算法題計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析期末試題套含答案

(1)用計(jì)算機(jī)求解問題的步驟：1、問題分析2、數(shù)學(xué)模型建立3、算法設(shè)計(jì)與選擇4、算法指標(biāo)5、算法分析6、算法實(shí)現(xiàn)7、程序調(diào)試8、結(jié)果整理文檔編制(2)算法定義：算法是指在解決問題時(shí)，按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問題結(jié)果的處理過程(3)算法的三要素1、操作2、控制結(jié)構(gòu)3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下5個(gè)屬性：有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有限次來實(shí)現(xiàn)的。輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸入取自于某個(gè)特定對象的集合。輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)：正確性：算法應(yīng)滿足具體問題的需求；可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對程序的理解；健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過程中所需要的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法迭代法也稱“輾轉(zhuǎn)法”，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問題的方法。利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問題中， 至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式 (或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。三、對迭代過程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。 不能讓迭代過程無休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來；另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。 對于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來實(shí)現(xiàn)對迭代過程的控制； 對于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件。編寫計(jì)算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib(n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當(dāng)n>1時(shí))。寫成遞歸函數(shù)有：intfib(intn){if(n==0)return0;if(n==1)return1;if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);}一個(gè)飼養(yǎng)場引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第12個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場共有兔子多少只？分析：這是一個(gè)典型的遞推問題。我們不妨假設(shè)第 1個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u1，第2個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u2，第3個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u3,……根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開始，每月新生一只兔子”，則有u1=1,u2=u1+u1X1=2,u3=u2+u2X1=4,……TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞 x=1推公式： fo門=2to12un=un—1x2(n>2) y=x*2對應(yīng)un和un—1,定義兩 x=y個(gè)迭代變量y和x,可將上面的遞 nexti推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系： printyy=x*2 endx=y讓計(jì)算機(jī)對這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行11次，就可以算出第12個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：cls分而治之法1、分治法的基本思想任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序； n=3時(shí)只要作3次比較即可，…而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：(1)該問題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決；(2)該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；(3)利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；(4)該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。3 、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：(1)分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；(2)解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題；(3)合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解?？焖倥判蛟谶@種方法中，n個(gè)元素被分成三段（組）：左段left，右段right和中段middle。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。因此left和right中的元素可以獨(dú)立排序，并且不必對 left和right的排序結(jié)果進(jìn)行合并。middle 中的元素被稱為支點(diǎn)（pivot）。圖14-9中給出了快速排序的偽代碼。//使用快速排序方法對a[0:n-1]排序從a[0:n-1]中選擇一個(gè)元素作為middle,該元素為支點(diǎn)把余下的元素分割為兩段 left和right，使得left中的元素都小于等于支點(diǎn)，而right中的元素都大于等于支點(diǎn)遞歸地使用快速排序方法對left進(jìn)行排序遞歸地使用快速排序方法對right進(jìn)行排序所得結(jié)果為left+middle+right考察元素序列[4,8,3,7,1,5,6,2] 。假設(shè)選擇元素6作為支點(diǎn)，則6位于middle;4,3,1,5,2位于left;8,7位于right。當(dāng)left排好序后，所得結(jié)果為1,2,3,4,5;當(dāng)right排好序后，所得結(jié)果為7,8。把right中的元素放在支點(diǎn)元素之后，left 中的元素放在支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果 [1,2,3,4,5,6,7,8] 。把元素序列劃分為left、middle和right可以就地進(jìn)行（見程序14-6）。在程序14-6中，支點(diǎn)總是取位置1中的元素。也可以采用其他選擇方式來提高排序性能，本章稍后部分將給出這樣一種選擇程序14-6快速排序template<classT>voidQuickSort(T*a,intn){//對a[0:n-1]進(jìn)行快速排序{//要求a[n]必需有最大關(guān)鍵值quickSort(a,0,n-1);template<classT>voidquickSort(T a口，intl,intr){//排序a[l:r],a[r+1]有大值if(l>=r)return;inti=l,// 從左至右的游標(biāo)j=r+1;// 從右到左的游標(biāo)Tpivot=a[l];//把左側(cè)>=pivot 的元素與右側(cè)<=pivot 的元素進(jìn)行交換

while(true){do{// 在左側(cè)尋找>=pivot的元素i=i+1;}while(a<pivot);do{// 在右側(cè)尋找<=pivot的元素j=j-1;}while(a[j]>pivot);if(i>=j)break;// 未發(fā)現(xiàn)交換對象Swap(a,a[j]);}//設(shè)置pivota[l]=a[j];a[j]=pivot;quickSort(a,l,j-1); //對左段排序quickSort(a,j+1, r);//對右段排序scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);pl[i]=p[i];s=s+w[i];)if(s<=m)(printf("wholechoose\n");貪婪法它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯?！締栴}】 背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品 n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。#include<stdio.h> 和價(jià)值P:");voidmain()(intm,n,i,j,w[50],p[50],pl[50],b[50],s=0,max;printf("輸入背包容量m,物品種類n:");scanf("%d%d",&m,&n);for(i=1;i<=n;i=i+1)//return;printf(" 輸入物品的重量 W

for(i=1;i<=n;i=i+1)(max=1;for(i=1;i<=n;i=i+1)(max=1;for(j=2;j<=n;j=j+1)if(pl[j]/w[j]>pl[max]/w[max])max=j;pl[max]=0;b[i]=max;｝動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想i<=n;i=i+1)s=s+w[b[i]];if(s!=m)w[b[i-1]]=m-w[b[i-1]];for(j=1;j<=i-1;j=j+1)printf("chooseweight%d\n",w[b[j]]);前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時(shí)推導(dǎo)出來的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說，只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問題實(shí)例分解為更小的、相似的子問題，并存儲(chǔ)子問題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問題是獨(dú)立的（即不包含公共的子問題） ，因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。不足之處：如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時(shí)，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。解決上述問題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨(dú)立，（亦即各子問題可包含公共的子問題）也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對每一個(gè)子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對的問題有一個(gè)顯著的特征，即它所對應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必重新求解。3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行:(1)劃分階段：按照問題的時(shí)間或空間特征，把問題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的(即無后向性) ，否則問題就無法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。(2)選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。(3)確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實(shí)上，我們常常是反過來做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。(4)寫出規(guī)劃方程(包括邊界條件)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架1. 對fn+1(Xn+1)初始化； ｛邊界條件｝fork:=ndownto1dofor每一個(gè)XkGX<dofor每一個(gè)UkGUk(xk)dobeginfk(Xk)：=一個(gè)極值； ｛oo或一oo｝Xk+i：=Tk(Xk,uk); ｛狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程｝t：=小(fk+i(Xk+i),vk(Xk,uk))； ｛基本方程⑼式｝ift比fk(Xk)更優(yōu)thenfk(Xk):=t;｛計(jì)算fk(Xk)的最優(yōu)值｝end;t:= 一 個(gè) 極值；{OO或一OO}for每一個(gè)XiGXidOiff1(x1)比t更優(yōu)thent:=f1(x1); {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}輸出t;但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(1)分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。(2)遞歸地定義最優(yōu)值。(3)以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法(備忘錄法)計(jì)算出最優(yōu)值。(4)根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。步驟(1)?(3)是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟(4)可以省略，若需要求出問題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解。總結(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問題，是指將原問題的大實(shí)例等價(jià)于同一最優(yōu)化問題的較小實(shí)例，自底向上的求解最小實(shí)例，并將所求解存放起來，存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。與遞歸相比，遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解，是自頂向下的調(diào)用和求解?；厮莘ɑ厮莘ㄒ卜Q為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P,通常要能表達(dá)為：對于已知的由n元組（xi,X2,…，Xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間 E={ （Xi, X2,…，Xn） I Xi GS,i=1,2,…，n},給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D,要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中S是分量Xi的定義域，且|Si|有限，i=1,2,…，n0我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題 P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對于許多問題，所給定的約束集 D具有完備性，即i元組（xi,X2,…，Xi）滿足D中僅涉及到xi,X2,…，Xi的所有約束意味著j（j<i）元組（xi,X2,…，Xj）一定也滿足D中僅涉及到Xi,X2,…，Xj的所有約束，i=1,2,…，n。換句話說，只要存在0&j<n-1,使得（Xi,X2,…，為）違反D中僅涉及到Xi,X2,…，Xj的約束之一，則以（Xi,X2,…，Xj）為前綴的任何n元組（Xi,X2,…，Xj,Xj+i,…，Xn）一定也違反D中僅涉及到Xi,X2,…，Xi的一個(gè)約束，n>i>j0因此，對于約束集D具有完備性的問題P,一旦檢測斷定某個(gè)j元組（Xi,X2,…，Xj）違反D中僅涉及Xi, X2,…，Xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（Xi, X2,…，Xj）為前綴的任彳<n元組（Xi,X2,…，Xj,Xj+i,…，Xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們?；厮莘ㄕ轻槍@類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T,把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)S中的元素可排成Xi⑴，Xi⑵，…，Xi（mi-i）,|Si|=m,i=i,2,…，n0從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有m個(gè)兒子。這m個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)Xi+i⑴，Xi+i⑵，…，Xi+i（mi）,i=0,i,2,…，n-i。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（Xi,X2,…，Xn）對應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為X1,X2,…，Xn,反之亦然。另外，對于任意的0<i<n-1,E中n元組（Xi,X2,…，Xn）的一個(gè)前綴I元組（Xi,X2,…，X）對應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為Xi,X2,…，Xi,反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的 n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)Xi,X2,…，Xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（Xii）、前綴2元組（Xi,X2）、…，前綴I元組（Xi,X2,…，Xi）,…，直至iji=n為止。在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對應(yīng)于問題P的一個(gè)解。【問題】n皇后問題問題描述：求出在一個(gè)nxn的棋盤上，放置n個(gè)不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有布局。這是來源于國際象棋的一個(gè)問題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線 4個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第 4行第3列位置上，則棋盤上凡打“X”的位置上的皇后就能與這個(gè)皇后相互捕捉。12345678從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線上也只有一個(gè)皇后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有n種配置,開始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下：( 輸入棋盤大小值n;m=0;good=1;do{if(good)if(m==n)( 輸出解；改變之，形成下一個(gè)候選解；)else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；else 改變之，形成下一個(gè)候選解；good= 檢查當(dāng)前候選解的合理性；}while(m!=0);)在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對于本題來說，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了” 。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)一維數(shù)組(col[])，值col[i]表示在棋盤第i歹hcol[i]行有一個(gè)皇后。例如：col[3]=4,就表示在棋盤的第3歹h第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置， 設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：數(shù)組a[],a[k]表示第k行上還沒有皇后;數(shù)組b[],b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；數(shù)組c[],c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。初始時(shí)，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第m+1列時(shí)，在數(shù)組a[]、b[]和c[]中為第m列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1歹并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組a[]、b[]和c[]中設(shè)置的關(guān)于第m-1歹col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m歹U,col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a[]、b[]和c[]對應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序：【程序】includeincludedefineMAXN20intn,m,good;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];voidmain()intj;charawn;printf("Entern: ")；scanf( "％d,&n);for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;m=1;col[1]=1;good=1;col[0]=0;do{if(good)if(m==n){printf( “列\(zhòng)t行”)；for(j=1;j<=n;j++)printf( “％3d n”，j,col[j]);forprintf("Enteracharacter(Q/qn);forscanf("％f,&awn);if(awn==，Q||awn==，q，)exit(0);while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;}col[m]++;}else{a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;col[++m]=1;else{while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;)col[m]++;)good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];}while(m!=0);)試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個(gè)解?！境绦颉縤ncludeincludedefineMAXN20intn;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];voidmain(){intj;printf("Entern: ")；scanf("％d,&n);for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;queen_all(1,n);}voidqueen_all(intk,intn){inti,j;charawn;for(i=1;i<=n;i++)if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]){col[k]=i;a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;if(k==n){printf( “列\(zhòng)t行”)；for(j=1;j<=n;j++)printf(“％3d n”，j,col[j]);printf(Enteracharacter(Q/qforn);scanf("％f,&awn);if(awn= =，Q'||awn==，q，)exit(0);}queen_all(k+1,n);a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];))采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)。【程序】#defineMAXN20intn;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];intqueen_one(intk,intn){inti,found;i=found=0;While(!found&&i{i++;if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]){col[k]=i;a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;if(k==n)return1;elsefound=queen_one(k+1,n);a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;))returnfound;)分支定界法：分支限界法：這是一種用于求解組合優(yōu)化問題的排除非解的搜索算法。類似于回溯法，分枝定界法在搜索解空間時(shí)，也經(jīng)常使用樹形結(jié)構(gòu)來組織解空間。然而與回溯法不同的是，回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹結(jié)構(gòu)，而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來搜索這些樹。因此，可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。相對而言，分枝定界算法的解空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大。算法思想：分枝定界(branchandbound)是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會(huì)變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)镋-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出(最優(yōu))可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充， 直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過程才結(jié)束。有兩種常用的方法可用來選擇下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)(雖然也可能存在其他的方法）：1）先進(jìn)先出（FIFO）即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。2）最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來建立，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問題用一個(gè)隊(duì)列Q來存放活結(jié)點(diǎn)表，Q中weight表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)weight=—1時(shí)，表示隊(duì)列已達(dá)到解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。算法首先檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中（右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)）。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1,故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí),再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)0/*該版本只算出最優(yōu)解*/#include<stdio.h>

q->next=NULL;q->weight=w;q->weight=w;if(Q->next==NULL){Q->next=q;fq=lq=Q->next;//一定要使元素放到鏈中}else{lq->next=q;lq=q;// lq=q->next;=}return0;}intIsEmpty(){if(Q->next==NULL)return1;return0;}#include<malloc.h>structQueue{intweight;struct