物理競賽輔導(dǎo)(1)2005

力學(xué)部分主要公式：（1）.牛頓第二定律（2）.角動(dòng)量定理對于質(zhì)點(diǎn),角動(dòng)量對于剛體,角動(dòng)量(3).保守力與勢能關(guān)系(4).三種勢能重力勢能彈性勢能萬有引力勢能(5).保守力的特點(diǎn)作功與路徑無關(guān)(6)振動(dòng)函數(shù)(7)旋轉(zhuǎn)矢量(8).振動(dòng)的微分方程圓頻率:

(9).簡諧振動(dòng)的合成(10).阻尼振動(dòng)(11).洛倫茲時(shí)空坐標(biāo)變換和速度變換例1：兩個(gè)均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和開始時(shí)第一個(gè)圓盤以的角速度旋轉(zhuǎn)，第二個(gè)圓盤靜止，然后使兩盤水平軸接近，求：當(dāng)接觸點(diǎn)處無相對滑動(dòng)時(shí)，兩圓盤的角速度解：受力分析：無豎直方向上的運(yùn)動(dòng)以O(shè)1點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算系統(tǒng)的外力矩：作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動(dòng)量不守恒。只能用轉(zhuǎn)動(dòng)定律做此題。對于盤1：阻力矩兩邊積分對于盤2：兩邊積分于是有：不打滑條件：接觸點(diǎn)處兩盤的線速度相等可解得：例2:質(zhì)量為2m,半徑為R的均質(zhì)圓盤形滑輪,掛質(zhì)量分別為m和2m的物體,繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為,問為何值時(shí)繩與滑輪之間無相對滑動(dòng).解:受力分析:列方程:滑輪:不打滑的條件:由以上四式解得:繩中的張力分析任取線元此線元切向運(yùn)動(dòng)方程為：此線元法向運(yùn)動(dòng)方程為：利用近似：忽略二階無窮小量，得到：兩式相除得到：兩式相除得到：解此方程得到：當(dāng)時(shí)，于是得到摩擦系數(shù)為：例3.一個(gè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)量為M,半徑為R的大星體作半徑為2R的圓周運(yùn)動(dòng).從遠(yuǎn)處飛來一個(gè)質(zhì)量為2m,速度為的小流星.恰好沿著衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞,結(jié)成新的星體,作用時(shí)間非常短.假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計(jì),新星的速度仍沿原來方向.（1）試用計(jì)算表明新星的軌道類型,算出軌道的偏心率.（2）如果小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞給出新星體能否與大星體M碰撞的判斷。（1）解:軌道類型與新星的機(jī)械能的正負(fù)有關(guān).如果動(dòng)能大于勢能,新星可以擺脫地球的吸引,軌道成為非閉合的如果動(dòng)能小于于勢能,新星不能擺脫地球的吸引,軌道成為閉合的,即橢圓軌道.可以用新星的機(jī)械的正負(fù)來判斷軌道的類型.偏心率的定義為為了計(jì)算碰后的機(jī)械能,首先要計(jì)算出碰后的速度.設(shè)碰后新星速度為碰撞過程動(dòng)量守恒.碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程為求得碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度:碰撞過程動(dòng)量守恒求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動(dòng)的近地點(diǎn).我們計(jì)算新星近地點(diǎn)的機(jī)械能說明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).下面我們討論一下新星的機(jī)械能與遠(yuǎn)地點(diǎn)距離關(guān)系新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒得到帶入遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式此能量應(yīng)等于新星在近地點(diǎn)的機(jī)械能解得經(jīng)化簡得到偏心率（2）解：反方向碰撞，設(shè)碰后新星體的速度為碰前衛(wèi)星的速度:質(zhì)量為m碰前流星的速度:質(zhì)量為2m碰撞過程動(dòng)量守恒求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動(dòng)的遠(yuǎn)地點(diǎn).我們計(jì)算新星遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能說明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒得到帶入近地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式此能量應(yīng)等于新星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能解得經(jīng)化簡得到肯定與大星體相碰。例4、水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為，振子的質(zhì)量為，水平阻尼力的大小與振子的運(yùn)動(dòng)速度成正比比例系數(shù)為，求形成低阻尼振動(dòng)的條件。解：據(jù)牛頓第二定律，得到或設(shè)特解為帶入（1）式，得到得到兩個(gè)特解低阻尼（欠阻尼）情況，振子作衰減振蕩運(yùn)動(dòng)，e指數(shù)的變量必須是復(fù)數(shù)。需滿足條件即：xta.低阻尼（欠阻尼）：b.臨界阻尼：c.高阻尼（過阻尼）：例5兩彈性系數(shù)都是的彈簧它們與質(zhì)量為兩固定端之間的距離為，等于兩彈簧原長的和，微微波動(dòng)一下滑塊，使其作微小的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)圓頻率。的絕緣滑塊連接，滑塊內(nèi)植入一電量為的正點(diǎn)電荷兩固定端處各放一電量為的正點(diǎn)電荷解：當(dāng)位移為時(shí)，滑塊受力滑塊運(yùn)動(dòng)方程由于，對力作近似處理利用得到滑塊振動(dòng)方程變?yōu)檎駝?dòng)圓頻率為熱學(xué)部分：(1).理想氣體的狀態(tài)方程:(2).理想氣體的壓強(qiáng)公式MP=VTRMmol(3).內(nèi)能(4).分子按速律分布dNN24mv=vπ()mπ32e2kT22kTdv速率在VV+dV區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中所占比例(5)玻耳茲曼分布律(6)三種速率a.平均速率

b.方均根速率vp=2kTmc.最概然速率dλπkTnP2=π2=122d(7).平均自由程

和平均碰撞頻率(8).功:對于有限過程(9).熱力學(xué)第一定律的微分形式(10).熱容量理想氣體定容熱容量：定壓熱容量：(11).絕熱過程方程(12).熱機(jī)的效率(13).致冷系數(shù)(14).熵變(15).熵增加原理(16).熵與微觀態(tài)的關(guān)系例1：P~V圖中AC曲線代表一絕熱曲線，MN曲線代表一等溫過程問：任一過程AB是吸熱還是放熱？為什么？ACBMN解：ABCA構(gòu)成一循環(huán)，總的內(nèi)能增量這里ACBMN所以過程AB是吸熱的。例21mol剛性雙原子氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)，OPVV12V1P12P1abc解：氣體對外作功（1）ab過程吸熱：利用計(jì)算效率實(shí)際是放熱。求循環(huán)效率。OPVV12V1P12P1abc（2）bc過程吸熱（3）ca過程過程方程設(shè)為：這里：OPVV12V1P12P1abc取一微小過程尋找絕熱點(diǎn)尋找吸熱到放熱的轉(zhuǎn)變點(diǎn)而過程方程（a）當(dāng)即：OPVV12V1P12P1abc系統(tǒng)吸熱（b）當(dāng)即：系統(tǒng)放熱（c）當(dāng)即：系統(tǒng)既不放熱也不吸熱OPVV12V1P12P1abcece過程吸熱總吸熱為：效率為例3絕熱汽缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把汽缸分成A,B

兩室，每室中容有質(zhì)量相同的同種單原子分子理想氣體它們的壓強(qiáng)都是，體積都是，溫度都是。今通過A室中的電熱絲對氣體加熱，轉(zhuǎn)給氣體的熱量為，達(dá)到平衡時(shí)，A室的體積是B室的二倍，試求兩室中氣體的溫度。ABL解：A室初態(tài)末態(tài)B室初態(tài)末態(tài)據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程有兩式相除，得到即：由于汽缸的體積是不變的，電熱絲的熱量全部變成了兩室的內(nèi)能增量：或?qū)懗桑海?）（2）兩式聯(lián)立，可求得：據(jù)有因此末態(tài)兩室的溫度為例4某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程ABCDA和正循環(huán)過程AEFGA,各自效率分別為和試證ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V

證明：對于循環(huán)過程ABCDAA-B和B-C為吸熱過程共吸熱ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循環(huán)過程對外作功為效率：對于循環(huán)過程AEFGAA-E和E-F為吸熱過程共吸熱ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循環(huán)過程對外作功為效率：

所以證畢。例5剛性容器中裝有溫度為的1摩爾氮?dú)?，在此氣體與溫度也是的熱源之間工作一個(gè)制冷機(jī)，它從熱源吸熱，向容器中的氣體放出熱量經(jīng)一段時(shí)間后，容器中的氮?dú)獾臏囟壬猎囎C明該過程中制冷機(jī)必須消耗的功工作物質(zhì)證明：據(jù)熱力學(xué)第一定律，應(yīng)有功：要證明的表達(dá)式是用溫度表示的，下面將熱量用溫度來表示。據(jù)熵增加原理寫出與溫度的關(guān)系。將氣體、冷機(jī)工作物質(zhì)和熱源視為大系統(tǒng)。工作物質(zhì)大系統(tǒng)是孤立系統(tǒng)，其熵永不增加。據(jù)熵增加原理，大系統(tǒng)熵變其中氣體熵變：（這里為摩爾熱容量）熱源熵變：工作物質(zhì)冷機(jī)工作物質(zhì)熵變：所以功：證畢。有例6、兩個(gè)與大氣接觸的汽缸分別存有同種理想氣體，細(xì)管絕熱閥門K關(guān)閉，缸內(nèi)氣體溫度和體積各為和，兩缸上方均有輕質(zhì)可動(dòng)活塞，活塞與缸壁間無空隙且無摩擦，系統(tǒng)與外