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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.3.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.254.若點(diǎn)(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或5.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則6.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.7.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.8.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-29.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.10.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬元11.若,則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.14.的展開式中的系數(shù)為__________.15.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______.16.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值是__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點(diǎn)為,曲線與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn),求的周長(zhǎng)的最大值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若的解集為,,求證:.19.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.20.(12分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán),由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,且為正三角形.(1)求點(diǎn),的極坐標(biāo);(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求的最大值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.2、A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3、C【解析】
通過二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、D【解析】
由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)到直線的距離.5、C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),也可以滿足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時(shí),也可以滿足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時(shí),能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時(shí),也可以滿足,b∥,故本命題不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.6、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實(shí)數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.8、A【解析】
求出,對(duì)分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點(diǎn);若,,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.12、D【解析】
當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;f(x)得周期,當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.14、3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對(duì)應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題15、【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.16、2【解析】
由題,得,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,又復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因?yàn)椋?,所以?dāng),即時(shí),l取得最大值為,所以的周長(zhǎng)的最大值為.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實(shí)數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式為,且.當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,該不等式不成立,此時(shí);當(dāng)時(shí),由得,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集為;(2)由,得,即或,不等式的解集為,故,解得,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式證明不等式,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1);(2)4【解析】
(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出,進(jìn)而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由邊角,利用余弦定理結(jié)合基本不等式,求出的最大值,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,由正弦定理得.(2)由(1)知,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的面積有最大值4.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形,應(yīng)用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在、之間的學(xué)生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為,在之間的學(xué)生人數(shù)為,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又,所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差,屬于中檔題.21、(1),;(2).【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,即得解;(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,可得點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,所以的最大值為,即得解.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,為正三角形,所以點(diǎn)在曲線上.又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是,從而,點(diǎn)的極坐標(biāo)是.(2)由(1)可知,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,有即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.,所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合,考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化,參數(shù)方程的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.22、(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為、,由(1)知,,且滿
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