二面角 教學(xué)設(shè)計(jì)

課時(shí)作業(yè)(七)二面角一、選擇題1．已知平面α內(nèi)有一個(gè)以AB為直徑的圓，PA⊥α，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A在PC，PB上的射影，則()A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角2．已知△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且AD＝eq\f(\r(3),2)a，則二面角A－BC－D的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°3.如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，若△PAC的面積與正四棱錐的側(cè)面面積之和的比為eq\r(6)8，則側(cè)面與底面所成的二面角為()\f(π,12)\f(π,4)\f(π,6)\f(π,3)4．已知二面角α－l－β中，平面α的一個(gè)法向量為n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－\r(2)))，平面β的一個(gè)法向量為n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\r(2)))，則二面角α－l－β的大小為()A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°二、填空題5．若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個(gè)二面角的大小是________．6．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，則二面角P－BC－A的大小為________．7．在空間四面體O－ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為________．三、解答題8．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD為邊長(zhǎng)是1的正方形，PA＝1，求平面PCD與平面PAB夾角的大?。?．如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，點(diǎn)E是C1D1的中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面BCE；(2)求二面角A－EB－C的大小．[尖子生題庫(kù)]10.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值．課時(shí)作業(yè)(七)二面角1．解析：由二面角的定義及三垂線定理，知選B.答案：B2．解析：如圖取BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE，由題意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝eq\f(\r(3),2)a，又AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴∠AED＝60°，即二面角A－BC－D的大小為60°.答案：C3．解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為θ，高為h，斜高為h′，則eq\f(\f(1,2)×\r(2)ah,4×\f(1,2)ah′)＝eq\f(\r(6),8)，∴eq\f(h,h′)＝eq\f(\r(3),2)，∴sinθ＝eq\f(\r(3),2)，即θ＝eq\f(π,3).答案：D4．解析：設(shè)所求二面角的大小為θ，則|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(\r(3),2)，所以θ＝30°或150°.答案：C5．解析：設(shè)二面角大小為θ，由題意可知|cosθ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(82＋52－72,2×8×5)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(64＋25－49,80)))＝eq\f(1,2)，所以θ＝60°或120°.答案：60°或120°6．解析：取BC的中點(diǎn)O，連接PO，AO(圖略)，則∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．又PO＝AO＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以∠POA＝90°.答案：90°7．解析：eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))·(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝|eq\o(OA,\s\up12(→))|·|eq\o(OC,\s\up12(→))|coseq\f(π,3)－|eq\o(OA,\s\up12(→))|·|eq\o(OB,\s\up12(→))|·coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up12(→))|(|eq\o(OC,\s\up12(→))|－|eq\o(OB,\s\up12(→))|)＝0.∴cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝eq\f(|\o(OA,\s\up12(→))·\o(BC,\s\up12(→))|,|\o(OA,\s\up12(→))||\o(BC,\s\up12(→))|)＝0.答案：08．解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．故平面PAB的法向量eq\o(AD,\s\up12(→))＝(0,1,0)，eq\o(DC,\s\up12(→))＝(1,0,0)，eq\o(PD,\s\up12(→))＝(0,1，－1)．設(shè)平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up12(→))＝0，,n·\o(PD,\s\up12(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y－z＝0.))令z＝1，所以n＝(0,1,1)，所以cos〈n，eq\o(AD,\s\up12(→))〉＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以〈n，eq\o(AD,\s\up12(→))〉＝45°.即平面PAB與平面PCD的夾角為45°.9．解析：(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，E(0,1,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，eq\o(DE,\s\up12(→))＝(0,1,1)，eq\o(BE,\s\up12(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－1,0,0)．因?yàn)閑q\o(DE,\s\up12(→))·eq\o(BE,\s\up12(→))＝0，eq\o(DE,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(DE,\s\up12(→))⊥eq\o(BE,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→)).則DE⊥BE，DE⊥BC.因?yàn)锽E?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，所以DE⊥平面BCE.(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝(0,2,0)，設(shè)平面AEB的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up12(→))＝0，,n·\o(BE,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x－y＋z＝0，))含x＝1，所以平面AEB的法向量為n＝(1,0,1)．因?yàn)镈E⊥平面BCE，所以eq\o(DE,\s\up12(→))＝(0,1,1)就是平面BCE的一個(gè)法向量．因?yàn)閏os〈n，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝eq\f(n·\o(DE,\s\up12(→)),|n||\o(DE,\s\up12(→))|)＝eq\f(1,2)，由圖形可知二面角A－EB－C為鈍角，所以二面角A－EB－C的大小為120°.10．解析：(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.又BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF綊BC，所以四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE∥BF.又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知，得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up12(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(AB,\s\up12(→))|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，eq\r(3))，eq\o(PC,\s\up12(→))＝(1,0，－eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(1,0,0)．設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則eq\o(BM,\s\up12(→))＝(x－1，y，z)，eq\o(PM,\s\up12(→))＝(x，y－1，z－eq\r(3))．因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos〈eq\o(BM,\s\up12(→))，n〉|＝sin45°，即eq\f(|z|,\r(x－12＋y2＋z2))＝eq\f(\r(2),2)，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，設(shè)eq\o(PM,\s\up12(→))＝λeq\o(PC,\s\up12(→))，則x＝λ，y＝1，z＝eq\r(3)－eq\r(3)λ.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)，,y＝1，,z＝－\f(\r(6),2)，))(舍去)，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)，,y＝1，,z＝\f(\r(6),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1，\f(\r(6),2)))，從而eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1，\f(\r(6),2))).設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則eq\b