數(shù)值分析04數(shù)值積分與數(shù)值微分

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分§1引言一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)?有解析表達(dá)式；?

的原函數(shù)

為初等函數(shù)．

實(shí)際問(wèn)題1.

的原函數(shù)

不能用初等函數(shù)表示例如函數(shù):考慮一個(gè)實(shí)際問(wèn)題:建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.從到英寸間的弧長(zhǎng)L.這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)給定的曲線,

由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱(chēng)為第二類(lèi)橢圓積分。What’stheOriginalfunction?!It’ssocomplexthatwecannotgetit.2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜,計(jì)算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.

沒(méi)有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來(lái)通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它的局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需要積分的數(shù)值方法來(lái)幫忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義2、數(shù)值積分的理論依據(jù)依據(jù)積分中值定理,對(duì)于連續(xù)函數(shù)

,在內(nèi)存在一點(diǎn),使得稱(chēng)

為區(qū)間的平均高度.3、求積公式的構(gòu)造若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點(diǎn)求積公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取兩點(diǎn)，并令，則可得梯形公式（兩點(diǎn)求積公式）則可得Simpson公式(三點(diǎn)求積公式)若取三點(diǎn)，并令一般地，取區(qū)間內(nèi)個(gè)點(diǎn)處的高度通過(guò)加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度這類(lèi)求積方法稱(chēng)為機(jī)械求積:

或?qū)懗?數(shù)值積分公式求積系數(shù)

求積節(jié)點(diǎn)記稱(chēng)為數(shù)值求積公式稱(chēng)為求積公式余項(xiàng)(誤差).三、求積公式的代數(shù)精度1、問(wèn)題的提出構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問(wèn)題有:(i)

確定求積系數(shù)

和求積節(jié)點(diǎn)

(iii)

求積公式的誤差估計(jì)和收斂性分析.(ii)

判定求積公式精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)；稱(chēng)求積公式具有m次代數(shù)精度,如果它滿足如下兩個(gè)條件:2、定義(i)對(duì)所有次數(shù)≤m次的多項(xiàng)式,有(ii)存在m+1次多項(xiàng)式,使得上述定義中的條件(i),(ii)等價(jià)于:§2插值型求積公式一、定義在積分區(qū)間上，取個(gè)節(jié)點(diǎn)作

的次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）:則有其中，為插值余項(xiàng)。于是有：取Ak由節(jié)點(diǎn)決定，與

無(wú)關(guān)。稱(chēng)為插值型求積公式二、截?cái)嗾`差與代數(shù)精度1、截?cái)嗾`差2、代數(shù)精度推論

求積系數(shù)滿足:

形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）定理§3Newton-Cotes公式一、Cotes系數(shù)取節(jié)點(diǎn)為等距分布：由此構(gòu)造的插值型求積公式稱(chēng)為Newton-Cotes公式,此時(shí)求積系數(shù)：令Cotes系數(shù)二、Newton-Cotes公式1、定義：記則求積公式變?yōu)榉Q(chēng)上式為n階閉型Newton-Cotes求積公式。注意:由式確定的Cotes系數(shù)只與和有關(guān),與

和積分區(qū)間無(wú)關(guān)，且滿足:2、截?cái)嗾`差Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關(guān)3、代數(shù)精度作為插值型求積公式，具有次代數(shù)精度，階Newton-Cotes公式至少而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢？定理當(dāng)階數(shù)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式至少具有次代數(shù)精度。證明:只需驗(yàn)證當(dāng)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對(duì)的余項(xiàng)為零。由于

,所以

即得引進(jìn)變換,因?yàn)闉榕紨?shù),故為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定

,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù).4、數(shù)值穩(wěn)定性現(xiàn)在討論舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)用公式近似計(jì)算積分時(shí),其中計(jì)算函數(shù)值

有誤差則在的計(jì)算中,由引起的誤差為沒(méi)有誤差,中間計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差也不考慮,計(jì)算，而如果都是正數(shù),并設(shè)則有故

是有界的,即由

引起的誤差受到控制,的倍,不超過(guò)保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。將出現(xiàn)負(fù)數(shù),而當(dāng)

時(shí),將隨增大,因而不能保證數(shù)值穩(wěn)定性.故高階公式不宜采用,有實(shí)用價(jià)值的僅僅是幾種低階的求積公式.三、幾種常用的低階求積公式n=1:梯形公式/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代數(shù)精度=1n=2:Simpson公式代數(shù)精度=3n=4:

Cotes公式

代數(shù)精度=5,這里四、復(fù)化求積公式高次插值有Runge現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來(lái)解決高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時(shí)又不能滿足精度要求，怎么辦？可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算，然后求和。復(fù)化梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/

復(fù)化梯形公式積分法復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn

復(fù)化Simpson公式積分法復(fù)化Cotes公式：=

Cn收斂速度與誤差估計(jì)：定義：若一個(gè)積分公式的誤差滿足，且

，則稱(chēng)該公式是p

階收斂的。~~~例:利用數(shù)據(jù)表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計(jì)算積分解：這個(gè)問(wèn)題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛卜生公式=3.141592502運(yùn)算量基本相同復(fù)化梯形公式的誤差估計(jì)給定精度，如何取

?例如：要求，如何判斷n=？1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式記則?上例中若要求，則即：取n=409通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

時(shí)，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)可用來(lái)判斷迭代是否停止。2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式復(fù)化Simpson公式的誤差估計(jì)1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式復(fù)化Cotes公式的誤差估計(jì)1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式四、龍貝格積分例:計(jì)算已知對(duì)于=106

須將區(qū)間對(duì)分9次，得到T512=3.14159202考察由來(lái)計(jì)算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg求積公式Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T理查德森外推法利用低階公式產(chǎn)生高精度的結(jié)果。由Taylor展開(kāi)得到：i

與h

無(wú)關(guān)現(xiàn)將

對(duì)分，得：設(shè)對(duì)于某一，有公式

近似計(jì)算某一未知值。如何將公式精度由提高到

？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：計(jì)算步驟：1．取，計(jì)算2．對(duì)k=1,2,…

計(jì)算下列各步3．對(duì)n=0,1,2,…,k=n–1,n–2,…4．收斂控制若或則輸出積分值，否則轉(zhuǎn)3。

Newton-Cotes公式采用等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代數(shù)精度至多可達(dá)到。（為偶數(shù)）那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下，是否可以在上自由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積公式的精度提得更高？例：求形如的兩點(diǎn)求積公式。

（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1為節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式）立即可得。只具有一次代數(shù)精確度?。?）若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)A0,A1,x0,x1適當(dāng)選取，使求積公式對(duì)f(x)=1，x，x2，x3都準(zhǔn)確成立，則需滿足如下方程組：五、高斯型積分構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)以及系數(shù)都作為待定系數(shù)。令代入可求解，得到的公式具有

次代數(shù)精度。節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為Gauss點(diǎn)此公式稱(chēng)為Gauss型求積公式例：求的2點(diǎn)Gauss公式。解：設(shè)，應(yīng)有3

次代數(shù)精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。定理：

x0…xn

為Gauss點(diǎn)

與任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)（帶權(quán)）正交。證明：“”

x0…xn

為Gauss點(diǎn),則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。對(duì)任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：=00求Gauss點(diǎn)

求w(x)不大于的多項(xiàng)式

精確成立，即證明：“”要證明為Gauss點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù)設(shè)0正交多項(xiàng)式族{0,1,…,n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)必與n+1

正交。若取w(x)為其中的n+1，則n+1的根就是Gauss點(diǎn)。53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：Step1：構(gòu)造正交多項(xiàng)式2設(shè)cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep2：求2=0

的2個(gè)根，即為Gauss點(diǎn)x0，x1Step3：代入