電荷間相互作用能靜電場(chǎng)的能量

點(diǎn)電荷之間的相互作用能定義靜電能為零的狀態(tài)設(shè)想帶電體系中的電荷可以無(wú)限分割為許多小單元，最初認(rèn)為它們分散在彼此相距很遠(yuǎn)的位置上，規(guī)定這種狀態(tài)下系統(tǒng)的靜電能為零。

——We=0靜電能We：把體系各部分電荷從無(wú)限分散的狀態(tài)聚集成現(xiàn)有帶電體系時(shí)外力抵抗電場(chǎng)力所做的全部功

A’=-A（電場(chǎng)力做功）2/1/20231兩個(gè)點(diǎn)電荷的情形

先移動(dòng)q1

到M點(diǎn)，———外力不做功再移動(dòng)q2

到N點(diǎn)，———外力做功q1單獨(dú)存在時(shí)N的點(diǎn)電勢(shì)交換移動(dòng)次序可得

q2單獨(dú)存在時(shí)M點(diǎn)的電勢(shì)系統(tǒng)的靜電能q1單獨(dú)存在時(shí)q2處的電勢(shì)q2單獨(dú)存在時(shí)在q1處的電勢(shì)2/1/20232多個(gè)點(diǎn)電荷的情形把無(wú)限分散的多個(gè)點(diǎn)電荷逐個(gè)從無(wú)窮遠(yuǎn)移至相應(yīng)位置，計(jì)算外力所做的功

代表第j

個(gè)電荷在第i

個(gè)電荷所在位置Pi處產(chǎn)生的電勢(shì)

點(diǎn)電荷組的總功應(yīng)為

P2664.106式2/1/20233第二種表達(dá)式可以證明，靜電能值與電荷移動(dòng)的次序無(wú)關(guān)

Ui:除點(diǎn)電荷i外其它點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)qi

所在處的電勢(shì)總和4.1084.1072/1/20234點(diǎn)電荷組的靜電勢(shì)能點(diǎn)電荷組的靜電勢(shì)能We等于電場(chǎng)力所做的功A’

相應(yīng)的表達(dá)式為p266(4.109)、(4.110)、(4.111)Ui:除點(diǎn)電荷i外其它點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)qi

所在處的電勢(shì)總和2/1/20235電荷連續(xù)分布情形的靜電能將上式推廣到電荷連續(xù)分布的情形，假定電荷是體分布，體密度為e，把連續(xù)分布的帶電體分割成許多電荷元，其電量qi=eVi，則有帶電體各部分電荷在積分處的總電勢(shì)總靜電能不是相互作用能2/1/20236電場(chǎng)的能量和能量密度從公式看，靜電能僅對(duì)其中包含電荷的體積或面積進(jìn)行，在其他地方，積分等于零是否可以斷定能量?jī)H局限于空間有電荷的區(qū)域？以平行板電容器為例說(shuō)明極板上的電量板間電壓體積為V內(nèi)的W電能密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的電能

普遍適用能量定域于場(chǎng)中2/1/20237一、點(diǎn)電荷之間的相互作用能以三點(diǎn)電荷為例，相距無(wú)窮遠(yuǎn)，則無(wú)相互作用q1

不動(dòng)q2在q1作用下由無(wú)窮遠(yuǎn)移至r12

處，做功q3在q1和q2作用下由無(wú)窮遠(yuǎn)移至r23

處，做功§3－7電荷間相互作用能靜電場(chǎng)的能量q1

在q2處的電位2/1/20238Ui

為除qi

外，其他電荷在qi

處所產(chǎn)生的電勢(shì)推廣：外力做總功：做功的過(guò)程對(duì)稱性2/1/20239二、連續(xù)帶電體的靜電能1.連續(xù)帶電體稱為靜電能，U為所有電荷在dq

處的電勢(shì)例如半徑為R帶電量為Q的電體球，可看成無(wú)窮遠(yuǎn)dq聚在一起三、電容器的靜電能2/1/202310t=0開(kāi)始，每次自下極板把微量電荷dq

移至上板，電容器間電場(chǎng)逐漸加大，除第一次外，每次移動(dòng)，外力都要克服靜電力做功，t

時(shí)刻帶電q

，再移dq

，外力做功最后帶電Q，則電容器儲(chǔ)能三、電容器的能量-+UQ-QE2/1/202311四、電場(chǎng)的能量(有介質(zhì)時(shí)靜電場(chǎng)的能量密度))平行板電容器：儲(chǔ)能：一般情形：電場(chǎng)能量密度：2/1/202312（包括各向異性的線性極化介質(zhì)）在空間任意體積V內(nèi)的電場(chǎng)能：對(duì)各向同性介質(zhì)：可以證明，對(duì)所有線性極化介質(zhì)都成立。在真空中：（同第2章結(jié)果）2/1/202313例題9求半徑為R

帶電量為Q

的均勻帶電球的靜電能解一：計(jì)算定域在電場(chǎng)中的能量球內(nèi)r處電場(chǎng)2/1/202314解二：計(jì)算帶電體系的靜電能再聚集這層電荷dq，需做功：而所以球體是一層層電荷逐漸聚集而成，某一層內(nèi)已聚集電荷2/1/202315例9-12如圖所示,球形電容器的內(nèi)外半徑分別R1和R2,所帶電荷為+-Q,在兩球殼間充以電容率為的電介質(zhì),問(wèn)此電容器存儲(chǔ)的電場(chǎng)能量為多少?故球殼內(nèi)的電場(chǎng)能量密度為解:若球形電容器上的電荷是均勻分布的,則球殼間電場(chǎng)也是對(duì)稱分布的,由高斯定理可得球殼間的電場(chǎng)強(qiáng)度為:R2R1rdr取半徑為r,厚為dr的球殼,其體積元為dV=4r2dr.所以,在此體積元內(nèi)電場(chǎng)的能量為:2/1/202316電場(chǎng)的能量為:如果R2趨于正無(wú)窮,此帶電系統(tǒng)即為一半徑為R1帶電為Q的孤立球形導(dǎo)體,它激發(fā)的電場(chǎng)所儲(chǔ)存的能量為球形電容器的電容為C=4[R1R2/(R1+R2),所以由電容器儲(chǔ)存的電能We=Q2/2C,也能得到同樣的答案.電容器的能量是儲(chǔ)存于電容器的電場(chǎng)之中的2/1/202317例9-13如圖所示的圓柱型電容器,中間是空氣,空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)是Eb=3×106V.m-1.電容器外半徑R2=10-2m.在空氣不被擊穿的情況下,內(nèi)半徑R1取多大值可使電容器儲(chǔ)存的能量最多?R1R2rBAl2/1/202318從上式可以看出E1/r成正比.故在內(nèi)表面附近,即r=R1處的電場(chǎng)最強(qiáng).因此,我們?cè)O(shè)想此處的電場(chǎng)強(qiáng)度為擊穿場(chǎng)強(qiáng)Eb時(shí)圓柱型電容器即可帶電荷最多,又不會(huì)使空氣介質(zhì)擊穿,于是有解:由高斯定理可知,兩圓柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度為由上式可得max=20R1Eb,顯然,max是由R1和Eb,決定的.由電容器的能量公式We=QU/2可知,單位長(zhǎng)度圓柱型電容器所儲(chǔ)存的能量為

We=U/2(3)2/1/202319

U為兩極間的電勢(shì)差,由電勢(shì)差的定義式有把上式代入(3)式,得把(1)式代入上式,得式(5)表明,在Eb已知時(shí),We僅隨R1而異.顯然,想要圓柱型電容器儲(chǔ)存的能量最多,且空氣介質(zhì)又不被擊穿,內(nèi)半徑為R1的值需滿足dWe/dR1=0的條件.有式(5)得2/1/202320上述計(jì)算結(jié)果表明,對(duì)以空氣為介質(zhì)的電容器,當(dāng)外半徑為0.01m時(shí)其內(nèi)半徑需為6.07×10－3m,才能使所貯存的能量最多。此時(shí)，兩極間的最大電壓為9.10×103V。此時(shí),圓柱型電容器所儲(chǔ)存能量最大,且空氣又不被擊穿.由已知數(shù)據(jù)內(nèi)半徑為R1=10-2/e-2m=6.07×10-3m.我們還可以計(jì)算出空氣不被擊穿時(shí),圓柱型電容器兩極間最大電勢(shì)差,將式(6)(2)代入(4),得2/1/202321例9-14球形電容器R1，R2間充滿兩層電介質(zhì)r1