余弦定理正弦定理的綜合應(yīng)用【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（word含解析）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________一．選擇題在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，a=23A.2 B.23 C.4 D.有一長(zhǎng)為10?m的斜坡，傾斜角為75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)的長(zhǎng)度(單位：m)是(????)A.5 B.10 C.102 D.某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°方向上，塔頂A的仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10?m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高為(????)A.15?m B.5?m C.10?m D.12?m如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4?km的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為(????)A.853?km B.4153已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，23cos2A+cos?2A=0，a=7，c=6，則b等于A.10 B.9 C.8 D.5如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000m，速度為900km/?，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過80s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?????)A.5000(3+1)m B.5000(3?1)m C.5000(3?如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是(????)A.2403?1m B.1802?1m 如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°方向，距離202海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北θ(0°<θ<45°)方向的C處，且cosθ=45.已知A，C之間的距離為10海里，則該貨船的速度大小為

(A.485海里/小時(shí) B.385海里/小時(shí)

C.27海里/小時(shí) D.4在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1，B=45°，S△ABC=2，則?ABC外接圓的直徑為

A.5 B.43 C.52 如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的南偏西40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(????)A.北偏東10°B.北偏西10°

C.南偏東80°D.南偏西80°如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平線，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的視角∠CAD的大小是(

)A.30°B.45°

C.60°如圖，為測(cè)塔AB的高度，某人在與塔底A同一水平線上的C點(diǎn)測(cè)得∠ACB=45°，再沿AC方向前行20(3?1)米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠ADB=30403米 B.203米 C.40米 D.二．填空題在?ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=4如圖，為測(cè)量塔的高度，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由C向塔前進(jìn)30米后到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)103米后到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高為_________米．在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2=ac(1)則1tanA+(2)設(shè)BA?BC=32臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東方向40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_______小時(shí)．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°，∠MAC=75°，從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100?m，則MN=_______m．在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知?ABC的面積為315，b?c=2，cosA=?14，則三．解答題在?ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，角C是鈍角，且sinB=b2c．

(Ⅰ)求角C的值；

(Ⅱ)若b=2，?ABC的面積為3，求c的值．

某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為15°的觀禮臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部B的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為106米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一水平面上，若國(guó)歌播放的時(shí)間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗？

如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N

(異于村莊A)，要求PM=PN=MN=2(單位：千米).如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))．

答案和解析一．選擇題1.【答案】B【解析】解：∵(sinB?sinC)2=sin2A?sinBsinC，

∴sin2B+sin2C?2sinBsinC=sin2A?sinBsinC，

∴由正弦定理可得b2+c2?2bc=a2?bc，可得b2+c2?a2=bc，

∴由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，由A∈(0,π)，可得A=π3，

∵sinA=32，

∵a=2【解析】【分析】本題的考點(diǎn)是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形模型的構(gòu)建，屬于中檔題．由題意畫出圖形，利用正弦定理求出坡底要延長(zhǎng)的距離AB即可．【解答】解：由題意可知PA=10，∠PAO=75°，

∠B=30°，∠BPA=45°，

如圖：∠PAB=180°?75°=105°，由正弦定理ABsin45°=PAsin30°故選C．

3.【答案】C【解析】【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

作出圖形，設(shè)塔高為??m.在Rt△AOC中，∠ACO=45°，則OC=OA=?．

在Rt?AOD中，∠ADO=30°，則OD=3?.在△OCD中，運(yùn)用余弦定理，建立h的方程，解得h的值，即可得到答案．解：如圖所示，設(shè)塔高為??m．在Rt?AOC中，∠ACO=45°，則OC=OA=?．

在Rt?AOD中，∠ADO=30°，則OD=3在?OCD中，∠OCD=120°，CD=10由余弦定理，得OD2=OC2+CD2?2OC·CDcos∠OCD，即，

所以h2?5??50=0，解得?=10或?=?5(舍)．

故選C．

4.【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

在?ACD中由正弦定理可求AD的值，在?BCD中由正弦定理可求BD的值，再在?ABD中由余弦定理可求AB的值．

【解答】

解：由已知，?ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，可得∠CAD=30°，

由正弦定理，得，

所以；

?BCD中，∠CDB=75°，∠BCD=45°，可得∠CBD=60°，

由正弦定理，得，

所以；

?ABD中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cos∠ADB=48+323?2×43×【解析】【分析】

本題考查余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．

利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知的等式，求出cosA的值，再由a與c的值，利用余弦定理即可求出b的值．

【解答】

解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A?1=0，

∴cos2A=125，A為銳角，

∴cosA=15，

又∵a=7，c=6，

根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2?2bc【解析】【分析】本題考查了正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題，屬于中檔題．

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用正弦定理和直角三角形的邊角關(guān)系，即可求出山頂?shù)暮０胃叨龋?/p>

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．

由題意知∠A=30°，∠CBD=75°，

則∠ACB=∴在?ABC中，由正弦定理，得BC=10∵CD⊥AD，

∴CD=BCsin山頂?shù)暮０胃叨葹閇20?(5+53)]km=5000(3?3)m．

故選C．【解析】【分析】本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求河流在B、C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識(shí)，屬于中檔題．【解答】解：如圖，∠DAB=15°，

∵tan15°=tan(45°?30°)=2?3．

在Rt?ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=120?603．

在Rt?ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴河流的寬度BC等于120(3?1)m．

故選C．

8.【解析】【分析】

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)條件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：∵cosθ=45，

∴sinθ=35，由題意得∠BAC=45°?θ，

即cos∠BAC=cos(45°?θ)=22×(45+35)=7210，

∵AB=202，AC=10，

∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcos∠BAC【解析】【分析】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力，屬于基礎(chǔ)題，先由三角形面積公式求得c=42，由余弦定理求得b=5，利用正弦定理可得．

解：∵S△ABC=2，

．

∴12∴c=42∴b2=1設(shè)△ABC的外接圓半徑為R．

，．

故選C．

10.【答案】D【解析】【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，解答此類題需要正確畫出方位角．

根據(jù)圖正確表示出方位角，即可求解．

【解答】解：由條件及題圖可知，∠A=∠B=40°，

又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，

因此燈塔A在燈塔B南偏西80°．

11.【答案】B【解析】【分析】本題為解三角形的題目，考查利用余弦定理解三角形，題目基礎(chǔ)．首先分別求得AD2=4000，AC2解：ADAC在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD=故∠CAD=45°．

故選B．

12.【解析】【分析】本題為解三角形實(shí)際應(yīng)用問題，題目基礎(chǔ)．

首先設(shè)出關(guān)鍵量AB=x，在直角三角形中利用30°角的正切值求解即可．

【解答】解：Rt?ABC中，設(shè)AB=x，

則由∠ACB=45°可知在Rt?ABD中，AD=x+20(3?1)，∴xx+20(3?1)=tan30則塔高為20米．

故選D．

13.【答案】2【解析】【分析】

此題考查了三角形面積公式，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

由cosC的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把a(bǔ)，sinC以及已知面積代入求出b的值即可．

【解答】

解：∵?ABC中，cosC=13，

∴sinC=1?cos2C=223，

∵a=32，S△ABC=43，

∴12absinC=4【解析】【分析】

本題考查余弦定理、解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)題意求出PE=DE=103，在三角形PDE中，由余弦定理得cos2θ=PD2+DE2?PE22PD·DE，求出，利用sin4θ=PAPE，即可求出結(jié)果．

【解答】

解：∵∠CPD=∠EDP?∠DCP=2θ?θ=θ，

∴PD=CD=30，∠DPE=∠AEP?∠EDP=4θ?2θ=2θ，

∴PE=DE=103，

在三角形PDE中，由余弦定理得

cos2θ=PD2+DE2?PE22PD·DE=302+10【解析】【分析】

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

先求sinB=1?342=74，再有正弦定理得sin2B=sin

Asin

C，切化弦得1tan?A+1tan?C=cos?Asin?A+cos?Csin?C=1sinB，；

由BAsin(A+C)由BA?BC=32，有accosB=32，

∴ac=2，

又由b2=ac及余弦定理，得a2+c2?b2=2accos

【解析】【分析】

本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，設(shè)AP=x千米，根據(jù)余弦定理得出PB2=AP2+AB2?2AP·AB·cos

A，即x2?402x+700=0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出|x1?x2|，即可求出結(jié)果．

【解答】

解：設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，設(shè)AP=x千米，

在?ABP中，PB2=AP2+AB2?2AP·AB·cos

A，

即302=x2+402?2x·40cos?45°【解析】【分析】

本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了正弦定理，屬于中檔題．

在三角形ABC中，由正弦定理得MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003

m，在三角形MNA中，MN1003=sin60°=32，可得山高M(jìn)N的值．

【解答】

解：在三角形ABC中，AC=1002

m，

在三角形MAC中，MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003

【解析】【分析】

本題主要考查利用余弦定理解三角形，首先通過sin2A+cos2A=1，以及sinA為正數(shù)求出sinA，再結(jié)合S△ABC=315，和b?c=2，求出b、c的值，從而解得答案，難度較易，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：因?yàn)?ABC的面積為315，即，

由題意知b?c=2，

又sin2A+cos2A=1．

故，

聯(lián)立解得b=6，c=4(負(fù)數(shù)舍去)，

由余弦定理，得，

解得a=8(負(fù)數(shù)舍去)．

故答案為8．

19.【答案】解：(Ⅰ)由sinB=b2c得2csinB=b，由正弦定理得：2sinCsinB=sinB，

所以sinB(2sinC?1)=0，…(3分)

因?yàn)閟inB≠0，

所以sinC=12，

因?yàn)镃是鈍角，

所以C=5π6.

…(6分)

(Ⅱ)因?yàn)镾=12【解析】(Ⅰ)由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得sinB(2sinC?1)=0