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第二章Laplace變換Fourier變換的兩個(gè)限制：1§1Laplace變換的概念

2tf(t)Otf(t)u(t)e-btO31.定義：4例1求單位階躍函數(shù)解：根據(jù)拉氏變換的定義,有這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,而且有5例2

求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt

的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).這個(gè)積分在Re(s)>k時(shí)收斂,而且有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間Re(s)>Re(k)解：根據(jù)拉氏變換的定義,有62.拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

(1)在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

(2)當(dāng)t時(shí),f(t)的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即

存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).7證明：由條件2可知,對(duì)于任何t值(0t<),有注1：大部分常用函數(shù)的Laplace變換都存在(常義下);|f(t)e-st

|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,b=Re(s)>c:注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.8MMectf(t)tO9§2Laplace變換的性質(zhì)與計(jì)算

本講介紹拉氏變換的幾個(gè)性質(zhì),它們?cè)诶献儞Q的實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的.為方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件,并且把這些函數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù)都統(tǒng)一地取為c.在證明性質(zhì)時(shí)不再重述這些條件.10例3求f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換。11同理可得解：122.微分性質(zhì):此性質(zhì)可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當(dāng)時(shí)，有13例4求的拉氏變換（m為正整數(shù)）。解：14象函數(shù)的微分性質(zhì):15例5求(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換.163.積分性質(zhì):例6求

的拉氏變換.17象函數(shù)積分性質(zhì):則18例7求函數(shù)的拉氏變換.解：19函數(shù)f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數(shù)值.f(t-t)是從t=t開始才有非零數(shù)值.即延遲了一個(gè)時(shí)間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個(gè)因子e-st.Ottf(t)f(t-t)20例8

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