,2兩桿的橫截面面積相等、材料相同。試求1,2兩桿的內(nèi)力。解：(1)靜力平衡方程設(shè)1,2兩桿的軸力分別為FN1和FN2，由AB桿的平衡方程，得(2)補充方程由于橫梁AB是剛性桿，結(jié)構(gòu)變形后，它仍為直桿，變形協(xié)調(diào)方程(3)由胡克定律例6.4根具有等剛度（EA）和等長度（l）的彈性桿，在頂部D端用剛性螺栓聯(lián)接如圖a。三桿中左右兩桿CC1和HH1的下端C、H處有剛性支承不能向下移動，中間桿DB下端為自由邊界，受軸向載荷F作用（圖b）。試求：（1）中間桿BD兩端的相對位移ΔBD和B端的位移ΔB。（2）如果中間桿的B端也為剛性支承，軸向載荷F作用在頂部D，中間桿BD的相對位移ΔBD’又如何。（3）如果三根桿底部均為剛性支承，不受載荷作用，但中間桿DB受到升溫Δt℃的影響，材料的線膨脹系數(shù)為α，則中間桿的兩端相對位移ΔBD’又如何？解：（1）在F力作用下，三桿都有變形。由于左右兩桿下端都有剛性支承,故三桿的軸力分別為使D端由于左右兩桿受壓而向下位移了，即則DB中間桿兩端的相對位移為（2）如果B端也是剛性支承，平衡方程為無法求解三個未知軸力，故為一次超靜定系統(tǒng)。變形協(xié)調(diào)條件為補充方程為

從而得DB中間桿的相對位移由于B端不移動，所以DB桿的相對位移即為D端的位移。結(jié)果與（1）比較，超靜定系統(tǒng)的剛度增強了，位移變小了。（3）如果三桿約束與（1）一樣，但不受F力作用，就在中間桿受升溫影響，則中間桿可自由伸長。而中間桿D端仍在原位，所以中間桿兩端的相對位移為根據(jù)題意DB桿下端也受剛性支承約束，它升溫后，自由伸長受到左右兩根彈性桿的約束限制，由于D端是剛性螺栓，熱漲后仍應(yīng)保持水平位置。所以左右兩桿必然要拉長，而中間桿受限制，要縮短（圖c），得變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件而平衡方程為

于是得補充方程為解得

DB中間桿的相對位移為由于B處位移為ΔB=0，所以DB桿的相對位移ΔBD即為D處受溫度影響的最終位置，它就是左、右兩桿受溫度影響的伸長位移

這都是由于溫度改變而引起超靜定系統(tǒng)的溫度內(nèi)力，由此引起溫度應(yīng)力：（壓應(yīng)力），（拉應(yīng)力）

。但在靜定系統(tǒng)中是不存在的。例6.5長度為l的鋼柱與銅管，置于兩剛性平板之間，（圖5-12,a）鋼柱和銅管的抗拉（壓）剛度各為ESAS和ECAC，線膨脹系數(shù)各為αS和αC，在軸向壓力F作用下，當(dāng)鋼柱和銅管同時受到升溫Δt的影響，試導(dǎo)出載荷F僅由鋼柱承受時，需增加的溫度Δt為多少。

解：由于銅的線膨脹系數(shù)高于鋼，即αC>αS。設(shè)該裝置底部A的位置相對固定，則在無剛板約束下，銅管和鋼柱由于升溫Δt而自由膨脹的位移為

其中在軸向壓力F作用下，銅管壓縮位移的臨界值Δc為接近鋼柱的熱膨脹位移Δts。變形協(xié)調(diào)條件于是得補充方程為解得：例6.6下圖表示銅套筒中穿過一個鋼螺栓，已知它們的抗拉（壓）剛度分別為ECAC和ESAS。當(dāng)螺母未擰緊時，兩墊圈之間的距離為l。若把螺母旋緊1/5圈，螺距為h，求銅套筒和鋼螺栓桿所受的壓力。

解：若把螺母旋緊h/5，使螺栓受到拉力、套筒受到壓力。用截面法將該聯(lián)接裝置假想切開，以和分別代表套筒的軸向壓力和螺栓的軸向拉力。兩個待定未知力，只有一個平衡方程：

故為一次超靜定系統(tǒng)，需要找出一個變形協(xié)調(diào)條件，建立一個補充方程，它們分別是套筒和螺栓所受到的應(yīng)力分別為：

6.2.2扭轉(zhuǎn)超靜定系統(tǒng)

變形協(xié)調(diào)條件是使相當(dāng)系統(tǒng)在“多余”約束處的位移與原系統(tǒng)相一致，物理條件采用剪切胡克定律，使變形協(xié)調(diào)條件改寫成以力（廣義力）為待求量的補充方程式，與靜力平衡方程式聯(lián)立求解。變形協(xié)調(diào)條件建立在求扭轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上，補充方程一般以轉(zhuǎn)矩為廣義力。圖5-5所示為端部固定的實心圓軸和空心圓管在C處用銷釘聯(lián)接。

軸和管配裝后組成一個受力系統(tǒng)。當(dāng)管的B端沒有約束時，只需轉(zhuǎn)動一個角，很易配裝，不引起任何后果，不產(chǎn)生任何作用力，系統(tǒng)是靜定的。如果管材在B端是固定的，銷孔的制造誤差在強行裝配后會引起附加的應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力，組成一個受扭變形的超靜定系統(tǒng)。

例

圓軸AB在AC段為實心圓截面，直徑D=20mm，CB段為空心圓截面，內(nèi)外徑分別為d=16mm和D=20mm。軸兩端A、B為固定端，在實心和空心交界截面C處受力偶矩Me=120N·m作用如圖a，已知軸材料的切變模量G=80GPa，試求該軸最大單位扭轉(zhuǎn)角。解：將軸兩端約束去掉代之以待求約束反力MA和MB，得平衡方程為ΣMA=0,Me－MA－MB=0為一次超靜定系統(tǒng)，變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件補充方程由式（4.4，C）得解得由于AC段和CB段的極慣性矩不相同，應(yīng)在和中取其較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角。

由于AC段和CB段的極慣性矩不相同，應(yīng)在和中取其較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角。

例

芯軸和套管用膠帶牢固粘合在一起成為一受扭圓軸（圖a）。已知芯軸和套管的抗扭剛度分別為和，試求在外力偶Me作用時，芯軸和套管的扭矩。解：由于AB軸由芯軸和套管兩部分組成，在Me作用下，每一部分承受的扭矩分別為T1和T2（圖b），但平衡方程僅有一個

ΣMX=0,T1+T2－Me=0為一次超靜定。變形協(xié)調(diào)條件為芯軸和套管的扭轉(zhuǎn)角和應(yīng)該相等，即變形協(xié)調(diào)條件補充方程為解得6.2.3彎曲超靜定系統(tǒng)

圖a為等剛度三支座梁為一次超靜定系統(tǒng)，需建立一個變形協(xié)調(diào)條件，得一個補充方程。（1）選取基本系統(tǒng)。為了不破壞對稱性，選取圖b簡支梁為宜。（2）取相當(dāng)系統(tǒng)，將均布力q和“多余”約束力FCy作為外力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖c。（3）建立變形協(xié)調(diào)條件。由于原系統(tǒng)的撓曲線如圖a虛線所示，在支座C處的撓度為零，所以相當(dāng)系統(tǒng)（圖c）的撓曲線也應(yīng)與原系統(tǒng)一致。即（a）（4）寫出物理方程（可查附錄Ⅱ）（5）代入變形協(xié)調(diào)方程式（a），得補充方程為

（b）解得“多余”約束力為結(jié)果為正，表明假設(shè)C處的約束反力

FCy（↑)的方向是正確的。（6）代入靜力平衡方程式如果利用對稱性，必然FAy=FBy，可免去（d）,由式（e）得到（c）（d）（e）剪力圖例

長度為l、抗彎剛度為EI的超靜定梁AB，在C截面處承受集中荷載F，如圖所示。試作梁的彎矩圖。解：（1）設(shè)支座B為多余約束，相應(yīng)的多余約束力為FB，選取圖所示的懸臂梁為基本系統(tǒng)。（2）建立變形協(xié)調(diào)條件。比較基本系統(tǒng)和原結(jié)構(gòu)，在支座B處應(yīng)滿足相同的變形條件，即（3）通過查表5.1，可以得到

（4）代入變形協(xié)調(diào)方程式，得補充方程為（5）作梁的彎矩圖。6.3能量法解超靜定系統(tǒng)6.3.1摩爾定理解超靜定系統(tǒng)

圖a為梁、桁架組合結(jié)構(gòu)，由橫梁AB和三根桿1、2、3組成，在梁跨中C處受鉛垂集中力F作用，設(shè)梁的抗彎剛度為EI桿的抗拉（壓）剛度均為EA，且，忽略軸向力對梁的影響，試確定該系統(tǒng)的內(nèi)力。（a）此結(jié)構(gòu)為一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。設(shè)選3桿為多余桿，則圖b為其相當(dāng)系統(tǒng)，將3桿截開，在m、m′上代之以軸力。（b）（b）變形協(xié)調(diào)條件根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)的受力，由對稱性得系統(tǒng)在A、B處的約束反力由節(jié)點D，可求出桿1和2的軸力為（c）在對稱結(jié)構(gòu)、對稱力作用下梁的彎矩方程AC段和CB段也一定是對稱的，只要列出AC段，則為求相對位移，需在3桿的m、m′截面各加一單位力，如圖c所示，得（b）（c）由莫爾積分式（4.30），得補充方程為6.3.2圖乘法解超靜定系統(tǒng)

圖a，試?yán)L內(nèi)力圖，確定危險截面。

這是一次外力超靜-定系統(tǒng)，設(shè)取圖b為相當(dāng)系統(tǒng)，為便于采用圖乘法，將分布力引起的和待定多余約束Fcy引起的彎矩圖分別繪于圖c、d，由單位廣義力FCy引起的彎矩圖為圖e。變形協(xié)調(diào)條件為,由式（4.33），得圖乘法表示的補充方程為：由平衡條件可得6.3.3力法解超靜定系統(tǒng)

在力法中往往將補充方程寫成普遍適用的標(biāo)準(zhǔn)形式，特別強調(diào)廣義力和廣義位移概念的應(yīng)用。變形協(xié)調(diào)條件?，F(xiàn)以圖a為例，它是一次外力超靜定系統(tǒng)，需建立一個補充方程。取支座B為多余約束FBy,如寫成普遍形式，用X1代替，圖b、c分別為基本系統(tǒng)和相當(dāng)系統(tǒng)。如以Δ1表示在F和X1共同作用下，相當(dāng)系統(tǒng)在B截面沿X1方向的位移。因為B為活動鉸支座，它在X1方向受到約束，位移為零，所以（a）（b）（c）（d）（e）（f）（d）（e）（f）要計算Δ1，可以分別算出基本系統(tǒng)在外力F和未知力X1分別作用時的位移，各用Δ1F和表示（圖d、e），其中第一個腳標(biāo)表示發(fā)生位移的地方和方向，第二個腳標(biāo)表示引起該位移的因素。由疊加原理，得(5.2)系數(shù)δ11和常數(shù)Δ1F可由莫爾積分（對于直桿可用圖乘法）求出，由式（5.2）就能求出未知力X1

。式（5.2）中的位移和力均可表示為廣義位移和廣義力。F代表廣義載荷，X1表示“多余”的廣義約束力（外力或內(nèi)力）。所以式（5.2）即為力法的基本方程。

當(dāng)超靜定系統(tǒng)為n次時

(5.3)(5.4)δ12=δ21，δ13=δ31，…δn1=δ1n，即δij=δji(i=1,2,…n;j=1,2,…n)。所以式（5.4）中的系數(shù)矩陣是對稱矩陣。

6.4對稱和反對稱特性的應(yīng)用如圖a所示，為兩端固定的半園弧曲桿結(jié)構(gòu)，其幾何條件、約束條件和剛度都與對稱軸是對稱的，稱為對稱結(jié)構(gòu)。其特點是將結(jié)構(gòu)繞對稱軸折疊后，在對稱軸兩側(cè)部分完全重合。如果在該結(jié)構(gòu)的對稱位置作用的載荷，其大小、方向、性質(zhì)完全相同，即與對稱軸完全重合，則稱為對稱載荷（圖b）反之，若為反向重合則為反對稱載荷（圖c）。

將系統(tǒng)在對稱軸處切開，一般暴露出三個內(nèi)力FN、FS、M作為多余未知力，使求外力超靜定改變?yōu)榍髢?nèi)力超靜定。軸力和彎矩M是對稱內(nèi)力，而剪力FS和扭矩T是反對稱內(nèi)力。

在對稱載荷作用下，在對稱軸處切開的截面上，只有對稱內(nèi)力，而反對稱內(nèi)力必為零，即FS=0（圖d）。在反對稱載荷作用下，對稱軸處的截面上只有反對稱內(nèi)力，而對稱內(nèi)力必為零，即FN=0,M=0（圖e）

。注意：上述結(jié)論只在對稱截面處成立，對其它截面不成立。例6桁架如圖a所示，桿的剛度均為EA，在F力作用下，求桁架內(nèi)力。

解這是一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，可用變形比較法，也可用力法方程求解，由式（5.1）

用力法求解時，設(shè)將6桿作為多余桿，將它在任一截面m-m切開，代以待定未知力X1=1，求得單位力狀態(tài)的內(nèi)力