抽象函數(shù)問題分類解析

抽象函數(shù)問題分類解析求定義域

判斷奇偶性判斷單調(diào)性探求周期性求函數(shù)值比較函數(shù)值大小討論不等式的解研究函數(shù)的圖象1.求定義域例1.函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域是___。這類問題只要緊緊抓住：將函數(shù)中的看作一個(gè)整體，相當(dāng)于中的x這一特性，利用解不等式（組）,問題就會(huì)迎刃而解分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以

所求函數(shù)定義域分析：因?yàn)榧熬喈?dāng)于中的x，所以時(shí)，則

(1)當(dāng)

(2)當(dāng)時(shí)，則例2.已知的定義域?yàn)?則的定義域是_____.

根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與 的關(guān)系。例3.已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。

中，令分析：在得令，得于是:故是偶函數(shù)。

2.判斷奇偶性例4.若函數(shù)與是偶函數(shù)。的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù)證明：設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的圖象上，又即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有3.判斷單調(diào)性

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例5.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么

A.增函數(shù)且最小值為-5

B.增函數(shù)且最大值為-5C.減函數(shù)且最小值為-5

D.減函數(shù)且最大值為-5分析：畫出滿足題意的示意圖易知選B。

y

5

O

-7-337x

-5

例6.已知偶函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知證明：任取結(jié)論：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反4.探求周期性

這類問題較抽象，分析題設(shè)條件，通過類比，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對(duì)函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x有記住例8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x，y有，并存在正實(shí)數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求一個(gè)周期；若不是，說明理由。分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數(shù)。解：故是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。

5.求函數(shù)值緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解例9.已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_______分析：在條件中，令，得又令，得例9.已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_______例10.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，，于是

6.比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例11.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若，則的大小關(guān)系是_____。是偶函數(shù)，解：7.討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。往往要充分考慮抽象函數(shù)的定義域，通過解不等式組完成例12.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求k的值解：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切恒成立，則有

8.研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解例13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_______對(duì)稱。分析：的圖象的圖象而是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是故的對(duì)稱軸是例14.若