選修1-2-1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用a.比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修１-２——統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因了解相關(guān)指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2確定性關(guān)系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否-------有一個(gè)確定性的關(guān)系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455復(fù)習(xí):變量之間的兩種關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義：

1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。根據(jù)最小二乘法估計(jì)和就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)，制表78合計(jì)654321i所以回歸方程是所以，對(duì)于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右。60.136kg不是每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測值，而是所有身高為172cm的女大學(xué)生平均體重的預(yù)測值。例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。思考P3產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？思考產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高x

的觀測誤差。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準(zhǔn)則函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。我們可以通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立的模型的擬合效果殘差.女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值作出的圖像稱為殘差圖

幾點(diǎn)說明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。為確定的數(shù)殘差平方和用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體.2.我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性.3.樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍.4.不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值.一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.（2）畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）.（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.（4）按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù).（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等).若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.例2、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測得數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)（x）個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)？(2)若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程(3)預(yù)測加工95個(gè)零件需花費(fèi)多少時(shí)間？作散點(diǎn)圖如下：不難看出x,y成線性相關(guān)。例3

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325非線性回歸問題假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計(jì)參數(shù)解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。選變量所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點(diǎn)圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預(yù)測當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型奇怪？93>66?模型不好？

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t問題２變換y=bx+a非線性關(guān)系線性關(guān)系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對(duì)數(shù)方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325xz當(dāng)x=28oC時(shí)，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為

對(duì)數(shù)變換：在中兩邊取常用對(duì)數(shù)得令，則就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關(guān)指數(shù)R2=0.98最好的模型是哪個(gè)?產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個(gè)?回歸分析（二）則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：由計(jì)算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（2）?？偨Y(jié)對(duì)于給定的樣本點(diǎn)兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型：其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程與其中和分別是參數(shù)a和b的估計(jì)值；（2）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與（3）若則的效果比的好；反之，的效果不如的好。練習(xí)：為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x/天

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56繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)

6

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95190（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）