三角函數(shù)的積化和差與和差化積習題教案

第2課時三角函數(shù)的積化和差與和差化積學習目標核心素養(yǎng)1.能根據(jù)公式Sα±β和Cα±β進行恒等變換，推導出積化和差與和差化積公式．(難點)2.了解三角變換在解數(shù)學問題時所起的作用，進一步體會三角變換的特點，提高推理、運算能力．(重點)1.通過三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式的推導，培養(yǎng)學生邏輯推理核心素養(yǎng)．2.借助積化和差與和差化積公式的應用，提升學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).新知探究1.積化和差公式cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2.和差化積公式設α＋β＝x，α－β＝y(tǒng)，則α＝eq\f(x＋y,2)，β＝eq\f(x－y,2).這樣，上面的四個式子可以寫成，sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)；cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；cosx－cosy＝－2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2).思考：和差化積公式的適用條件是什么？[提示]只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一個余弦的和或差，則要先用誘導公式化成同名函數(shù)后再運用公式．小試身手1.計算sin105°cos75°的值是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)B[sin105°cos75°＝eq\f(1,2)(sin180°＋sin30°)＝eq\f(1,4).]20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值為()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)B[sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20°＋70°))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20°－70°))))＋eq\f(1,2)[cos(10°－50°)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10°＋50°))]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin90°－sin50°))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos40°－cos60°))＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).故選B．]3.下列等式正確的是()A．sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)B．sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)C．cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)D．cosx－cosy＝2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)C[由和差化積公式知C正確．]【例1】(1)求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.(2)求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.[思路探究]利用積化和差公式化簡求值，注意角的變換，盡量出現(xiàn)特殊角．[解](1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)(sin90°－sin50°)－eq\f(1,2)(cos60°－cos40°)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).(2)原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos60°＋cos40°·cos70°))＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16).積化和差公式的功能與關鍵1功能：①把三角函數(shù)的一種形式積的形式轉化為另一種形式和差的形式.②將角度化為特殊角求值或化簡，將函數(shù)式變形以研究其性質.2關鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù).【例2】已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值．[思路探究]利用和差化積公式，對所求式子進行變形，利用所給條件求解．[解]∵cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，∴－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2). ①又∵sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，∴2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3). ②∵sineq\f(α－β,2)≠0，∴由①②，得－taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(3,2)，即taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2).∴sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq\f(12,13).和差化積公式應用時的注意事項1在應用和差化積公式時，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，若是異名，必須用誘導公式化為同名，若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次.2根據(jù)實際問題選用公式時，應從以下幾個方面考慮：①運用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；②運用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項.3為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時需要把某些常數(shù)當作三角函數(shù)值才能應用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【例3】在△ABC中，求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2).[思路探究]利用和差化積進行轉化，轉化時要注意A＋B＋C＝π.[解]左邊＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C,2)·coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f(B＋C,2)coseq\f(B＋C,2)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝右邊，∴原等式成立．證明三角恒等式