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晶體的周期性結(jié)構(gòu)(2):倒格矢
(倒空間,reciprocalspace)對布拉伐格子中所有的格矢Rl,滿足
的全部端點Kh的集合,構(gòu)成該布拉伐格子的倒格子。布拉伐格子也稱為正格子(directorlattice)或者說,倒空間內(nèi)所有滿足上述關(guān)系的矢量Kh所定義格子就是布拉伐格子Rl的倒格子對應(yīng)的關(guān)系——倒空間分析技術(shù)(X射線衍射)的基礎(chǔ)——知道Kh,就知道Rl電荷密度、勢能等滿足迭加原理的物理量,如一個周期性變化的量,可以展開成Fourier級數(shù)其逆變換,或F(r)的Fourier系數(shù)為晶體具有平移周期性,這樣的物理量也滿足數(shù)學(xué)上,點陣Fourier變換作變量替換,r'=r+Rl,就有即:因為F(r)=F(r+Rl),有
對正格子:如果:且:有:那確實可以滿足上述關(guān)系,確實可以滿足Kh所有的段點為格點(即有可用基矢和整數(shù)表示的平移周期性)bi就是倒格子基矢倒格子基矢如果確定了正格子基矢,倒格子基矢就不是任意的。利用矢量關(guān)系和從a*b關(guān)系,就有就可以得到
二維倒格矢倒格矢倒格子原胞體積倒空間中的布拉伐格子ab2p/a2p/bReciprocallattice:2維簡單立方結(jié)構(gòu):sc面心立方結(jié)構(gòu):fcc體心立方結(jié)構(gòu):bcc重要的例子ikja1a2a3簡單立方:Simplecubic(sc)ikja1a3a2體心立方kjia1a2a3
面心立方真實空間
倒格子空間
sc sc fcc bcc bcc fccReallatticeReciprocallattice倒空間中的Wigner-Seitz原胞為什么引入布里淵區(qū)?邊界面,高對稱布里淵區(qū)——倒空間的原胞a第一Brillioun區(qū):1D第一Brillioun區(qū):2D1stBrillouinzone:2D實空間和倒空間正格子(Bravais)和倒格子(reciprocallattice)WS原胞和Brillioun區(qū)(倒空間的WS原胞)倒、正對應(yīng)互為正格子、倒格子正、倒對應(yīng)關(guān)系波恩-卡曼邊界條件電荷密度、勢能等物理量滿足迭加原理,如理想的無限大晶體具有平移周期性,這樣的物理量滿足實際的晶體都是有限大小的,并不滿足嚴(yán)格的平移對稱性對于實際的有限大小的晶體,在進(jìn)行理論分析時,如果表面和界面效應(yīng)可以忽略,通??梢酝ㄟ^引入波恩-卡曼邊界條件,將其簡化成一個具有平移對稱性的無限大的理想晶體。即將整個晶體作為一個大的原胞,通過平移形成一個具有嚴(yán)格平移對稱性的理想晶體(即假設(shè)無窮多個同樣大小的晶體首尾相連)。是將整個晶體作為一個大的原胞,通過平移形成的具有嚴(yán)格平移對稱性的理想晶體的基矢量。對于滿足波恩-卡曼周期性邊界條件的物理量,可以展開成Fourier級數(shù)其逆變換,或F(r)的Fourier系數(shù)為因為:必須滿足下面的關(guān)系:波矢量由此可知,滿足波恩-卡曼周期性邊界條件的波矢量k只能取下面這樣的值:對于有限大小的理想晶體,波矢量k是不連續(xù)的,只能取分立值。對于無限大的理想晶體,波矢量k是連續(xù)的。對于滿足理想無限大晶體平移對稱性的物理量:可以展開成Fourier級數(shù):點陣Fourier級數(shù)對于滿足波恩-卡曼周期性邊界條件的物理量,可以展開成Fourier級數(shù):對于布里淵區(qū)中許可波矢的求和可化為對的連續(xù)積分由于沿倒格矢方向相鄰值之間的距離為
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