大學物理2,11第十一章 思考題

1、一根長為/、質量為m的均勻細棒懸于通過其一端的光滑水平固定軸上，構成一個復擺。該擺作微小擺動時的周期等于多少?2T【答案：2兀廠】3gOmg圖4-22詳解：如圖所示，均勻細棒所受的重力矩為Omg圖4-22M=-mgLsin0w—mgL0

2 2式中負號表示重力矩阻礙細棒向正角位移方向擺動。細棒對懸點O的轉動慣量為r1"J=-ml2

3由剛體定軸轉動定律得八1[d20一mg—0=—ml2 3dt2迎+3g0=0dt2 2l令°2=苓，則該復擺作微小擺動的周期為2、兩個質點各自作簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同。第一個質點的振動方程為x1=Acos（皿+中）。當第一個質點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質點正在最大正位移處。求第二個質點的振動方程?！敬鸢福簒=Acos（①t+中一上n）】22詳解：設第二個質點的初相為，由題意得因此第二個質點的振動方程為=Acos(伽+中—2n)3、一根輕彈簧上端固定，下端系一個質量為m1的物體，穩(wěn)定后在m1下邊又系一個質量為m2的物體，于是彈簧又伸長了蚩。如果將m2移去，并令m1振動，其振動周期為多少？【答案：2八還】\m2g詳解：設彈簧下端只系質量為m1的物體時，彈簧伸長X1,其平衡方程為mg=kx彈簧下端系質量為m1和m2的兩個物體時，彈簧伸長x2,這時的平衡方程為(m+m)g=kx將以上兩個平衡方程相減得mg=k(x—x)=kAx由此解得彈簧的勁度系數為k=mg2當移去m2，并令m1振動時，A當移去m2，并令m1振動時，其振動周期為mmAx=2n1=2n 1一\k\m2g4、一個質點作簡諧振動，其運動速度與時間的關系曲線如圖11-11所示。如果質點的振動規(guī)律用余弦函數描述，則其初相等于多少?動規(guī)律用余弦函數描述，則其初相等于多少?一5 7【答案：一7?；蚨∝！? 6詳解：質點作簡諧振動的運動速度與時間的關系為

u=一①Asin(①t+9)=^Acos(①t+9+-n)2因此質點的運動速度也作簡諧振動，其初相為19^=9+方兀由-t關系曲線得運動速度初始時的旋轉矢量圖如圖所示?？梢?919+—n=

2由此解得質點作簡諧振動的初相為1一一n3或9u5=—n31一一n3或9+1—n=25n35一一n6或9=7—n65、已知某簡諧振動的振動曲線如圖11-12所示，試寫出該簡諧振動的振動方程。圖11-12圖11-15圖11-12圖11-15…，5 2、【答案:x=0.04cos(3nt+3n)m】【答案:詳解：由質點簡諧振動曲線得其的運動旋轉矢量圖如圖所示。由此得簡諧振動的初相為29=—n3TOC\o"1-5"\h\z由于諧振子從初始位置第一次回到平衡位置用了t=0.5s，旋轉矢量轉過的角度為5 /6，因由此解得\o"CurrentDocument"3=竺=5n

6t 3此外，簡諧振動的振幅A=0.04m，因此該簡諧振動的振動方程為52x=0.04cos(—nt+—n)m\o"CurrentDocument"3 3

6、一個質點沿x軸作簡諧振動，振動方程為x=2x10-2cos(2nt+6n)公式中的各個物理量均采用國際單位。從t=0時刻起，到質點位置在x=-1cm處，且向x軸正方向運動的最短時間間隔為多少?【答案：0.58s】詳解：由題意得旋轉矢量圖如圖所示。諧振子從初始位置第轉矢量轉過的角度為7/6，因此一次到達x=-1cm處且向轉矢量轉過的角度為7/6，因此由此解得t=—=—=0.58(s)6o 12即質點從t=0時刻起，到質點位置在x=-1cm處，且向x軸正方向運動的最短時間間隔為0.58s。7、一個質點作簡諧振動的周期為兀當它由平衡位置向x軸正方向運動時，從二分之一最大位移處到正向最大位移處所需要的最短時間為多少?【答案：T/6】詳解：由題意得旋轉矢量圖如圖所示。設諧振子由平衡位置8、一個水平彈簧簡諧振子的振動曲線如圖11-13所示。在a、b、c、d、e、f、g各點中，哪些點處在位移為零、速度為-豚、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)？哪些點處在位移的絕對值為A、速度為零、加速度為-①空和彈性力為-L4的狀態(tài)?【答案：C和g；b和f】

詳解：處在位移為零、加速度為零和彈性力為零的點是a、c.e.g,其中速度為-M的點是c和g。因此滿足所有條件的點是c和g。處在位移的絕對值為A、速度為零、加速度為-①2A和彈性力為-kA的點是b和￡9、一個簡諧振動的旋轉矢量圖如圖11-14所示，振幅矢量的長度為3cm，該簡諧振動的初相為多少？試寫出該簡諧振動的振動方程。t=t圖11-14【答案：—；x=0.03cos(nt+—)m】t=t圖11-14詳解：由圖直接看出該簡諧振動的初相為4 4詳解：由圖直接看出該簡諧振動的初相為n中=4兀、x兀、x=0.03cos(nt+4)m10、圖11-15中用旋轉矢量法表示了一個簡諧振動。旋轉矢量的長度等于0.04m，旋轉角速度等于3兀rad/s。試寫出該簡諧振動的振動方程。圖11-15【答案：x=0.04cos(3nt-—)m】圖11-152詳解：由題意得簡諧振動的振幅、角頻率和初相分別為nA=0.04mw=3nrad/s中=-2因此該簡諧振動的振動方程為兀、x=0.04cos(3nt-)m211、一根金屬細桿的上端固定，下端連接在一個水平圓盤的中心組成一個扭擺。將圓盤扭轉微小角度使其作往復扭轉運動時，金屬桿將以一回復力矩M=-DW作用于圓盤，其中D為扭轉系數，W為扭轉角。已知圓盤對其中心軸的轉動慣量為J，則扭擺的轉動周期為多少？【答案：2兀；成】D詳解：由剛體定軸轉動定律得-D-Dw=J業(yè)0dt2d叩D八+—W=0

dt2 J0令o2=D,則該扭擺的周期為012、在靜止的升降機中，長度為l的單擺的振動周期為T0。當升降機以0.5g的加速度豎直下降時，擺的振動周期為多少？【答案：心匕】詳解：在靜止的升降機中，長度為l的單擺的振動周期為當升降機以0.5g的加速度豎直下降時，根據相對運動的加速度相對性原理得單擺系統相對于升降機的加速度為a=g-0.5g=0.5g因此單擺的振動周期變?yōu)門=2n=2n,—-—=2n =<2T偵 \'0.5g \g013、一個擺長為2.0m的單擺，放在下降加速度為1.8m/s2的電梯中，該單擺作小幅度擺動的頻率是多少？【答案：0.32Hz】詳解：當電梯以a=1.8m/s2的加速度下降時，根據相對運動的加速度相對性原理得單擺系統相對于電梯的加速度為a=g-a=9.8-1.8=8(n/s2)因此該單擺作小幅度擺動的頻率為v=—'—=—.'8=0.32(Hz)

2n\l 2n\21、一個彈簧振子作簡諧振動的總能量為&如果簡諧振動振幅增加為原來的兩倍，振子的質量增為原來的四倍，則它的總能量變?yōu)槎嗌伲俊敬鸢福?G詳解：作簡諧振動的彈簧振子的總能量為E=-kA22當簡諧振動振幅增加為原來的兩倍，振子的質量增為原來的四倍時，其總能量變?yōu)镋'=-k(2A)2=4x1kA2=4E22、當質點以頻率v作簡諧振動時，它的動能的變化頻率為多少？【答案：2】詳解：由于簡諧振動動能的周期等于簡諧振動周期的一半，即TT=-

k2因此簡諧振動動能的變化頻率為3、彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內所做的功為多少?【答案：0】詳解：彈性力是保守力，因此彈性力在半個周期內所做的功為一廠廠1,, , 、1,, …T、-W=E-E=萬kA2cos2（①t+中）-2kA2cos2[①（t+—）+中]其中T 2nTw—=—x—=n2 T 2因此W=1kA2cos2（①t+中）一1kA2cos2（①t+中+n）=0224、一個作簡諧振動的彈簧振子，當位移為振幅的一半時，其動能為總能量的多少倍?【答案：3/4】詳解：作簡諧振動的彈簧振子的總能量為E=1kA22當簡諧振動的位移等于振幅的一半時，其勢能為

E=-k(A/2)2=-x-kA2=-E

p2 42 4其動能為-「一1一3一E^=E-Ep=E-彳E=彳E即這時的動能等于總能量的3/4倍。5、一個作簡諧振動的物體的振動方程為1x=Acos(wt+3n)公式中的各個物理量均采用國際單位。該物體在t=0時刻的動能與t=0.257時刻的動能之比為多少？【答案：3】詳解：物體在t=0時的動能為^ 377Ek0=EkmSin23=4Ekm物體在t=0.257時的動能為E=Esin2(2nx0.25T+-n)k kmT 3k km這兩個時刻的動能之比為6、一個作簡諧振動的系統的周期為T,以余弦函數表達振動時，初相為零。在0WtW0.5T范圍內，系統在什么時刻動能和勢能相等?【答案：T/8、3T/8】圖11-15詳解：作簡諧振動的系統的總能量為圖11-15E=E^+Ep依題意，其中E=E，因此kPE=2EP由于E=1kA2 E=1kx22 p2因此

x=±皇A2即系統在作簡諧振動時，有4個狀態(tài)動能和勢能相等，如圖所示。由于本題目初相為零，因此在0&W0.5T范圍內，系統在T/8和3T/8時刻動能和勢能相等。1、一根長度為/、勁度系數為k的均勻輕彈簧被分割成長度為11和匕的兩部分，且11=3l2。這兩部分彈簧的勁度系數k1和k2分別為多大？【答案：k=4k；k2=4k】1 3 2詳解：由于l=l1+l2、11=3l2，因此1l1=41 l2=41原彈簧的勁度系數k、兩部分彈簧的勁度系數k1和k2分別滿足的關系式為7ES

k=——

iliES

k=——2l2其中E、S分別為彈簧的楊氏模量和橫截面積。兩部分彈簧的勁度系數ki7ES

k=——

iliES

k=——2l2其中E、S分別為彈簧的楊氏模量和橫截面積。兩部分彈簧的勁度系數ki和k2與原彈簧的勁度系數k的關系分別為ESk=——ili4ES3TESk=——2lES=4——=4k2、圖ii-28中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線。如果這兩個簡諧振動可以疊加，則合成的余弦振動的初相等于多少？【答案：?！吭斀猓河蓛蓚€簡諧振動的振動曲線可以看出，它們的振動始終反向。它們在各個時刻求代數和的結果是，合振動的初相與振幅大的分振動X］相同，即合成的余弦振動的初相等于兀。圖ii-283、一個質點同時參與三個簡諧振動，它們的振動方程分別為氣=Acos（ot+3兀）,X2=Acoso（t+3兀），3=Acosa（t+兀）試寫出合成振動的振動方程?！敬鸢福?】詳解：由題意得旋轉矢量圖如圖所示。由于分振動％與x2的合成振幅也等于A,并且其振動與％相反，因此這三個分振動的合成振動為零。4、一個質點同時參與兩個同方向的簡諧振動，它們的振動方程分別為x=0.05cos(wt+4兀x=0.05cos(wt+4兀)，x=0.05cos(wt+12兀)公式中的所有物理量均采用國際單位試寫出合成振動的振動方程。公式中的所有物理量均采用國際單位試寫出合成振動的振動方程?！敬鸢福簒=0.07cos(【答案：x=0.07cos(①t+上n)m】2詳解：由題意得旋轉矢量圖如圖所示。圖11-15動的振幅和初相分別為、 、由圖可以看出，旋轉矢量Ai與A2互相垂直，因此合成振A=x:2A=0.07mi因此合成振動的振動方程為x=0.07cos(①t+2n)m5、兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm，與第一個簡諧振動的相位差為QQ1=兀/6。若第一個簡諧振動的振幅為103cm，則第二個簡諧振動的振幅為多少?第一、二兩個簡諧振動的相位差中1-中2為多少？【答案：10cm；-/2】詳解：由題意得旋轉矢量合成圖如圖所示。在△OMM］中nMM1=A ^MOM=Q-Q=g由余弦定理得第二個簡諧振動的振幅為A="2+A2-2AAcos(Q-Q)=10cm由于A2=A2+A2因此AOMM］是直角三角形，所以

nZMMO=AMOM2=q—%=-則第一、二兩個簡諧振動的相位差咒_%為6、圖11-29中的橢圓是兩個互相垂直的