2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓》解答題專(zhuān)題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓》解答題專(zhuān)題訓(xùn)練（附答案）1．如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．（1）求證：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直徑．2．如圖，A是⊙O的直徑CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，∠A＝∠C＝30°．（1）求證：AB是⊙O的切線(xiàn)；（2）若BC＝2，求AC的長(zhǎng)．3．如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C在⊙O上．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)l，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D．（1）求證：BC平分∠ABD；（2）連接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的長(zhǎng)．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BD為直徑，AE是⊙O切線(xiàn)，且AE⊥CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：DA平分∠BDE；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．5．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：∠E＝∠B；（2）連接AD，若CE＝4，BC＝8，求AD的長(zhǎng)．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．（1）求證：BC是⊙O切線(xiàn)；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的長(zhǎng)．7．如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求證：AT平分∠BAC；（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半徑．8．如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線(xiàn)，連接OD，OE（1）求證：∠DEA＝90°；（2）若BC＝4，寫(xiě)出求△OEC的面積的思路．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，⊙O的切線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)E．（1）求證：E是AC中點(diǎn)；（2）若AB＝10，BC＝6，連接CD，OE，交點(diǎn)為F，求OF的長(zhǎng)．10．如圖，點(diǎn)D在⊙O上，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，DC⊥AB于點(diǎn)C．（1）求證：DB平分∠PDC；（2）若DC＝6，tan∠P＝，求BC的長(zhǎng)．11．如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E在⊙D上，點(diǎn)B，D在⊙E上．F為上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．（1）若∠EBD為α，請(qǐng)將∠CAD用含α的代數(shù)式表示；（2）若EM＝MB，請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)∠CAD為多少度時(shí)，直線(xiàn)EF為⊙D的切線(xiàn)；（3）在（2）的條件下，若AD＝，求的值．12．如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AE．（1）求證：∠ABC＝2∠CAF；（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AF于M點(diǎn)，若CM＝4，BE＝6，求AE的長(zhǎng)．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交AB于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：EF⊥AB；（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的長(zhǎng)．14．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交OC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：∠DAC＝∠DCE；（2）若AB＝2，sin∠D＝，求AE的長(zhǎng)．15．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于E．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出四個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．16．已知，如圖，直線(xiàn)MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過(guò)D作DE⊥MN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若∠DAE＝60°，AE＝3cm，求⊙O的半徑．17．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PD與⊙O相切于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，DE⊥PO，交PO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半徑．18．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠BAF＝60°，AF＝4，求CE的長(zhǎng)．19．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為弦，D為的中點(diǎn)，AC，BD相交于E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于P點(diǎn)．（1）求證：∠PAC＝2∠CBE；（2）若PD＝m，∠CBE＝α，請(qǐng)寫(xiě)出求線(xiàn)段CE長(zhǎng)的思路．20．如圖，△ABC中，AC＝BC＝a，AB＝b，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)MN，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．（1）求證：MN⊥AC；（2）連接BE，寫(xiě)出求BE長(zhǎng)的思路．參考答案1．（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠BCD與∠ACE互余；又∠ACE與∠CAE互余∴∠BCD＝∠BAC．（3分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD．（5分）（2）解：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122（8分）解得R＝13，∴2R＝2×13＝26cm．答：⊙O的直徑為26cm．（10分）2．（1）證明：如圖，連接OB，∵＝，∴∠BOD＝2∠C＝60°，∴∠A+∠BOD＝30°+60°＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴AB是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：如圖2，連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝＝4，BD＝BC?tan30°＝2＝2，∵∠A＝∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝2，∴AC＝AD+CD＝6．3．（1）證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵DC是⊙O的切線(xiàn)，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥DC，∵BD⊥DC，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠ABD；（2）解：連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BD于點(diǎn)G，得矩形OCDG，∴OG＝CD＝3，在Rt△OBG中，∠ABD＝60°，OG＝3，∴sin60°＝，∴OB＝＝2，∴OC＝OB＝2，在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：OD＝＝＝．4．（1）證明：連接OA，∵AE是⊙O切線(xiàn)，∴∠OAE＝90°，∵AE⊥CD，∴OA∥DE，∴∠OAD＝∠ADE，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠ADE＝∠ADO，∴DA平分∠BDE；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為F，∵AE＝4，CD＝6，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°，∵∠OAE＝∠E＝90°，∴四邊形AEFO是矩形，∴EF＝OA，AE＝OF＝4，∴DE＝EF﹣DF＝OA﹣3，在Rt△OFD中，根據(jù)勾股定理得：OD2＝OF2+DF2，∴OD2＝42+32，∴OD＝5，∴DE＝OA﹣3＝5﹣3＝2，在Rt△AED中，AD＝＝＝2，∴⊙O的半徑為5，AD的長(zhǎng)為2．5．（1）證明：如圖，連接OC，∵EC是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCD+∠ECD＝∠E+∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠B，∴∠E＝∠B；（2）解：如圖，連接AD，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴DE＝＝＝8，∴BC＝DE＝8，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDE＝90°，∵∠B＝∠E，∴△ACB≌△CDE（ASA），∴AC＝CD＝4，∴AD＝＝4．6．（1）證明：連接OD；∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠1＝∠3．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切線(xiàn)．（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴CD＝DE＝3．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，由勾股定理得：BE＝＝4，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC．∴．∴．∴AC＝6．7．（1）證明：連接OT；∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠ATO；又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于M，∴AM＝MD＝＝1；又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°，∴四邊形OTCM為矩形，∴OM＝TC＝，∴在Rt△AOM中，；即⊙O的半徑為2．8．（1）證明：連接OD，∵△ABC是等腰三角形，∴CA＝CB，∴∠A＝∠B，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE，∴∠DEA＝90°；（2）解：連接CD，由BC是直徑，得∠CDB＝∠CDA＝90°，∵由Rt△CDA中，BC＝AC＝4，∠A＝30°，∴CD＝AB＝2，AD＝CD＝2，∵由Rt△AED中，∠A＝30°，∴DE＝AD＝，AE＝DE＝3，EC＝AC﹣AE＝1，∴△EDC的面積＝＝＝，∵OD∥AC，∴△DEC的面積和△OEC的面積相等，∴△OEC的面積是．9．（1）證明：連接CD，∵∠ACB＝90°，BC為⊙O直徑，∴ED為⊙O切線(xiàn)，且∠ADC＝90°；∵ED切⊙O于點(diǎn)D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED，∴AE＝CE，即E為AC的中點(diǎn)；∴BE＝CE；（2）解：連接OD，∵∠ACB＝90°，∴AC為⊙O的切線(xiàn)，∵DE是⊙O的切線(xiàn)，∴EO平分∠CED，∴OE⊥CD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E、O分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴OE＝AB＝＝5，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵在Rt△ADC中，E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝＝4，在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，由三角形的面積公式得：S△EDO＝，即4×3＝5×DF，解得：DF＝2.4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．10．（1）證明：連接OD，如圖，∵PD為切線(xiàn)，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，即∠ODB+∠PDB＝90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠CDB＝∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如圖，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC＝BE，在Rt△PDC中，∵tanP＝＝＝，∴PC＝8，∴PD＝＝10，設(shè)BC＝x，則BE＝x，PB＝8﹣x，∵∠EPB＝∠CPD，∴Rt△PBE∽R(shí)t△PDC，∴BE：DC＝PB：PD，即x：6＝（8﹣x）：10，解得x＝3，即BC的長(zhǎng)為3．11．解：（1）連接CD、DE，⊙E中，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∴∠CED＝∠EDB+∠EBD＝2α，⊙D中，∵DC＝DE＝AD，∴∠CAD＝∠ACD，∠DCE＝∠DEC＝2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，∴∠CAD＝＝；（2）設(shè)∠MBE＝x，∵EM＝MB，∴∠MEB＝∠MBE＝x，當(dāng)EF為⊙D的切線(xiàn)時(shí)，∠DEF＝90°，∴∠CED+∠MEB＝90°，∴∠CED＝∠DCE＝90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，∴2∠CAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CAD＝45°；（3）由（2）得：∠CAD＝45°；由（1）得：∠CAD＝；∴∠MBE＝30°，∴∠CED＝2∠MBE＝60°，∵CD＝DE，∴△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE＝DE＝EF＝AD＝，Rt△DEM中，∠EDM＝30°，DE＝，∴EM＝1，MF＝EF﹣EM＝﹣1，△ACB中，∠NCB＝45°+30°＝75°，△CNE中，∠CEN＝∠BEF＝30°，∴∠CNE＝75°，∴∠CNE＝∠NCB＝75°，∴EN＝CE＝，∴＝＝＝2+．12．（1）證明：連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵AF是⊙O的切線(xiàn)，∴∠BAF＝90°．∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC＝90°．∴∠1＝∠2．∵AB＝BC，∴∠ABC＝2∠1＝2∠2；（2）解：∵∠1＝∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠2＝∠4．∵AB是直徑，∴CE⊥AE，∵CM⊥AF，CM＝4，∴CE＝CM＝4，∵BE＝6，∴AB＝BC＝BE+EC＝10．在Rt△ABE中，．13．（1）證明：連接AD、OD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切線(xiàn)，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠F＝30°，∴OA＝OD＝OF，∵∠AEF＝90°，EF＝，∴AE＝，∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，∴EB＝3．14．解：（1）∵AD是圓O的切線(xiàn)，∴∠DAB＝90°．∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠B．∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB．又∵∠DCE＝∠OCB．∴∠DAC＝∠DCE．（2）∵AB＝2，∴AO＝1．∵sin∠D＝，∴OD＝3，DC＝2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD＝＝2．∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE＝．∴AE＝AD﹣DE＝．15．解：（1）四個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論分別為：∠ACB＝90°；BE＝CE；＝；OD∥AC；（2）∵OD⊥BC，BE＝4，∴BE＝CE＝4，即BC＝2BE＝8，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根據(jù)勾股定理得：AB＝10，∴OB＝5，在Rt△OBE中，OB＝5，BE＝4，根據(jù)勾股定理得：OE＝3，則ED＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．16．（1）證明：連接OD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEM＝90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線(xiàn)．（2）解：∵∠AED＝90°，∠DAE＝60°，AE＝3cm，∴AD＝2AE＝6cm，連接CD．∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠AED＝90°．∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴＝．∴＝，解得AC＝12．∴⊙O的半徑是6cm．17．（1）證明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）由（1）知，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切線(xiàn)，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，設(shè)⊙O的半徑為x，則OC＝x，OD＝4﹣x，則22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半徑是．18．（1）證明：連接OC，如圖，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠BAC＝∠EAC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA．∴OC∥AE．∴AE⊥DE；（2）解：連接BF交OC于G，如圖