2023 年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 勾股定理的應(yīng)用 解答綜合練習(xí)題（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《勾股定理的應(yīng)用》解答綜合練習(xí)題（附答案）1．生態(tài)興則文明興，生態(tài)衰則文明衰．“十三五”以來(lái)，青島市堅(jiān)持生態(tài)優(yōu)先、綠色發(fā)展理念，持續(xù)改善生態(tài)環(huán)境．如圖現(xiàn)有施工遺留的一處空地，計(jì)劃改造成綠地公園，已知∠A＝90°，AB＝AD＝3米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造費(fèi)用為200元，請(qǐng)問(wèn)改造該區(qū)域需要花費(fèi)多少元？2．小亮用11塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)正方形ABCD木板，截面如圖所示．兩木墻高分別為AE與CF，點(diǎn)B在EF上，求正方形ABCD木板的面積．3．如圖，一架梯子AB斜靠在一豎直的墻OA上，這時(shí)AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子頂端A沿墻下滑至點(diǎn)C，使∠OCD＝60°，同時(shí)，梯子底端B也外移至點(diǎn)D．求BD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）[補(bǔ)充：直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半]4．如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測(cè)量AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，且∠C＝90°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）若直線CA為公園的車(chē)輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)D處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來(lái)監(jiān)控道路CA的車(chē)輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大距離為80米，求被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為多少米？5．為了提高人民群眾的防疫意識(shí)，很多地方的宣講車(chē)開(kāi)起來(lái)了，大喇叭響起來(lái)了，宣傳橫幅掛上了，電子屏亮起來(lái)了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語(yǔ)、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離（AB的長(zhǎng)）為800米，若在宣講車(chē)P周?chē)?000米以?xún)?nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，宣講車(chē)P在公路MN上沿PN方向行駛．（1）請(qǐng)問(wèn)村莊能否聽(tīng)到宣傳？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果能聽(tīng)到，已知宣講車(chē)的速度是300米/分鐘，那么村莊總共能聽(tīng)到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？6．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)他把繩子拉直后，下端剛好接觸地面，被拉直的繩子下端拉開(kāi)5m（繩子下端與旗桿根部的距離），請(qǐng)你幫小明計(jì)算旗桿的高．7．《九章算術(shù)》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)葭長(zhǎng)幾何．其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．（1丈＝10尺）解決下列問(wèn)題：（1）示意圖中，線段AF的長(zhǎng)為尺，線段EF的長(zhǎng)為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．8．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”（注：1步＝5尺）譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問(wèn)繩索有多長(zhǎng)．”9．如圖，一游船在水面上，河岸離水面的高度為5m工作人員站在岸邊用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)BC為13m，工作人員以0.5m/s的速度拉繩子，10s后船移動(dòng)到D點(diǎn)的位置（B，D，A三點(diǎn)在同一直線上），請(qǐng)你計(jì)算船向岸邊移動(dòng)的距離．（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）10．育英中學(xué)有兩個(gè)課外小組的同學(xué)同時(shí)步行到校外去采集植物標(biāo)本，第一組的步行速度為30m/min，第二組的步行速度為40m/min，半時(shí)后，兩組同學(xué)同時(shí)停下來(lái)，這時(shí)兩組同學(xué)相距1500m．（1）試判斷這兩組同學(xué)行走的方向是否成直角；（2）如果接下來(lái)這兩組同學(xué)以原來(lái)的速度相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間后能相遇？11．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．（1）若輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為3小時(shí)，求輪船速度．（2）C島在A港的什么方向？12．為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在圖中AB所在的直線上建一圖書(shū)館，本社區(qū)有兩所學(xué)校，分別在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B．已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km．問(wèn)：圖書(shū)室E應(yīng)建在距點(diǎn)A多少米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？13．一棵高12m的大樹(shù)被折斷，折斷處A距地面4.5m（點(diǎn)B為大樹(shù)頂端著地處）．在大樹(shù)倒下的方向停著一輛小轎車(chē)，小轎車(chē)距大樹(shù)底部C的距離為6.5m，倒下的大樹(shù)會(huì)砸到小轎車(chē)嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．14．學(xué)校校內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD的長(zhǎng)度為x米．（1）在Rt△ABD中，AD2＝，在Rt△ACD中，AD2＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）學(xué)校計(jì)劃將這塊空地建成一個(gè)花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計(jì)花園每平方米造價(jià)為60元，學(xué)校修建這個(gè)花園需要投資多少元？15．如圖，北泉路OM和長(zhǎng)春路ON相交成30°角；沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點(diǎn)160米的A處坐落著向陽(yáng)橋中學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)，路兩旁100米內(nèi)受到噪聲影響，已知有一臺(tái)拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，速度為5米秒．（1）向陽(yáng)橋中學(xué)是否受到噪聲的影響，并說(shuō)明理由；（2）若向陽(yáng)橋中學(xué)要受到噪聲的影響，則這臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給向陽(yáng)橋中學(xué)帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間是多少？16．甲同學(xué)在拼圖探索活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)；用4個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個(gè)等式．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出這一結(jié)論：，并給出驗(yàn)證過(guò)程；（2）試用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．17．我市《道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)60km/h．如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車(chē)速檢測(cè)點(diǎn)A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車(chē)速檢測(cè)點(diǎn)A相距50m的B處．請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車(chē)超速了嗎？若超速，請(qǐng)求出超速了多少？18．八（1）班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得下圖風(fēng)箏CE的高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為24米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為30米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高AB為1.68米．（1）求風(fēng)箏的高度CE；（2）若小亮讓風(fēng)箏沿CD方向下降了8米到點(diǎn)M（即CM＝8米），則他往回收線多少米？19．如圖，一艘輪船以30海里/小時(shí)的速度由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以60海里/小時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺(tái)風(fēng)區(qū)，當(dāng)輪船到A處時(shí)，測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到位于點(diǎn)A正南方向的B處，且AB＝40海里．若輪船以原方向、原速度繼續(xù)航行，求輪船從A點(diǎn)出發(fā)到最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間．20．有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿低端的距離或者∠1的大小來(lái)調(diào)整晾桿的高度，圖2是晾衣架的側(cè)面的平面示意圖，AB和CD分別是兩根長(zhǎng)度不等的支撐桿，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．（1）當(dāng)BD＝120cm，求交叉點(diǎn)O離地面的高度；（2）當(dāng)∠1＝90°時(shí)，較高支撐桿的高AE多高？

參考答案1．解：如圖，連接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD＝（米），∵BD2+CD2＝62+82＝100，CB2＝100，∴BD2+CD2＝CB2，∴∠BDC＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝+＝9+24＝33（平方米），∴200×33＝6600（元），∴改造該區(qū)域需要花費(fèi)6600元．2．解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∴∠EAB＝∠CBF，∵AB＝BC，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝2×5＝10（cm），∵CF＝2×6＝12（cm）．在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2＝102+122＝244，∴S正方形ABCD＝BC2＝244cm2，即正方形ABCD木板的面積為244cm2．3．解：在Rt△ABO中，∵AO＝3m，∠OAB＝30°，∴OB＝＝m，∴AB＝2m，根據(jù)勾股定理知BO＝，∵∠OCD＝60°，∴∠ODC＝30°，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OA＝OD，OC＝OB，∴BD＝OD﹣OB＝3﹣．4．解：（1）∵AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，∠C＝90°．∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝＝80（米），∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BD＝80米，在△ABD中，有AD2+AB2＝802+（80）2＝（80）2＝BD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝90°+45°＝135°；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于E，作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接DF，如圖：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得：DF＝DA＝80，AE＝EF，由（1）知，∠CAD＝135°，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE，在Rt△ADE中，有AE2+DE2＝802，解得：AE＝40（米），∴AF＝80（米），∴被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為80米．5．解：（1）村莊能聽(tīng)到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽(tīng)到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車(chē)行駛到P點(diǎn)開(kāi)始影響村莊，行駛QD點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600（米），∴PQ＝1200米，∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷300＝4（分鐘），∴村莊總共能聽(tīng)到4分鐘的宣傳．6．解：如圖，AB表示旗桿，AC表示拉展的繩子，設(shè)AB的長(zhǎng)是xm，則AC的長(zhǎng)是（x+1）m，在Rt△ABC中AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝（x+1）2，整理得：x2+52＝x2+2x+1，解得：x＝12，答：旗桿的高是12m．7．解：（1）由題意可得：AF＝AB＝5尺，EF＝1尺，故答案為：5，1；（2）設(shè)蘆葦長(zhǎng)EG＝AG＝x尺，則水深FG＝（x﹣1）尺，在Rt△AFG中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，則EG＝13（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺．8．解：設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，由題意得：102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長(zhǎng)14.5尺．9．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB＝＝12（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴AD＝＝＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）（m）．答：船向岸邊移動(dòng)了（12﹣）m．10．解：（1）半小時(shí)以后，第一組的路程：30×30＝900（m），第二組的路程：40×30＝1200（m），∵9002+12002＝15002，∴兩組同學(xué)行走的夾角成直角；（2）設(shè)xmin后兩組相遇，根據(jù)題意得30x+40x＝1500，解得：x＝（min）．答：經(jīng)過(guò)min后才能相遇．11．解：（1）由題意AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．∴BD＝80（km）．∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．∴AC＝＝75（km）．75÷3＝25（km/h）．答：輪船速度為25km/h；（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2+AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．∴C島在A港的北偏西42°．12．解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（25﹣x）km；在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2＝AE2+AC2＝x2+152；同理可得：DE2＝（25﹣x）2+102；若CE＝DE，則x2+152＝（25﹣x）2+102；解得：x＝10．答：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距A點(diǎn)10km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．13．解：倒下的大樹(shù)不會(huì)砸到小轎車(chē)，理由是：在Rt△ABC中，∵AC＝4.5m，AB＝12﹣4.5＝7.5（m），∴BC＝＝＝6（m）．又∵6＜6.5，∴倒下的大樹(shù)不會(huì)砸到小轎車(chē)．14．解：（1）∵BC＝14米，BD＝x米，∴CD＝（14﹣x）米，∴在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝169﹣x2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝152﹣（14﹣x）2＝29﹣x2+28x，故答案為：169﹣x2，29﹣x2+28x；（2）在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴169﹣x2＝29﹣x2+28x，解得x＝5，∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12（米），∴學(xué)校修建這個(gè)花園的費(fèi)用為：×14×12×60＝5040（元）．答：學(xué)校修建這個(gè)花園需要投資5040元．15．解：（1）向陽(yáng)橋中學(xué)會(huì)受到噪聲影響，理由：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON于點(diǎn)C，∵∠MON＝30°，OA＝160米，∴AC＝OA＝80米，∵80m＜100m，∴向陽(yáng)橋中學(xué)會(huì)受到噪聲影響；（2）以A為圓心，半徑長(zhǎng)為100m畫(huà)圓與ON交B，D兩點(diǎn)，連接AB，AD，在B到D范圍內(nèi)，向陽(yáng)橋中學(xué)都會(huì)受到影響，∴AB＝AD＝100米，由勾股定理得：BC＝＝＝60（米），∴BD＝2BC＝120米，∴影響的時(shí)間應(yīng)是：t＝＝24（秒）；答：拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給向陽(yáng)橋中學(xué)帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間是24秒．16．解：（1）結(jié)論：a2+b2＝c2．驗(yàn)證：∵陰影部分的面積＝4×ab＝2ab，陰影部分的面積＝（a+b）2﹣c2，∴（a+b）2﹣c2＝2ab，即a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．（2）連接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，∵甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，∴丁的面積為30+16﹣17＝29．17．解：這輛小汽車(chē)