經(jīng)典函數(shù)的三種表示法

考點一考點二考點三理解教材新知把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第一章知識點一知識點二知識點三第一課時1.21.2.2某同學(xué)計劃買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆．每支鉛筆的價格為0.5元，共需y元．于是y與x間建立起了一個函數(shù)關(guān)系．問題1：函數(shù)的定義域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．問題2：y與x的關(guān)系是什么？提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．問題3：試用表格表示鉛筆數(shù)x與錢數(shù)y之間的關(guān)系．提示：鉛筆數(shù)x/支12345錢數(shù)y/元0.511.522.5問題4：試用圖象表示x與y之間的關(guān)系．提示：函數(shù)的表示法表示法定義解析法用

表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用

表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法

來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式圖象列出表格某市空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則判定：

(1)5千米以內(nèi)，票價2元；

(2)5千米以上，每增加5千米，票價增加1元(不足5千米的按5千米計算)．已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途(包括起點站和終點站)有11個汽車站．問題1：從起點站出發(fā)，公共汽車的行程x（千米）與票價y（元）有函數(shù)關(guān)系嗎？提示：有函數(shù)關(guān)系．問題2：函數(shù)的表達(dá)式是什么？問題3：x與y之間有何特點？提示：x在不同區(qū)間內(nèi)取值時，與y所對應(yīng)的關(guān)系不同．分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的

，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．對應(yīng)關(guān)系

A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圓}.對應(yīng)關(guān)系：每一個三角形都對應(yīng)它的外接圓．問題1：從集合A到集合B能構(gòu)成函數(shù)嗎？提示：不能．問題2：從集合A到集合B的對應(yīng)有什么特點？提示：對于集合A中的任何一個三角形，在集合B中都有唯一的外接圓與之對應(yīng)．映射的定義設(shè)A，B是兩個

的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的

元素x，在集合B中都有

的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)

為從集合A到集合B的一個映射．非空任意一個唯一確定f：A→B1．函數(shù)的表示法有三種，即解析法、圖象法和列表法，三種方法各有優(yōu)缺點．

2．分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．

3．函數(shù)中的兩個集合是數(shù)集，而映射中的兩個集合不一定是數(shù)集．

4．映射中的兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的．其中，f表示具體的對應(yīng)法則，可以用文字?jǐn)⑹觯?/p>

[例1]

(1)已知反比例函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；(2)一次函數(shù)y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．

[思路點撥]

分別設(shè)出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的一般形式，然后根據(jù)題設(shè)條件求待定系數(shù)即可．

[一點通]

1．求函數(shù)解析式實際上就是尋找函數(shù)三要素中的對應(yīng)關(guān)系．

2．當(dāng)已知函數(shù)的類型時，可設(shè)出其函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解，這里包含著方程思想的應(yīng)用．1．已知f(x)是一次函數(shù)，且f（f(x)）＝4x＋3，求f(x)．2．已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．3．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．解：設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函數(shù)為f(x)＝x2＋2x－2.(2分)圖象如圖．(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]．圖象是拋物線y＝x2＋2x在［－2，2］上的部分，如圖所示．(10分)由圖，可得函數(shù)的值域是[－1,8]．(12分)[一點通]作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線．作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象，并標(biāo)注一些關(guān)鍵點，如與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等．5．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是 (

)A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)解析：由圖象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：C解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)x＝2時，y＝5.所畫圖象如圖1所示．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.當(dāng)x＝－1時，y＝3.當(dāng)x＝0時，y＝0.當(dāng)x＝1時，y＝－1.當(dāng)x＝2時，y＝0.所畫圖象如圖2所示．(3)當(dāng)x＝2時，y＝1，其圖象如圖3所示．1．函數(shù)的三種表示法的優(yōu)缺點比較：優(yōu)點缺點聯(lián)系解析法變量關(guān)系特明顯，給定任意自變量，代入式子值好求不形象來不直觀，變化趨勢難判斷，有些函數(shù)無法用解析列表和圖象，三法各有優(yōu)缺點.面對實際問題時，根據(jù)需要恰當(dāng)選優(yōu)點缺點聯(lián)系列表法不用計算只需看，任意給定變量值，表中查找很容易變量增多好麻煩，此時難表無限多，只限數(shù)量不多時解析列表和圖象，三法各有優(yōu)缺點.面對實際問題時，根據(jù)需要恰當(dāng)選圖象法很形象來很直觀，變化趨勢很明顯近似表達(dá)對應(yīng)值，誤