立體幾何中的向量方法(一)-證明空間中的位置關系

第七節(jié)立體幾何中的向量方法(一)——證明空間中的位置關系【知識梳理】1.必會知識教材回扣填一填(1)直線的方向向量與平面的法向量①直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_____或_____,則稱此向量a為直線l的方向向量.②平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的_____向量a,則向量a叫做平面α的法向量.平行重合方向(2)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?_______l1⊥l2n1⊥n2?________直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?_______l⊥αn∥m?______平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?______α⊥βn⊥m?_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=02.必備結(jié)論教材提煉記一記(1)直線的方向向量的確定:l是空間一直線,A,B是l上任意兩點,則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量.(2)平面的法向量的確定:設a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為3.必用技法核心總結(jié)看一看(1)常用方法:基向量法、坐標法證明垂直、平行的方法.(2)數(shù)學思想:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程思想.【小題快練】1.思考辨析靜心思考判一判(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)兩個不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則l1和l2的位置關系是平行.(

)(3)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(4)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.(

)(5)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.(

)(6)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(

)【解析】(1)錯誤.與直線平行的任意非零向量都是該直線的方向向量.(2)錯誤.v1∥v2,則l1與l2平行或重合.(3)錯誤.由于法向量的方向不同,所以平面的單位法向量不唯一.(4)正確.由平面平行的轉(zhuǎn)化定理可知.(5)正確.由直線平行的轉(zhuǎn)化定理可知其逆否命題正確,根據(jù)等價命題可知.(6)錯誤.若a∥α,則向量a所在直線與平面平行或在平面α內(nèi).答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×2.教材改編鏈接教材練一練(1)(選修2-1P104T2改編)設,v分別是平面α,β的法向量,

=(-2,2,5),當v=(3,-2,2)時,α與β的位置關系為

;當v=(4,-4,-10)時,α與β的位置關系為

.【解析】當v=(3,-2,2)時,

·v=-2×3+2×(-2)+5×2=0,所以α⊥β,當v=(4,-4,-10)時,v=-2,所以α∥β.答案:α⊥β

α∥β(2)(選修2-1P111T3改編)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM的位置關系是

.【解析】以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設DA=2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以=(-2,0,1),=(1,0,2),=-2+0+2=0,所以AM⊥ON.答案:垂直3.真題小試感悟考題試一試(1)(2015·珠海模擬)若直線l∥平面α,直線l的方向向量為s、平面α的法向量為n,則下列結(jié)論正確的是(

)A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1)B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1)C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1)D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2)【解析】選C.由已知需s·n=0,逐個驗證知:只有C符合要求,故選C.(2)(2015·綿陽模擬)若直線l的方向向量e=(2,1，m)，平面α的法向量n=(1，，2)，且l⊥α，則m=

.【解析】因為l⊥α，所以e∥n，即e=λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)=λ(1，

，2)，所以則m=4.答案：4(3)(2015·長沙模擬)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若

=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數(shù)x,y,z分別為_______.【解析】由已知得解得答案：考點1

利用空間向量證明平行問題【典例1】(2015·蘭州模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.【解題提示】建立空間直角坐標系，證明MN與平面A1BD的法向量垂直.【規(guī)范解答】如圖所示，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,2,2)，=(1,0,1),=(2,2,0),=(2,0,2).設n=(x,y,z)是平面A1BD的一個法向量.所以即解得令x=1,則y=-1,z=-1,所以n=(1，-1，-1).因為

·n=1+0-1=0，所以

⊥n.又因為MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.【一題多解】用向量法解答本題，你知道幾種解法？解答本題，用向量法還有以下兩種解法.方法一：因為=(2,0,2),=(1,0,1)，所以又DA1?平面A1BD,MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.方法二：所以又因為MN與DA1不共線，所以MN∥DA1,又因為MN?平面A1BD,A1D?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.【易錯警示】解答本題有一點容易出錯:只證明⊥n,而忽視MN?平面A1BD的情況就下結(jié)論MN∥平面A1BD,而造成步驟不規(guī)范的失誤.【互動探究】本例的條件不變，若E為C1D1的中點，證明平面A1BD∥平面MNE.【證明】由例題知E(0,1,2).所以=(0,-1,1),設m=(a，b，c)是平面MNE的一個法向量.則即解得令c=1,則a=-1,b=1.所以m=(-1，1，1).而平面A1BD的一個法向量n=(1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n，所以平面A1BD∥平面MNE.【規(guī)律方法】用向量法證平行問題的類型及常用方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示面面平行①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題提醒:用向量結(jié)論還原幾何結(jié)論時,要注意書寫規(guī)范,說明定理的條件.【變式訓練】如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點.利用向量方法證明:直線MN∥平面OCD.【證明】作AP⊥CD于點P，連接OP，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則O(0，0，2)，M(0，0，1)，設平面OCD的一個法向量為n=(x,y,z),則即取z=，解得n=(0,4,).因為且MN平面OCD，所以MN∥平面OCD.【加固訓練】1.(2015·天津模擬)如圖在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點.用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C.【證明】設由題干圖可知因為無公共點，所以EG∥AC，因為AC?平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.又因為=a+c，因為無公共點，所以FG∥AB1，因為AB1?平面AB1C，所以FG∥平面AB1C.又因為FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面AB1C.2.如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:PB∥平面EFG.【證明】因為平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)．＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，設即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，所以解得s＝t＝2.所以又因為與不共線，所以與共面．因為PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.考點2

利用空間向量證明垂直問題【典例2】(2015·濟南模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:AP⊥BC.(2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.【解題提示】建立空間直角坐標系,(1)證明(2)由(1)知只需證明=0即可.【規(guī)范解答】如圖所示,以O為坐標原點,以射線OP為z軸的正半軸,以射線OD為y軸正半軸建立空間直角坐標系.(1)O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),所以=(0,3,4)·(-8，0，0)=0,所以,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且點M在線段AP上，所以又=(-4,-5,0),所以則所以,即AP⊥BM,又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.【規(guī)律方法】利用向量法證垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問題兩個平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直【變式訓練】(2015·廈門模擬)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分別為棱AD,PB的中點,且PD=AD.求證:平面CEF⊥平面PBC.【證明】由題意,建立如圖所示的空間直角坐標系.設A(1,0,0)，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，設平面CEF的一個法向量為n1=(x，y，z)．則取x=1，則n1=同理，求得平面PBC的一個法向量為n2=因為n1·n2=1×0＋

×-×=0，所以n1⊥n2.所以平面CEF⊥平面PBC.【加固訓練】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分別是棱AA1,BB1,A1B1的中點.(1)求證:CE∥平面C1E1F.(2)求證:平面C1E1F⊥平面CEF.【證明】以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設BC=1,則C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1(1,,2).(1)設平面C1E1F的法向量為n=(x,y,z).因為=(-1,0,1),所以即令x=1,得n=(1,2,1).因為=(1,-1,1),n·=1-2+1=0,所以又因為CE?平面C1E1F,所以CE∥平面C1E1F.(2)設平面EFC的法向量為m=(a，b,c),由=(0,1,0),=(-1,0，-1),所以即令a=-1,得m=(-1，0，1).因為m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.考點3利用向量法解決與垂直、平行有關的探索性問題知·考情利用空間向量解決與垂直、平行有關的探索性問題,是近幾年高考考查空間向量應用的一個重要考向;常以是否存在點或參數(shù)使線面垂直、平行的形式在解答題中出現(xiàn).明·角度命題角度1:線、面平行的探索性問題【典例3】(2015·成都模擬)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.【解題提示】建立空間直角坐標系，(1)證明(2)假設存在點P(0，0，z0)，根據(jù)DP∥平面B1AE構(gòu)建方程，求解并判斷.【規(guī)范解答】以A為原點,的方向分別為x軸，y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.設AB=a.(1)A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a，0，1)，故因為所以B1E⊥AD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此時

=(0，-1，z0)，再設平面B1AE的一個法向量為n=(x,y,z)，因為n⊥平面B1AE，所以n⊥,n⊥，得取x=1,則y=-,z=-a,得平面B1AE的一個法向量n=(1，-,-a).要使DP∥平面B1AE，只要n⊥,有-az0=0，解得又DP?平面B1AE,所以存在點P，滿足DP∥平面B1AE,此時AP=.命題角度2:線、面垂直的探索性問題【典例4】(2015·煙臺模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四邊形ABCD滿足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.點E,F分別為側(cè)棱PB,PC上的點,且=λ.(1)求證:EF∥平面PAD.(2)是否存在實數(shù)λ,使得平面AFD⊥平面PCD?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.【解題提示】(1)用傳統(tǒng)幾何法,根據(jù)線面平行的判定定理證明.(2)建立空間直角坐標系,設出F點坐標,求出平面AFD和平面PCD的法向量,利用數(shù)量積為0求解.【規(guī)范解答】(1)由已知,=λ,所以EF∥BC.因為BC∥AD,所以EF∥AD.而EF?平面PAD,AD?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)因為平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因為AB⊥AD,所以PA,AB,AD兩兩垂直.如圖所示,建立空間直角坐標系,因為AB=BC=1,PA=AD=2,所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).設F(x0,y0,z0),則由已知

所以(x0,y0,z0-2)=λ(1,1,-2),所以所以

=(λ,λ,2-2λ).設平面AFD的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),因為

=(0,2,0),所以即令z1=λ,得n1=(2λ-2,0,λ).設平面PCD的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),因為

=(0,2,-2),=(-1,1,0),所以令x2=1,則n2=(1,1,1).若平面AFD⊥平面PCD,則n1·n2=0,所以(2λ-2)+λ=0,解得λ=.所以當λ=時,平面AFD⊥平面PCD.悟·技法向量法解決與垂直、平行有關的探索性問題的思維流程(1)根據(jù)題設條件中的垂直關系,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,將相關點、相關向量用坐標表示.(2)假設所求的點或參數(shù)存在,并用相關參數(shù)表示相關點,根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.通·一類1.(2013·北京高考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1⊥平面ABC.(2)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求的值.【解析】(1)因為AA1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC.所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AB,AA1⊥AC.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系Axyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．設D(x,y,z)是直線BC1上的一點，且

λ∈［0,1］．所以(x,y－3,z)=λ(4,－3,4)．解得x=4λ，y=3－3λ，z=4λ，所以

=(4λ,3－3λ,4λ)．由

=0，即9－25λ=0，解得λ=．因為∈［0,1］，所以在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，此時，2.(2015·開封模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.(1)求證:平面PAC⊥平面PCD.(2)在棱PD上是否存在一點E,使CE∥平面PAB?若存在,請確定E點的位置;若不存在,請說明理由.【解析】(1)因為PA⊥平面ABCD,所以PB與平面ABCD所成的角為∠PBA=45°.所以AB=1.由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又因為PA⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,又因為CD?平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.(2)分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.所以P(0,0,1),C(1,1,0)D(0,2,0),設E(0,y,z),因為,所以y·(-1)-2(z-1)=0①因為=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量，又所以(-1，y-1，z)·(0,2,0)=0，所以y=1.將y=1代入①，得z=.所以E是PD的中點，所以存在E點使CE∥平面PAB，此時E為PD的中點．【加固訓練】(2015·沈陽模擬)如圖所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點.(1)求證:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.【解析】連接BD,設AC交BD于O,則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.以O為坐標原點,分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系(如圖所示).設底面邊長為a，則高于是(1)則故OC⊥SD,從而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個法向量，且設,則而=0，所以解得t=，即當SE∶EC=2∶1時，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC.規(guī)范解答13

利用空間向量解決線面垂直、平行