高考試題的探究鱉臑幾何體的試題賞析與探究文章修改稿

岳

峻

阮艷艷

安徽省太和縣太和中學(xué)

2366002015

年湖北高考數(shù)學(xué)之后，廣大考生感言：陽馬、鱉臑，想說愛你不容易；中學(xué)教師考后反思：陽馬、鱉臑，不說愛你又沒道理；試題評(píng)價(jià)專家說：湖北高考數(shù)學(xué)試題注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)文化.陽馬、鱉臑是什么呢？1 試題再現(xiàn)

文科試題《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉

PE

C臑.

在如圖

所示的陽馬

中，側(cè)棱

底面

,且

,點(diǎn)

E是

的中點(diǎn)，

連接DE,

,

BE．(I)證明：DE

平面

.

試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，(II)記陽馬

的體積為

，四面體

EBCD

的體積為

，求

的 值．

理科試題《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖

，在陽馬P

中，側(cè)棱底

圖2面

，且

，過棱

的中點(diǎn)E，作EF

交

于點(diǎn)F

，連接DE,

DF

,

,

BE.(I)證明：平面DEF．試判斷四面體DBEF

是否為鱉臑，若是，(II)若面DEF

與面

所成二面角的大小為

π，求

的值． 2 鱉臑的史料2.1 史料陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而以名云。中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六2.2 闡釋圖3再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.3 試題賞析

圖43.1 生僻字問題P

所具備的特點(diǎn)能夠完全理字不會(huì)對(duì)考生解題帶來困擾．鱉臑，并沒鬧！3.2 教材溯源北京師范大學(xué)出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修》的“第一章

立體幾何初步”的“第六節(jié)

垂直關(guān)系”的例題（第

A

B頁）：

圖5如圖

中，

為所在平面外一點(diǎn)，平面

。問：四面體中有幾個(gè)直角三角形？題（第

頁）：

中得出幾組互相垂直的平面？讓同學(xué)們更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一特殊幾何體。

進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一特殊幾何體。

B圖6教材緊接著在隨后的例題

中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問題（第

頁）：如圖

，為⊙所在平面為

，

于

，C為⊙上異于，的一點(diǎn)。求證：平面

平面PBC。直中的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用。3.3 設(shè)計(jì)理念普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，而

2015

年湖北卷就很恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化價(jià)值上的考查。命題者生的閱讀能力、審題能力和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯命題組的博學(xué)與智慧．尤其是理科第19

題、文科第20

題，創(chuàng)新于數(shù)學(xué)史料的加工，以陽馬和鱉臑為載體進(jìn)行命題，來源于教材又囿于教材，彰顯數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)味道正，文化氣息濃，讓“枯燥”的高考試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺．4 鱉臑幾何體的性質(zhì)的探究4.1 鱉臑幾何體中的垂直關(guān)系

如圖

，鱉臑幾何體P

中，平面

，

A

B

，

AM

于M

，

PC于N

．（）證明：

平面；（）證明：

平面AMN

；（）證明：

AMN

；（）證明：

MN．證明

（平面

，

平面

，又

，I

,所以

平面；（）因?yàn)?/p>

平面，

平面，所以

，又

PC，PCI

C，所以

平面PBC，則

，又AM

，所以

平面AMN

；（）因?yàn)?/p>

平面AMN

，所以

AMN

．（）因?yàn)?/p>

平面，所以平面PBC

平面，又

PC，所以

平面PBC，則

MN，又

平面AMN

，所以

MN，評(píng)注 圖形中異面直線

與的距離等于線段

的長(zhǎng)度；異面直線與的距離等于線段MN的長(zhǎng)度；4.2 鱉臑幾何體中的空間角如圖

為與斜線的夾角，

為與斜線在底面的射影的夾角，

為與底面所成的角

，為二面角C

的平面角，

為直線

與平面

所成的角，

為直線

PC與底面

所成的角，

為直線

A

B圖8

.PC與平面

所成的角，則

.（）

；（2）

；（）

；（4）

；（5）

.證明 （）

；

（2）

； （）

；

（4）

；

（5）過

C

作

于

，連接

，則

平面

，

，

評(píng)注 圖形中二面角

P

的平面角的大小等于，二面角C

的平面角的大小等于

，二面角C的平面角的大小等于

；直線

與平面

所成的角為

，直線

與平面

PBC

所成的角為

與平面

所成的角為

與平面所成的角為

，直線與平面PBC所成的角為

. 5 鱉臑幾何體模型的應(yīng)用5.1 2015

湖北真題評(píng)析例1 （同

文科試題）解析 （I）因?yàn)榈酌?/p>

，所以

PE

， C由底面

為長(zhǎng)方形，有

，

而I

，所以BC

平面

.

而DE平面

，所以

DE.又因?yàn)?/p>

，點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，所以DE

PC.而PCI

C，所以DE

平面.由

平面，DE

平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是,BCE,DEC

,DEB.（II）因?yàn)榈酌?/p>

，

是陽馬

的高，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到底面

的距離為的

，由于

，所以

．

P

F

E例2 （同

理科試題）解析 （I）同例

證明DE

平面.而DE

平面DEF，所以平面DEF

平面

C

.而平面DEF平面

EF

，

EF，所以平面DEF

.由DE

平面，

平面DEF

，可知四面體

BDEF

的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF

是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.（II）因?yàn)槠矫鍰EF

，底面

，則平面DEF

與平面

，所成二面角的平面角即為與所成的角不妨設(shè)

，則

，在中,

，故

．5.2 鱉臑在手，橫掃立體幾何試題鱉臑幾何體不僅覆蓋了立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，以及各種空間角的計(jì)算，又突出了“垂直”這個(gè)橫貫立體幾何知識(shí)的系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺(tái)的基本模型。例

已知

在

內(nèi)，

P，PE

于

E，

PF

于F

，PE

PF，

，求證：在的平分線上（即

）．

解 析 因 為

E

BPE

,PF

,

，由三垂線定理

A

F

逆定理知：

,

，

因?yàn)镻E

PF

,

，所以≌PAF，則

，又因?yàn)?/p>

，所以

，故

．評(píng)注 這個(gè)角兩邊夾角相等，那么斜線在平 E

面上的射影是這個(gè)角的平分線所在直線．本題圖形中的三棱錐P就是鱉臑幾何體，顯然，這個(gè)三棱錐中蘊(yùn)含著棱錐、棱臺(tái)的所有要素。例

（

新課標(biāo)

I）如圖，四邊形為菱形，

為

與

交點(diǎn)，BE

平面

.(1)證明：平面平面BED；若

o，

EC，三棱錐E的體積為

，求該三棱錐的側(cè)面積.解析 (1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?/p>

，又BE

平面

，所以幾何體E

是鱉臑，由鱉臑幾何體的垂直關(guān)系性質(zhì)可知

平面BEG,又

平面，所以平面平面BED.

因?yàn)?/p>

o，

EC，

CE，所以

，因?yàn)槿忮F

E的體積為

，所以鱉臑幾何體

E

的體積為

.設(shè)

,則

,

,

CE

，BE

，所以E

的體積為

BE

，所以△的面積為，△

的面積與△ECD的面積均為 .故三棱錐

E

的側(cè)面積為

.

E

F

CC

例

（

新課標(biāo)Ⅱ）如圖

，長(zhǎng)方體

C

中，

，

，

，點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在

, 上，E

F

，過點(diǎn)E，F(xiàn)

的平面

與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍 成一個(gè)正方形．(I)在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法(II)求直線

與平面

所成角的正弦值.

E

FQ

M

解析 (I)交線圍成的正方形EHGF如圖

(II)如圖

，作

于M

,則

E

，

；因?yàn)樗倪呅蜤HGF

為正方形,所以

EF

，于是

，所以

.作

EH于，連接

，則三棱錐QEF就是鱉臑幾何體，其中就是

與平面EHGF

所成角，設(shè)

QFE

,

,AFE

,

由

鱉

臑

幾

何

體

的

性

質(zhì)

，

則

，又

，則

，

故

與平面

EHGF

所成角的正弦值為

FE

.例

（

山東）如圖

，在三棱臺(tái)

DEF中，DE，

，分別為，

的中點(diǎn)．求證：

//平面FGH；若CF

平面，

，CF

DE，

，求平面FGH與平面所成的角（銳角）的大小．解析 略.由

，

分別為，的中點(diǎn)，所以

∥

，因?yàn)?/p>

，所以

，又CF

平面，所以幾何體F

EHC是鱉臑幾何體；假設(shè)平面FGH與平面所成的角為

，F(xiàn)HC

,FGC

，則由鱉臑幾何體的性質(zhì)可知：

，又

，所