隨機(jī)過程復(fù)習(xí)提綱

第一章小結(jié)條件分布函數(shù)（連續(xù)型）條件分布律（離散型）條件概率密度n維隨機(jī)變量常用結(jié)論設(shè)相互獨(dú)立，為任意實(shí)數(shù)。※※數(shù)字特征——條件期望離散型連續(xù)型若X與Y相互獨(dú)立，則全期望公式離散型數(shù)字特征——條件期望連續(xù)型全期望公式特征函數(shù)定義對(duì)一切隨機(jī)變量，其特征函數(shù)都存在！

常見分布的特征函數(shù)1.兩點(diǎn)分布((0-1)分布)2.二項(xiàng)分布B(n,p)3.泊松分布4.均勻分布5.指數(shù)分布6.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征函數(shù)的基本性質(zhì)特征函數(shù)分布函數(shù)第二章小結(jié)隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}：樣本函數(shù)、樣本曲線一維分布函數(shù)X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量X(t)的概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)X(t)的分布律一維概率分布（一維分布律）：二維分布函數(shù)例3：若該過程中任意兩時(shí)刻的隨機(jī)變量相互獨(dú)立，試求兩時(shí)刻X(t)的二維分布函數(shù)。解X(1/2),X(1)的聯(lián)合分布律欲求聯(lián)合分布函數(shù)綜上隨機(jī)過程的數(shù)字特征與特征函數(shù)（1）均值函數(shù)（2）均方值函數(shù)（3）方差函數(shù)（4）自相關(guān)函數(shù)（5）自協(xié)方差函數(shù)（6）一維特征函數(shù)數(shù)字特征之間的關(guān)系二維隨機(jī)過程的數(shù)字特征：互相關(guān)函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：隨機(jī)過程不相關(guān)：復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征——類似求X(t)的數(shù)字特征。(P80)例6解隨機(jī)過程的概率結(jié)構(gòu)分類1、二階矩過程2、獨(dú)立隨機(jī)過程3、獨(dú)立增量過程4、平穩(wěn)增量過程（齊次隨機(jī)過程）過程X(t)具有平穩(wěn)增量。注：若X(t)為平穩(wěn)增量過程，則對(duì)任意T中的時(shí)刻s和t，有X(t+τ)-X(t)與X(s+τ)-X(s)同分布。5、正態(tài)過程則稱X(t)為正態(tài)隨機(jī)過程。其中6、維納(Wiener)過程則稱隨機(jī)過程{X(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程，或布朗運(yùn)動(dòng)。當(dāng)σ＝1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。微粒不停地做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象叫做布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型第四章小結(jié)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流

強(qiáng)度N(t)——[0,t)內(nèi)到達(dá)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)τn——第n個(gè)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的到達(dá)時(shí)間Tn

——第n-1個(gè)與第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)間間隔{N(t),t≥0}泊松過程21[例4]

設(shè)顧客依泊松過程到達(dá)某商店，平均每小時(shí)到達(dá)4人。已知商店上午9：00開門，試求：至9：30僅到一位顧客而11：30時(shí)總計(jì)已到達(dá)5位顧客的概率。22解人/小時(shí)，以9:00為時(shí)間起點(diǎn)。設(shè)N(t)為[0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，則N(t)為泊松過程。則稱是一由與復(fù)合而成的復(fù)合泊松過程。[定義1]

設(shè)是一強(qiáng)度為的泊松過程，是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且與相互獨(dú)立。若令注：一般認(rèn)為當(dāng)t=0時(shí)，有Y(0)=0。24復(fù)合泊松過程獨(dú)立增量、平穩(wěn)增量非齊次泊松過程是計(jì)數(shù)過程、獨(dú)立增量過程則在時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率為第六章小結(jié)馬爾可夫過程

獨(dú)立過程和具有常數(shù)初值的獨(dú)立增量過程是馬氏過程（二項(xiàng)過程、泊松過程、非齊次泊松過程、復(fù)合泊松過程、維納過程均是馬氏過程！）馬爾可夫鏈馬氏性馬氏性一步轉(zhuǎn)移概率齊次馬爾可夫鏈一步轉(zhuǎn)移概率一步轉(zhuǎn)移概率矩陣行和為1會(huì)判斷和說明一隨機(jī)過程是否齊次馬氏鏈；會(huì)寫一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和畫出概率轉(zhuǎn)移圖！n步轉(zhuǎn)移概率C-K方程：矩陣形式對(duì)齊次馬氏鏈：初始分布絕對(duì)分布X(0)的分布X(n)的分布計(jì)算式：有限維分布（齊次馬氏鏈）29設(shè)齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間為，若對(duì)于所有的狀態(tài)

，存在不依賴于的常數(shù),為其轉(zhuǎn)移概率在時(shí)的極限，即其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣有則稱此馬氏鏈具有遍歷性,并稱為狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率，也稱為極限分布.齊次馬氏鏈的遍歷性

齊次馬氏鏈的平穩(wěn)分布平穩(wěn)方程若不滿足遍歷性定義，則非遍歷！

齊次馬氏鏈即使不具有遍歷性，也可能存在平穩(wěn)分布；且平穩(wěn)分布可能不唯一！滿足定理?xiàng)l件時(shí)，平穩(wěn)分布即為極限分布。第三章小結(jié)均方極限定義與驗(yàn)證（1）若，則；

（2）若，

，則；（3）若，

，則對(duì)任意常數(shù)和，有；（4）若數(shù)列滿足，是隨機(jī)變量，則；

均方極限性質(zhì)——除具有唯一性外，還具有均方連續(xù)、均方導(dǎo)數(shù)、均方積分概念均方導(dǎo)數(shù)、均方積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)33均方導(dǎo)數(shù)與自（互）相關(guān)函數(shù)關(guān)系第五章小結(jié)嚴(yán)平穩(wěn)過程定義及數(shù)字特征特點(diǎn)

設(shè)為復(fù)（或?qū)崳╇S機(jī)過程，若滿足（1）（2）（3）寬平穩(wěn)過程定義與驗(yàn)證則稱該過程為寬平穩(wěn)過程。嚴(yán)平穩(wěn)性即是