材料物理基礎(chǔ)-第七章1

第七章薛定諤方程和波函數(shù)7.1薛定諤方程的建立7.2薛定諤方程的解-波函數(shù)的性質(zhì)7.3一維定態(tài)的薛定諤方程7.4線性諧振子7.5氫原子2

1.理解微觀粒子運動狀態(tài)的描述波函數(shù)性質(zhì)及其統(tǒng)計解釋。2.掌握微觀粒子運動的動力學(xué)方程波函數(shù)隨時間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。3.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。4.通過對三個實例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解的基本思路與步驟。

學(xué)習(xí)要求3

微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必然有別于經(jīng)典力學(xué)對粒子運動狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運動狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。微觀粒子狀態(tài)的描述

德布羅意指出：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—稱為波函數(shù)?！?/p>

描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波7.1薛定諤方程的建立4

這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之后得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時間演化。5從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t

粒子的狀態(tài)r

和p

。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。經(jīng)典粒子運動方程經(jīng)典情況自由粒子：不受外力場的作用，在空間中其動量和能量都不隨時間變化的粒子。自由粒子的波函數(shù)如何確定自由粒子的波函數(shù)呢？

回顧一下電磁學(xué)中平面電磁波的數(shù)學(xué)描述。即平面電磁波的數(shù)學(xué)表達(dá)式更方便地寫為以下指數(shù)形式因為在求解電磁場方程組時涉及到對上述函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)運算，最后的結(jié)果取其實部，由此為計算帶來方便。試分析一下平面電磁波和自由粒子的波函數(shù)有何異同？平面電磁波和自由粒子的能量和動量都不隨時間和空間變化，二者在空間中的運動都是“自由的”。

它們分別需要一個代表波的數(shù)學(xué)函數(shù)來描述。平面電磁波是一種純粹的經(jīng)典波，而微觀粒子的波與粒子屬性密切聯(lián)系。在波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式上應(yīng)當(dāng)有相似之處，但粒子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)包含其粒子性，即通過波粒二象性來聯(lián)系——愛因斯坦關(guān)系與德布羅意關(guān)系。薛定諤的創(chuàng)造性思維：利用愛因斯坦關(guān)系和德布羅意關(guān)系，把平面電磁波表達(dá)式中表述波屬性的物理量波矢量與圓頻率用動量和能量替換，便得到自由粒子的波函數(shù)8這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E。將Ψ對坐標(biāo)二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：(1)–(2)式9討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：(1)–(2)式以上方程便是自由粒子波函數(shù)隨時間演化的方程，稱為自由粒子的薛定諤方程。10勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)

中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：利用類比的方法也可以建立起薛定諤方程，它與用微分的方法來建立方程所得的結(jié)果是一致的。

通過邏輯思維對經(jīng)典力學(xué)、幾何力學(xué)、波動光學(xué)、量子力學(xué)的相似之處及過渡關(guān)系進(jìn)行比較，得出量子力學(xué)的波動方程與光波的波動方程相似，以此作為基礎(chǔ)而建立起薛定諤方程的。需要注意的是，薛定諤方程是實驗的綜合，不是推導(dǎo)和證明出來的，薛定諤方程的正確性是靠它與大量實驗相符合而得以證實的。127.2薛定諤方程的解-波函數(shù)的性質(zhì)7.2.1薛定諤方程的解量子力學(xué)解決實際問題1）寫出微觀粒子系統(tǒng)的勢能函數(shù)。2）寫出薛定諤方程，通過求解，得到具體的波函數(shù)。3）所求得的每一個解表示該微觀粒子系統(tǒng)的某一種穩(wěn)定狀態(tài)，與這個解相對應(yīng)的能量E，就是該微觀粒子系統(tǒng)在此穩(wěn)定狀態(tài)時的總能量。一般地當(dāng)勢場僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)時波函數(shù)可分解為：代入薛定鍔方程得（1）（2）兩邊同除=E由（1）式可得：由（2）式可得：在整個空間粒子的概率分布是不隨時間變化的，這就是（穩(wěn)定的態(tài)）的含義。定態(tài)薛定諤方程整個波函數(shù)形式：特點：波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時間部分函數(shù)相乘；B．時間部分函數(shù)是確定的，為：定態(tài)波函數(shù)幾率密度w

與t

無關(guān)，幾率分布不隨時間而變，因此稱為定態(tài)。重點要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問題。求解問題的思路：1.寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義，即求|

|2，得出粒子在空間的概率分布。7.2.2波函數(shù)的物理意義1、用波函數(shù)Ψ（r,t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的是粒子在空間分布的概率的概率波，而非經(jīng)典波那樣代表實在的物理量的波動。2、玻恩在這個基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：波函數(shù)模的平方代表時刻、在處

粒子出現(xiàn)的幾率密度。一般地說，任一波函數(shù)的模方在全空間的積分值并非等于1，而是一個有限的數(shù)值A(chǔ)，即3、

量子力學(xué)的二個態(tài)的迭加原理：如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1

、c2是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。

4、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi

也是體系的一個可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時，體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài)，…等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態(tài)Ψi。5、粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

（或幾率流密度和幾率守恒定律）

本節(jié)要引入幾率流密度概念,

由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。所以可以看作對薛定諤方程的討論。設(shè)Ψ已歸一化，q為單粒子的電荷，則

|Ψ|2=幾率密度(w)；

|Ψ|2dV=dV的幾率；

|Ψ|2q=電荷密度(ρ)；

|Ψ|2qdV=dV的電荷。

幾率流密度（J）含義=單位時間垂直流過單位面積幾率。

J公式=？先介紹幾率的連續(xù)方程。

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式：通過類比，就可定義為幾率流密度J，這個方程也就是幾率的連續(xù)方程。

(一)、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度類比：已知電荷有連續(xù)方程：其中，ρ電荷密度,電流密度。

薛定諤方程為:

(1)對上述方程取復(fù)共軛得

(2)

在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生和湮滅，所以，在隨時間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不便。對一個粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時間變化,即:

下面推導(dǎo)這個公式：定義：幾率流密度

得幾率的連續(xù)方程：(二)、幾率守恒定律對幾率的連續(xù)方程：

兩邊對一個封閉的體積V積分，并利用高斯公式，得：表示：左=體積V內(nèi)單位時間幾率的增加量=右=單位時間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量，這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價的。幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。(三)、質(zhì)量、電荷守恒定律

1．wm=mw：質(zhì)量密度，Jm=mJ：質(zhì)量流密度。質(zhì)量守恒定律

2．we=qw：電荷密度，Je=qJ：電流密度。電荷守恒定律(四)、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)，單值，有限。單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計含義所定。連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。

另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。說明：

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。例7.1如果粒子1處于

1

態(tài)，粒子2處于

2

態(tài)，那么由粒子1和粒子2組成的體系的態(tài)是否是

1+2?解：

由粒子1和粒子2組成的體系1+2的態(tài)不是

1+2.。知道，態(tài)疊加原理指的是同一體系自身狀態(tài)的疊加，而復(fù)合體系1+2的最簡單的態(tài)也是

1

和2

兩者的積，即

。？例7.2如果知道粒子分別以概率1/3和2/3處于能量為E1

和E2

的態(tài)1

和2

，那么該粒子的態(tài)

是否是解：

該粒子的態(tài)

不一定是.因為并不知道

1

和2

之間的相位關(guān)系，所以只能寫成其中

1

和

2

是待定常數(shù)，相位差

1

2

是一個具有物理意義的量。處于上述態(tài)

下的粒子的空間概率密度分布為

一、一維勢阱實例如：金屬中的自由電子。金屬粒子有規(guī)則的排列成行，1）電子在金屬內(nèi)部勢能為常數(shù)，認(rèn)定為零；2）表面有一個勢階?？傊?，此時電子勢能可以近似認(rèn)為是一個方勢阱形式。

7.3一維(無限深)勢阱二、微分方程

的三種解形式。

這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價的解：

a.b.c.依方便,隨取一種形式的解.

一維無限深勢阱求解

一個粒子處在這樣勢阱內(nèi),其質(zhì)量為μ.

具體例子:金屬中電子可以看成處在有限深勢阱內(nèi).-a0aV(x)IIIIII一維無限深勢阱的薛定諤方程與求解.

這是定態(tài)問題,只需解出定態(tài)波函數(shù)φn與定態(tài)能量En即可.

定態(tài)薛定諤方程:在阱內(nèi)在阱外波函數(shù)連續(xù)性決定的邊界條件為波函數(shù)有界的要求粒子無法穿過無限深的勢阱，阱外的解求解過程

0aV(x)IIIn取零無物理意義粒子被束縛在勢阱中，能量只能取一系列離散值，即它的能量是量子化的。每一個值對應(yīng)于一個能級，這些能量值稱為能量本征值，而n稱為量子數(shù)。粒子最低能量稱為基態(tài)能量。粒子最小能量的存在意味著物質(zhì)世界不可能有絕對靜止?fàn)顟B(tài)。相鄰兩能級的間隔：1.能級和能級差結(jié)果討論與分析①相鄰能級間的差值，隨量子數(shù)n的增加而增加，隨粒子質(zhì)量m和勢阱寬度a的增大而減小。

②對宏觀物體，由于其質(zhì)量很大，運動范圍也大，E

很小，故其能量可看作是連續(xù)變化的。

③對微觀粒子，若在宏觀范圍內(nèi)運動則E很小，其能量量子化不顯著；如果是在原子尺寸大小的范圍內(nèi)運動，則E

很大，能量量子化就很明顯。④當(dāng)n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能級分布可視為連續(xù)的。2.波函數(shù)歸一化因子一維無限深方勢阱中運動粒子的歸一化波函數(shù)3.粒子在勢阱中的概率密度不同量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的概率不同。n-1個節(jié)點，當(dāng)n→∞時，粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學(xué)的結(jié)果過濾到經(jīng)典力學(xué)的情況。例7.3：在核內(nèi)的質(zhì)子和中子可粗略地當(dāng)成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動也可以認(rèn)為是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉(zhuǎn)變時，放出的能量是多少MeV？核的線度按1.0×10-14m計。解：質(zhì)子基態(tài)能量為第一激發(fā)態(tài)的能量為從第一激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)變到基態(tài)所放出的能量為實驗中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾個MeV的量級。例7.4一維無限深阱中有10個電子，電子質(zhì)量為m，勢阱寬度為l。若忽略電子間的相互作用，應(yīng)用量子物理的基本原理計算系統(tǒng)處于最低能量時，勢阱中電子的最大能量。解：

處于勢阱中電子的狀態(tài)是由電子的能態(tài)和電子的自旋態(tài)決定的。根據(jù)泡利不相容原理，每個能級上只能有自旋方向相反的兩個電子，所以系統(tǒng)處于最低能量時，勢阱中10個電子由最低能級開始依次逐級充填。顯然，勢阱中最大能量電子的量子數(shù)n=5，得：例7.5阱寬為[0，a]的1維無限深勢阱中運動的粒子狀態(tài)由波函數(shù)

描寫

。求歸一化常數(shù)A。解:

由歸一化條件，積分得：（二）勢壘的貫穿——量子隧道效應(yīng)物理模型勢能突增的空間區(qū)域形象化地稱為勢壘。例如，金屬表面以外的區(qū)域?qū)τ趦?nèi)部電子所形成的突增勢能就是一個勢壘。勢壘對粒子的作用一般表現(xiàn)為散射作用。對于一維情況，粒子被勢壘散射后，或者穿過勢壘，或者被反射。解決勢壘問題的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的動量和能量作為已知量為前提的。

一維空間中，能量為E的自由運動的粒子在如圖方型勢壘上散射，求解之。（1）E>V0定態(tài)Schr?dinger方程為：其解的一般形式為：

上述解再乘上時間因子就分別得到向左向右傳播的平面波，但在x>a的區(qū)域沒有向左傳播的平面波，故C’=0。再利用x=0和x＝a處的連續(xù)條件，有：可解得：而相應(yīng)的概率流密度為相應(yīng)的透射系數(shù)和反射系數(shù)為：透射系數(shù)

反射系數(shù)

而當(dāng)，即時，D=1,R=0,此時粒子完全透射，沒有反射，稱之為共振透射。（2）E<V0這時k2是虛數(shù)，可令k2＝ik3則為實數(shù)，可得到透射系數(shù)為

可見，能量低于勢壘高度的粒子有一定概率穿過勢壘。當(dāng)V0→∞時，D→0。對任意形狀的勢壘，可將上式推廣為：

若入射粒子的能量E

很小，以致k3a>>1,

則有（3）若為勢阱，V0→-V0,仍有:透射系數(shù)反射系數(shù)且反射系數(shù)一般不為零。從Ⅰ區(qū)入射的粒子，部分被反射回去，其余的貫穿勢壘區(qū)（Ⅱ區(qū)）而透射到Ⅲ區(qū)。透射系數(shù)T不為零。即使微觀粒子的能量E小于勢壘高度U0，被散射的粒子也有穿透勢壘的可能性，并且穿透后的能量E不變。這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)是量子力學(xué)中特有的物理現(xiàn)象，是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，在經(jīng)典物理中是不可能發(fā)生的。例7.6：求動能E為3eV的電子隧穿高度U0=10eV，寬度a=0.4nm和a=0.8nm勢壘的概率？電子換成質(zhì)子的結(jié)果？解：說明電子的隧穿概率對勢壘寬度a，質(zhì)量m非常敏感。當(dāng)m、U0-E以及a為微觀尺度時,（特別是對于電子）穿透系數(shù)有一定的值；當(dāng)m及a增加時，T則大幅度降低。如果m及a為宏觀尺度，T將趨于零而實際上無法測量，勢壘貫穿是一種微觀效應(yīng)，是微觀粒子波動性典型表現(xiàn)。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscopemetal1metal2insulator隧道效應(yīng)應(yīng)用賓尼（GBinnig）羅赫爾（H.Rohrer）

瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學(xué)家賓尼和羅赫爾研制成了STM，可以很精確地觀察材料表面結(jié)構(gòu)，成了研究表面物理和其他實驗研究的重要顯微工具，二人與電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡分享了1986年諾貝爾物理學(xué)獎。567.4線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（三）實例57（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢V=0點，則58（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：axV(x)0V059取新坐標(biāo)原點為(a,V0)，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式： 可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。60（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則Schrodinger方程可寫為：為簡單計，引入無量綱變量ξ代替x，此式是一變系數(shù)二階常微分方程（2）求解為求解方程，先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]欲驗證解的正確性，可將其代回方程，波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時，應(yīng)有c2=0，因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：ξ2>>±163其中H(ξ)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿足的方程：2.H(ξ)滿足的方程64以級數(shù)形式來求解。為此令：用k代替k’65由上式可以看出：

b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；

b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個線性獨立解。可分別令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式：該式對任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，只含偶次冪項只含奇次冪項則通解可記為：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]66（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞需要考慮無窮級數(shù)H(ξ)的收斂性為此考察相鄰兩項之比：考察冪級數(shù)exp[ξ2}的展開式的收斂性比較二級數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。單值性和連續(xù)性二條件自然滿足，只剩下第三個有限性條件需要進(jìn)行討論。因為H(ξ)是一個冪級數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點，即勢場有跳躍的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。67所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù)H(ξ)

必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求H(ξ)

從某一項（比如第

n

項）起以后各項的系數(shù)均為零，即bn≠0,bn+2=0.代入遞推關(guān)系)得：結(jié)論基于波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。68（4）厄密多項式附加有限性條件得到了H(ξ)的一個多項式，該多項式稱為厄密多項式，記為Hn(ξ)，于是總波函數(shù)可表示為：由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數(shù)是2n。歸一化系數(shù)Hn(ξ)也可寫成封閉形式：λ=2n+169厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出厄密多項式的遞推關(guān)系：應(yīng)用實例例：已知H0=1,H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2下面給出前幾個厄密多項式具體表達(dá)式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(x)的遞推關(guān)系：70（5）求歸一化系數(shù)

(分步積分)該式第一項是一個多項式與exp[-ξ2]的乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項為零。繼續(xù)分步積分到底因為Hn的最高次項ξn的系數(shù)是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。于是歸一化系數(shù)則諧振子波函數(shù)為：(I)作變量代換，因為ξ=αx，所以dξ=αdx；(II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。71（6）討論3.對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。1.上式表明，Hn(ξ)的最高次項是(2ξ)n。所以： 當(dāng)n=偶，則厄密多項式只含ξ的偶次項；當(dāng)n=奇，則厄密多項式只含ξ的奇次項。2.ψn具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項式Hn(ξ)

決定為

n宇稱。72n=0n=1n=24.波函數(shù)然而，量子情況與此不同對于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運動。這是因為振子在這一點(|αx|=1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。-3-2-10123E0E1E273分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布前幾個波函數(shù)的表達(dá)式：………75解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例1.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場的作用，其勢場為：（1）解題思路

勢V(x)是在諧振子勢上疊加上-qx項，該項是x的一次項，而振子勢是二次項。如果我們能把這樣的勢場重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結(jié)果。

76（2）改寫V(x)77（3）Hamilton量進(jìn)行坐標(biāo)變換：則Hamilton量變?yōu)椋?8（4）Schrodinger方程該式是一新坐標(biāo)下一維線性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結(jié)果得：新坐標(biāo)下Schrodinger方程改寫為：本征能量本征函數(shù)例7.7求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：得:由

ω1(x)的表達(dá)式可知，x=0,∞時，ω1(x)=0。顯然不是最大幾率的位置?？梢?/p>

是所求幾率最大的位置。例7.8在時間t=0時，一維線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)：其中

為第n個時間無關(guān)的本征函數(shù)。（1）求C

的值；（2）該振子能量的可能值、幾率及平均能量

。（3）寫出t>0時的波函數(shù)。解：(1)（2）（3）氫原子的量子力學(xué)處理方法1、氫原子的薛定諤方程勢能此勢能與時間無關(guān)，電子處于定態(tài)。應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程：7.5氫原子的量子理論氫原子中電子滿足的薛定諤方程是：在球坐標(biāo)下：目的是：對于任意給定的E值，找出滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的上述方程的解，在求解過程中自然地得到一些量子化條件。球坐標(biāo)下的氫原子的定態(tài)薛定諤方程：束縛態(tài)令：代入方程，分離變量方程成立條件是兩邊同為一常數(shù)，得：⑴將⑵式在分離變量，令常數(shù)為⑵⑶⑷氫原子的定態(tài)方程變成了三個分離變量方程即每個方程只含有一個變量，求解過程很復(fù)雜。在求解的過程中，有波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的要求，可以得到一些量子化條件氫原子的波函數(shù)為：2．量子化條件1）能量量子化

求解R(r)時，為了使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，則電子（或說是整個原子）束縛態(tài)的能量只能是分立的。

n稱為主量子數(shù)。能級間隔隨n增大而很快地減小，最低的能級（n＝1）稱為基態(tài)。n＝2的能級稱為第一激發(fā)態(tài)。2）角動量量子化

即原子中電子繞原子核旋轉(zhuǎn)的角動量也是量子化的。

稱為角量子數(shù)或副量子數(shù)。對應(yīng)同一個n值，有不同的取值，但可取n個值；所以能量相同的電子的角動量可不同。如氫原子的n＝4能級量子態(tài):角量子數(shù):求解時得到量子數(shù)與有關(guān)，它體現(xiàn)電子軌道角動量的大小3）角動量分量量子化

角動量沿空間某一方向，如沿Z軸正向的分量也是量子化

稱為磁量子數(shù)，對一定的

，可取個值。此角動量量子化表示了氫原子中電子的角動量特性。

當(dāng)存在外磁場時，即原子是放在外磁場中時，一般地把Z軸選擇為外磁場的方向，所以稱為磁量子數(shù)。求解得角動量在空間可能有5個取向當(dāng)n、l、m三個量子數(shù)一定，能量E、角動量L和角動量在外磁場方向的分量Lz都具有確定的值，此時氫原子的狀態(tài)可用波函數(shù)表示。其中：為徑向函數(shù)；為球諧函數(shù)例：l=2時0Z，B波函數(shù)（空間）的解為：其中：這里：3、討論：簡并度：同一個能級所對應(yīng)的狀態(tài)（波函數(shù)）稱為能級的簡并度。氫原子，能級僅與n

有關(guān)，簡并度：（)知道了波函數(shù)，可以討論氫原子內(nèi)電子在空間個點的幾率分布。當(dāng)氫原子處于態(tài)時，電子在點周圍的體積元的幾率是就得到在半徑到

的球殼內(nèi)找到電子的幾率將上式對和積分（球諧函數(shù)是歸一化函數(shù)）或者說電子徑向概率分布r～r+dr如圖表示可以看出在波爾軌道出電子出現(xiàn)的幾率最大zw10zOw00zw1±1或者說電子角向概率分布(,)方向立體角d⑵如圖1：S-電子，l=0,m=0與無關(guān)，球?qū)ΨQP

電子，l=1,m=1,-1

關(guān)于原子中各個電子的運動狀態(tài)，量子力學(xué)給出的一般結(jié)論是：電子運動狀態(tài)由四個量子數(shù)決定；總結(jié)1）主量子數(shù)