材料物理基礎(chǔ)-第七章1

第七章薛定諤方程和波函數(shù)7.1薛定諤方程的建立7.2薛定諤方程的解-波函數(shù)的性質(zhì)7.3一維定態(tài)的薛定諤方程7.4線性諧振子7.5氫原子2

1.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波函數(shù)性質(zhì)及其統(tǒng)計(jì)解釋。2.掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程波函數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。3.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。4.通過對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解的基本思路與步驟。

學(xué)習(xí)要求3

微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述必然有別于經(jīng)典力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。微觀粒子狀態(tài)的描述

德布羅意指出：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—稱為波函數(shù)?！?/p>

描述自由粒子的波是具有確定能量和動(dòng)量的平面波7.1薛定諤方程的建立4

這些問題在1926年Schrodinger提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個(gè)問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。5從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t

粒子的狀態(tài)r

和p

。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)典情況自由粒子：不受外力場(chǎng)的作用，在空間中其動(dòng)量和能量都不隨時(shí)間變化的粒子。自由粒子的波函數(shù)如何確定自由粒子的波函數(shù)呢？

回顧一下電磁學(xué)中平面電磁波的數(shù)學(xué)描述。即平面電磁波的數(shù)學(xué)表達(dá)式更方便地寫為以下指數(shù)形式因?yàn)樵谇蠼怆姶艌?chǎng)方程組時(shí)涉及到對(duì)上述函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，最后的結(jié)果取其實(shí)部，由此為計(jì)算帶來方便。試分析一下平面電磁波和自由粒子的波函數(shù)有何異同？平面電磁波和自由粒子的能量和動(dòng)量都不隨時(shí)間和空間變化，二者在空間中的運(yùn)動(dòng)都是“自由的”。

它們分別需要一個(gè)代表波的數(shù)學(xué)函數(shù)來描述。平面電磁波是一種純粹的經(jīng)典波，而微觀粒子的波與粒子屬性密切聯(lián)系。在波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式上應(yīng)當(dāng)有相似之處，但粒子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)包含其粒子性，即通過波粒二象性來聯(lián)系——愛因斯坦關(guān)系與德布羅意關(guān)系。薛定諤的創(chuàng)造性思維：利用愛因斯坦關(guān)系和德布羅意關(guān)系，把平面電磁波表達(dá)式中表述波屬性的物理量波矢量與圓頻率用動(dòng)量和能量替換，便得到自由粒子的波函數(shù)8這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E。將Ψ對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對(duì)t微商，得：(1)–(2)式9討論：通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：(1)–(2)式以上方程便是自由粒子波函數(shù)隨時(shí)間演化的方程，稱為自由粒子的薛定諤方程。10勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動(dòng)方程。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)

中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：利用類比的方法也可以建立起薛定諤方程，它與用微分的方法來建立方程所得的結(jié)果是一致的。

通過邏輯思維對(duì)經(jīng)典力學(xué)、幾何力學(xué)、波動(dòng)光學(xué)、量子力學(xué)的相似之處及過渡關(guān)系進(jìn)行比較，得出量子力學(xué)的波動(dòng)方程與光波的波動(dòng)方程相似，以此作為基礎(chǔ)而建立起薛定諤方程的。需要注意的是，薛定諤方程是實(shí)驗(yàn)的綜合，不是推導(dǎo)和證明出來的，薛定諤方程的正確性是靠它與大量實(shí)驗(yàn)相符合而得以證實(shí)的。127.2薛定諤方程的解-波函數(shù)的性質(zhì)7.2.1薛定諤方程的解量子力學(xué)解決實(shí)際問題1）寫出微觀粒子系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)。2）寫出薛定諤方程，通過求解，得到具體的波函數(shù)。3）所求得的每一個(gè)解表示該微觀粒子系統(tǒng)的某一種穩(wěn)定狀態(tài)，與這個(gè)解相對(duì)應(yīng)的能量E，就是該微觀粒子系統(tǒng)在此穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的總能量。一般地當(dāng)勢(shì)場(chǎng)僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)波函數(shù)可分解為：代入薛定鍔方程得（1）（2）兩邊同除=E由（1）式可得：由（2）式可得：在整個(gè)空間粒子的概率分布是不隨時(shí)間變化的，這就是（穩(wěn)定的態(tài)）的含義。定態(tài)薛定諤方程整個(gè)波函數(shù)形式：特點(diǎn)：波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘；B．時(shí)間部分函數(shù)是確定的，為：定態(tài)波函數(shù)幾率密度w

與t

無關(guān)，幾率分布不隨時(shí)間而變，因此稱為定態(tài)。重點(diǎn)要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問題。求解問題的思路：1.寫出具體問題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時(shí)才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義，即求|

|2，得出粒子在空間的概率分布。7.2.2波函數(shù)的物理意義1、用波函數(shù)Ψ（r,t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的是粒子在空間分布的概率的概率波，而非經(jīng)典波那樣代表實(shí)在的物理量的波動(dòng)。2、玻恩在這個(gè)基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)模的平方代表時(shí)刻、在處

粒子出現(xiàn)的幾率密度。一般地說，任一波函數(shù)的模方在全空間的積分值并非等于1，而是一個(gè)有限的數(shù)值A(chǔ)，即3、

量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理：如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1

、c2是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。

4、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi

也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時(shí)，體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài)，…等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)Ψi。5、粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

（或幾率流密度和幾率守恒定律）

本節(jié)要引入幾率流密度概念,

由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。所以可以看作對(duì)薛定諤方程的討論。設(shè)Ψ已歸一化，q為單粒子的電荷，則

|Ψ|2=幾率密度(w)；

|Ψ|2dV=dV的幾率；

|Ψ|2q=電荷密度(ρ)；

|Ψ|2qdV=dV的電荷。

幾率流密度（J）含義=單位時(shí)間垂直流過單位面積幾率。

J公式=？先介紹幾率的連續(xù)方程。

若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式：通過類比，就可定義為幾率流密度J，這個(gè)方程也就是幾率的連續(xù)方程。

(一)、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度類比：已知電荷有連續(xù)方程：其中，ρ電荷密度,電流密度。

薛定諤方程為:

(1)對(duì)上述方程取復(fù)共軛得

(2)

在非相對(duì)論情況下，實(shí)物粒子沒有產(chǎn)生和湮滅，所以，在隨時(shí)間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不便。對(duì)一個(gè)粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化,即:

下面推導(dǎo)這個(gè)公式：定義：幾率流密度

得幾率的連續(xù)方程：(二)、幾率守恒定律對(duì)幾率的連續(xù)方程：

兩邊對(duì)一個(gè)封閉的體積V積分，并利用高斯公式，得：表示：左=體積V內(nèi)單位時(shí)間幾率的增加量=右=單位時(shí)間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量，這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價(jià)的。幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失。(三)、質(zhì)量、電荷守恒定律

1．wm=mw：質(zhì)量密度，Jm=mJ：質(zhì)量流密度。質(zhì)量守恒定律

2．we=qw：電荷密度，Je=qJ：電流密度。電荷守恒定律(四)、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)，單值，有限。單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。

另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。說明：

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。例7.1如果粒子1處于

1

態(tài)，粒子2處于

2

態(tài)，那么由粒子1和粒子2組成的體系的態(tài)是否是

1+2?解：

由粒子1和粒子2組成的體系1+2的態(tài)不是

1+2.。知道，態(tài)疊加原理指的是同一體系自身狀態(tài)的疊加，而復(fù)合體系1+2的最簡(jiǎn)單的態(tài)也是

1

和2

兩者的積，即

。？例7.2如果知道粒子分別以概率1/3和2/3處于能量為E1

和E2

的態(tài)1

和2

，那么該粒子的態(tài)

是否是解：

該粒子的態(tài)

不一定是.因?yàn)椴⒉恢?/p>

1

和2

之間的相位關(guān)系，所以只能寫成其中

1

和

2

是待定常數(shù)，相位差

1

2

是一個(gè)具有物理意義的量。處于上述態(tài)

下的粒子的空間概率密度分布為

一、一維勢(shì)阱實(shí)例如：金屬中的自由電子。金屬粒子有規(guī)則的排列成行，1）電子在金屬內(nèi)部勢(shì)能為常數(shù)，認(rèn)定為零；2）表面有一個(gè)勢(shì)階。總之，此時(shí)電子勢(shì)能可以近似認(rèn)為是一個(gè)方勢(shì)阱形式。

7.3一維(無限深)勢(shì)阱二、微分方程

的三種解形式。

這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價(jià)的解：

a.b.c.依方便,隨取一種形式的解.

一維無限深勢(shì)阱求解

一個(gè)粒子處在這樣勢(shì)阱內(nèi),其質(zhì)量為μ.

具體例子:金屬中電子可以看成處在有限深勢(shì)阱內(nèi).-a0aV(x)IIIIII一維無限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解.

這是定態(tài)問題,只需解出定態(tài)波函數(shù)φn與定態(tài)能量En即可.

定態(tài)薛定諤方程:在阱內(nèi)在阱外波函數(shù)連續(xù)性決定的邊界條件為波函數(shù)有界的要求粒子無法穿過無限深的勢(shì)阱，阱外的解求解過程

0aV(x)IIIn取零無物理意義粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能取一系列離散值，即它的能量是量子化的。每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于一個(gè)能級(jí)，這些能量值稱為能量本征值，而n稱為量子數(shù)。粒子最低能量稱為基態(tài)能量。粒子最小能量的存在意味著物質(zhì)世界不可能有絕對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。相鄰兩能級(jí)的間隔：1.能級(jí)和能級(jí)差結(jié)果討論與分析①相鄰能級(jí)間的差值，隨量子數(shù)n的增加而增加，隨粒子質(zhì)量m和勢(shì)阱寬度a的增大而減小。

②對(duì)宏觀物體，由于其質(zhì)量很大，運(yùn)動(dòng)范圍也大，E

很小，故其能量可看作是連續(xù)變化的。

③對(duì)微觀粒子，若在宏觀范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)則E很小，其能量量子化不顯著；如果是在原子尺寸大小的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則E

很大，能量量子化就很明顯。④當(dāng)n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能級(jí)分布可視為連續(xù)的。2.波函數(shù)歸一化因子一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的歸一化波函數(shù)3.粒子在勢(shì)阱中的概率密度不同量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點(diǎn)，粒子出現(xiàn)的概率不同。n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)n→∞時(shí)，粒子在勢(shì)阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學(xué)的結(jié)果過濾到經(jīng)典力學(xué)的情況。例7.3：在核內(nèi)的質(zhì)子和中子可粗略地當(dāng)成是處于無限深勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诤酥械倪\(yùn)動(dòng)也可以認(rèn)為是自由的。按一維無限深方勢(shì)阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，放出的能量是多少M(fèi)eV？核的線度按1.0×10-14m計(jì)。解：質(zhì)子基態(tài)能量為第一激發(fā)態(tài)的能量為從第一激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)變到基態(tài)所放出的能量為實(shí)驗(yàn)中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾個(gè)MeV的量級(jí)。例7.4一維無限深阱中有10個(gè)電子，電子質(zhì)量為m，勢(shì)阱寬度為l。若忽略電子間的相互作用，應(yīng)用量子物理的基本原理計(jì)算系統(tǒng)處于最低能量時(shí)，勢(shì)阱中電子的最大能量。解：

處于勢(shì)阱中電子的狀態(tài)是由電子的能態(tài)和電子的自旋態(tài)決定的。根據(jù)泡利不相容原理，每個(gè)能級(jí)上只能有自旋方向相反的兩個(gè)電子，所以系統(tǒng)處于最低能量時(shí)，勢(shì)阱中10個(gè)電子由最低能級(jí)開始依次逐級(jí)充填。顯然，勢(shì)阱中最大能量電子的量子數(shù)n=5，得：例7.5阱寬為[0，a]的1維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子狀態(tài)由波函數(shù)

描寫

。求歸一化常數(shù)A。解:

由歸一化條件，積分得：（二）勢(shì)壘的貫穿——量子隧道效應(yīng)物理模型勢(shì)能突增的空間區(qū)域形象化地稱為勢(shì)壘。例如，金屬表面以外的區(qū)域?qū)τ趦?nèi)部電子所形成的突增勢(shì)能就是一個(gè)勢(shì)壘。勢(shì)壘對(duì)粒子的作用一般表現(xiàn)為散射作用。對(duì)于一維情況，粒子被勢(shì)壘散射后，或者穿過勢(shì)壘，或者被反射。解決勢(shì)壘問題的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的動(dòng)量和能量作為已知量為前提的。

一維空間中，能量為E的自由運(yùn)動(dòng)的粒子在如圖方型勢(shì)壘上散射，求解之。（1）E>V0定態(tài)Schr?dinger方程為：其解的一般形式為：

上述解再乘上時(shí)間因子就分別得到向左向右傳播的平面波，但在x>a的區(qū)域沒有向左傳播的平面波，故C’=0。再利用x=0和x＝a處的連續(xù)條件，有：可解得：而相應(yīng)的概率流密度為相應(yīng)的透射系數(shù)和反射系數(shù)為：透射系數(shù)

反射系數(shù)

而當(dāng)，即時(shí)，D=1,R=0,此時(shí)粒子完全透射，沒有反射，稱之為共振透射。（2）E<V0這時(shí)k2是虛數(shù)，可令k2＝ik3則為實(shí)數(shù)，可得到透射系數(shù)為

可見，能量低于勢(shì)壘高度的粒子有一定概率穿過勢(shì)壘。當(dāng)V0→∞時(shí)，D→0。對(duì)任意形狀的勢(shì)壘，可將上式推廣為：

若入射粒子的能量E

很小，以致k3a>>1,

則有（3）若為勢(shì)阱，V0→-V0,仍有:透射系數(shù)反射系數(shù)且反射系數(shù)一般不為零。從Ⅰ區(qū)入射的粒子，部分被反射回去，其余的貫穿勢(shì)壘區(qū)（Ⅱ區(qū)）而透射到Ⅲ區(qū)。透射系數(shù)T不為零。即使微觀粒子的能量E小于勢(shì)壘高度U0，被散射的粒子也有穿透勢(shì)壘的可能性，并且穿透后的能量E不變。這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)是量子力學(xué)中特有的物理現(xiàn)象，是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，在經(jīng)典物理中是不可能發(fā)生的。例7.6：求動(dòng)能E為3eV的電子隧穿高度U0=10eV，寬度a=0.4nm和a=0.8nm勢(shì)壘的概率？電子換成質(zhì)子的結(jié)果？解：說明電子的隧穿概率對(duì)勢(shì)壘寬度a，質(zhì)量m非常敏感。當(dāng)m、U0-E以及a為微觀尺度時(shí),（特別是對(duì)于電子）穿透系數(shù)有一定的值；當(dāng)m及a增加時(shí)，T則大幅度降低。如果m及a為宏觀尺度，T將趨于零而實(shí)際上無法測(cè)量，勢(shì)壘貫穿是一種微觀效應(yīng)，是微觀粒子波動(dòng)性典型表現(xiàn)。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscopemetal1metal2insulator隧道效應(yīng)應(yīng)用賓尼（GBinnig）羅赫爾（H.Rohrer）

瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學(xué)家賓尼和羅赫爾研制成了STM，可以很精確地觀察材料表面結(jié)構(gòu)，成了研究表面物理和其他實(shí)驗(yàn)研究的重要顯微工具，二人與電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡分享了1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。567.4線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項(xiàng)式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（三）實(shí)例57（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢(shì)V=0點(diǎn)，則58（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V059取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式： 可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。60（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項(xiàng)式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則Schrodinger方程可寫為：為簡(jiǎn)單計(jì)，引入無量綱變量ξ代替x，此式是一變系數(shù)二階常微分方程（2）求解為求解方程，先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程，波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0，因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：ξ2>>±163其中H(ξ)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿足的方程：2.H(ξ)滿足的方程64以級(jí)數(shù)形式來求解。為此令：用k代替k’65由上式可以看出：

b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；

b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)線性獨(dú)立解?？煞謩e令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式：該式對(duì)任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]66（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞需要考慮無窮級(jí)數(shù)H(ξ)的收斂性為此考察相鄰兩項(xiàng)之比：考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2}的展開式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。單值性和連續(xù)性二條件自然滿足，只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)，即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。67所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù)H(ξ)

必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求H(ξ)

從某一項(xiàng)（比如第

n

項(xiàng)）起以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即bn≠0,bn+2=0.代入遞推關(guān)系)得：結(jié)論基于波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。68（4）厄密多項(xiàng)式附加有限性條件得到了H(ξ)的一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密多項(xiàng)式，記為Hn(ξ)，于是總波函數(shù)可表示為：由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數(shù)是2n。歸一化系數(shù)Hn(ξ)也可寫成封閉形式：λ=2n+169厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系：應(yīng)用實(shí)例例：已知H0=1,H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2下面給出前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(x)的遞推關(guān)系：70（5）求歸一化系數(shù)

(分步積分)該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與exp[-ξ2]的乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項(xiàng)為零。繼續(xù)分步積分到底因?yàn)镠n的最高次項(xiàng)ξn的系數(shù)是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。于是歸一化系數(shù)則諧振子波函數(shù)為：(I)作變量代換，因?yàn)棣?αx，所以dξ=αdx；(II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。71（6）討論3.對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。1.上式表明，Hn(ξ)的最高次項(xiàng)是(2ξ)n。所以： 當(dāng)n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)；當(dāng)n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)。2.ψn具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項(xiàng)式Hn(ξ)

決定為

n宇稱。72n=0n=1n=24.波函數(shù)然而，量子情況與此不同對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn)(|αx|=1)處，其勢(shì)能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。-3-2-10123E0E1E273分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒有節(jié)點(diǎn)。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布前幾個(gè)波函數(shù)的表達(dá)式：………75解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例1.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場(chǎng)的作用，其勢(shì)場(chǎng)為：（1）解題思路

勢(shì)V(x)是在諧振子勢(shì)上疊加上-qx項(xiàng)，該項(xiàng)是x的一次項(xiàng)，而振子勢(shì)是二次項(xiàng)。如果我們能把這樣的勢(shì)場(chǎng)重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結(jié)果。

76（2）改寫V(x)77（3）Hamilton量進(jìn)行坐標(biāo)變換：則Hamilton量變?yōu)椋?8（4）Schrodinger方程該式是一新坐標(biāo)下一維線性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結(jié)果得：新坐標(biāo)下Schrodinger方程改寫為：本征能量本征函數(shù)例7.7求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。解：得:由

ω1(x)的表達(dá)式可知，x=0,∞時(shí)，ω1(x)=0。顯然不是最大幾率的位置?？梢?/p>

是所求幾率最大的位置。例7.8在時(shí)間t=0時(shí)，一維線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)：其中

為第n個(gè)時(shí)間無關(guān)的本征函數(shù)。（1）求C

的值；（2）該振子能量的可能值、幾率及平均能量

。（3）寫出t>0時(shí)的波函數(shù)。解：(1)（2）（3）氫原子的量子力學(xué)處理方法1、氫原子的薛定諤方程勢(shì)能此勢(shì)能與時(shí)間無關(guān)，電子處于定態(tài)。應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程：7.5氫原子的量子理論氫原子中電子滿足的薛定諤方程是：在球坐標(biāo)下：目的是：對(duì)于任意給定的E值，找出滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的上述方程的解，在求解過程中自然地得到一些量子化條件。球坐標(biāo)下的氫原子的定態(tài)薛定諤方程：束縛態(tài)令：代入方程，分離變量方程成立條件是兩邊同為一常數(shù)，得：⑴將⑵式在分離變量，令常數(shù)為⑵⑶⑷氫原子的定態(tài)方程變成了三個(gè)分離變量方程即每個(gè)方程只含有一個(gè)變量，求解過程很復(fù)雜。在求解的過程中，有波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的要求，可以得到一些量子化條件氫原子的波函數(shù)為：2．量子化條件1）能量量子化

求解R(r)時(shí)，為了使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，則電子（或說是整個(gè)原子）束縛態(tài)的能量只能是分立的。

n稱為主量子數(shù)。能級(jí)間隔隨n增大而很快地減小，最低的能級(jí)（n＝1）稱為基態(tài)。n＝2的能級(jí)稱為第一激發(fā)態(tài)。2）角動(dòng)量量子化

即原子中電子繞原子核旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量也是量子化的。

稱為角量子數(shù)或副量子數(shù)。對(duì)應(yīng)同一個(gè)n值，有不同的取值，但可取n個(gè)值；所以能量相同的電子的角動(dòng)量可不同。如氫原子的n＝4能級(jí)量子態(tài):角量子數(shù):求解時(shí)得到量子數(shù)與有關(guān)，它體現(xiàn)電子軌道角動(dòng)量的大小3）角動(dòng)量分量量子化

角動(dòng)量沿空間某一方向，如沿Z軸正向的分量也是量子化

稱為磁量子數(shù)，對(duì)一定的

，可取個(gè)值。此角動(dòng)量量子化表示了氫原子中電子的角動(dòng)量特性。

當(dāng)存在外磁場(chǎng)時(shí)，即原子是放在外磁場(chǎng)中時(shí)，一般地把Z軸選擇為外磁場(chǎng)的方向，所以稱為磁量子數(shù)。求解得角動(dòng)量在空間可能有5個(gè)取向當(dāng)n、l、m三個(gè)量子數(shù)一定，能量E、角動(dòng)量L和角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的分量Lz都具有確定的值，此時(shí)氫原子的狀態(tài)可用波函數(shù)表示。其中：為徑向函數(shù)；為球諧函數(shù)例：l=2時(shí)0Z，B波函數(shù)（空間）的解為：其中：這里：3、討論：簡(jiǎn)并度：同一個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)（波函數(shù)）稱為能級(jí)的簡(jiǎn)并度。氫原子，能級(jí)僅與n

有關(guān)，簡(jiǎn)并度：（)知道了波函數(shù)，可以討論氫原子內(nèi)電子在空間個(gè)點(diǎn)的幾率分布。當(dāng)氫原子處于態(tài)時(shí)，電子在點(diǎn)周圍的體積元的幾率是就得到在半徑到

的球殼內(nèi)找到電子的幾率將上式對(duì)和積分（球諧函數(shù)是歸一化函數(shù)）或者說電子徑向概率分布r～r+dr如圖表示可以看出在波爾軌道出電子出現(xiàn)的幾率最大zw10zOw00zw1±1或者說電子角向概率分布(,)方向立體角d⑵如圖1：S-電子，l=0,m=0與無關(guān)，球?qū)ΨQP

電子，l=1,m=1,-1

關(guān)于原子中各個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，量子力學(xué)給出的一般結(jié)論是：電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由四個(gè)量子數(shù)決定；總結(jié)1）主量子數(shù)