第2章數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)方法

在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)）。邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。此時(shí)，0和1不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的狀態(tài)?！?.1概述一、與邏輯（與運(yùn)算）與邏輯：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：Ｙ＝ＡＢＣ…例：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮?！?.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算A、B都接通，燈亮。功能表

將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系：真值表Ｙ＝Ａ?Ｂ兩個(gè)開關(guān)均接通時(shí)，燈才會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。

與門的邏輯符號(hào)：Ｙ＝Ａ?Ｂ二、或邏輯（或運(yùn)算）或邏輯：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件A，B，C，…)中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個(gè)開關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：功能表真值表Ｙ＝Ａ+Ｂ實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門。或門的邏輯符號(hào)：Y=A+B三、非邏輯（非運(yùn)算）非邏輯：指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：Y＝A′功能表真值表實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。

非門的邏輯符號(hào)：Y＝A′常用的邏輯運(yùn)算1、與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：2、或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：3、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：異或邏輯的運(yùn)算規(guī)則：0⊕0=00⊕1=11⊕0=101⊕1=A⊕0=A⊕1=A⊕A′=A⊕A=AA′104、同或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：＝A⊙B異或和同或互為反運(yùn)算同或邏輯的運(yùn)算規(guī)則：0⊙

0=10⊙

1=01⊙

0=011⊙

1=A⊙

0=A⊙

1=A⊙

A′=A⊙

A=AA′105、與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處1.常量之間的關(guān)系2.基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。亦稱非非律3.基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：求證:（17式）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A?1+BC=A+BC=左邊課本上用真值表證明二、常用公式1.A+AB

=2.A+A′B=A′+AB=A(A′+B)=A′(A+B)=注:紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱吸收律注:紅色變量被吸收掉！統(tǒng)稱吸收律AA+BA′+BABA′B證明:A+A′B=(A+A′)

?(A+B);分配律

=1?(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)3.AB+AB′=4.A(A+B

)=證明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A(A+B)(A+B′)=注:紅色變量被吸收掉！也稱吸收律AAA5.AB+A′C+BC=證明:AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A′C(1+B)=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CAB+A′C冗余律或多余項(xiàng)定理或包含律(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B)(A′+C)(A+B)(A′+C)(B+C+D)=(A+B)(A′+C)冗余定律或多余項(xiàng)定理的其他形式同理：此多余項(xiàng)可以擴(kuò)展成其他形式6.

A·(A·B)′=

A′·(A·B)′=證明:A·(A·B)′=A·(A′+B′)=A·A′+A·B′=A·B′A′·(A·B)′=A′·(A′+B′)=A′·A′+A′·B′=A′·(1+B′)=A′A·B′A′一、代入定理任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入定理。例如，已知等式，用函數(shù)Y=BC代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：§2.4邏輯代數(shù)的基本定理

二、反演定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y′（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演定理。

應(yīng)用反演定理應(yīng)注意兩點(diǎn)：1、保持原來(lái)的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行運(yùn)算，那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之間先運(yùn)算。2、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。

三、對(duì)偶定理對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)D,YD稱為Y的對(duì)偶式。對(duì)偶定理：如果兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。

利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。（2）式（12）式§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)

如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。Y=F(A,B,C,…)二、邏輯函數(shù)表示方法

常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語(yǔ)言。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。例：一舉重裁判電路設(shè)A、B、C為1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開；Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。得到函數(shù)表示形式：真值表函數(shù)式邏輯圖波形圖ABCYtttt真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。0110AY一輸入變量，二種組合ABY001011101110二輸入變量，四種組合ABCY00000010010001101000101111011111三輸入變量，八種組合ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四輸入變量，16種組合請(qǐng)注意n個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。邏輯函數(shù)式

把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。比如：邏輯圖：

把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來(lái)。各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換1、真值表→邏輯函數(shù)式方法:將真值表中為1的項(xiàng)相加,寫成“與或式”。ABCY00000010010001111000101111011110例2.5.12、邏輯式→真值表方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。例2.5.2ABCY000001010011100101110111011111103、邏輯式→邏輯圖方法:用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào),就可以畫出邏輯圖.例2.5.34、邏輯圖→邏輯式方法:從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即得到對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式.5、波形圖→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY00000101001110010111011101100101最小項(xiàng):

在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這n個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)m稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。3個(gè)變量A、B、C可組成8(23)個(gè)最小項(xiàng)：4個(gè)變量可組成16(24)個(gè)最小項(xiàng),記作m0～m15。三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)的性質(zhì):①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。③全部最小項(xiàng)的和必為1。④具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并，并消去一對(duì)因子。只有一個(gè)因子不同的兩個(gè)最小項(xiàng)是具有相鄰性的最小項(xiàng)。例如:將它們合并，可消去因子:=BCABC和A′BC具有邏輯相鄰性。ABC+A′BC=(A+A′)BC

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A′＝1

和A(B+C)＝AB＋AC來(lái)配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。例2.5.6如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。四、邏輯函數(shù)形式的變換

根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖，表達(dá)式的形式?jīng)Q定門電路的個(gè)數(shù)和種類。在用電子器件組成實(shí)際的邏輯電路時(shí)，由于選擇不同邏輯功能類型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。1、最簡(jiǎn)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式首先是式中乘積項(xiàng)最少

乘積項(xiàng)中含的變量最少下級(jí)或門輸入端個(gè)數(shù)少實(shí)現(xiàn)電路的與門少2、最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式①在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉內(nèi)層的非號(hào)3、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式①求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式4、最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式①求最簡(jiǎn)或與表達(dá)式②兩次取反③用摩根定律去掉內(nèi)部的非號(hào)５、最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式①求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式②用摩根定律去掉內(nèi)部非號(hào)。方法一：①求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式②求反，得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式方法二：§2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法一、公式化簡(jiǎn)法并項(xiàng)法：吸收法：A+AB

=A消項(xiàng)法：消因子法：配項(xiàng)法：AB+AB=A′AB+AC+BC=AB+AC′′A+AB=A+B′A+A

=AA+A

=1′例2.6.1

試用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù)=B例2.6.2

試用吸收法化簡(jiǎn)下列函數(shù)=A+BC例2.6.3

用消項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù)例2.6.4

用消因子法化簡(jiǎn)下列函數(shù)例2.6.5

化簡(jiǎn)函數(shù)解：;A+A＝A配項(xiàng)法例2.6.6

化簡(jiǎn)函數(shù)解一：;A+A′＝1

配項(xiàng)法例2.6.6

化簡(jiǎn)函數(shù)解二：②③④①⑤;②⑤消去③，④⑤消去①解三：②③④①⑤;①⑤消去④,③⑤消去②;增加冗余項(xiàng);增加冗余項(xiàng)例2.6.7

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：吸收法消因子法吸收法消項(xiàng)法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上相鄰排列，得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖?？ㄖZ圖的定義：二、卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯相鄰項(xiàng)：僅有一個(gè)變量不同其余變量均相同的兩個(gè)最小項(xiàng)，稱為邏輯相鄰項(xiàng)。不是邏輯相鄰項(xiàng)是邏輯相鄰項(xiàng)卡諾圖的表示：1、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖一變量Y=F（A），YA01AYA01m0m1全部最小項(xiàng)：A，A′卡諾圖：

下面我們根據(jù)邏輯函數(shù)變量數(shù)目的不同分別介紹一下：A′ABY0101m0m1m2m3YAB00011110ABA′B′A′BAB′00011110YABm0m1m3m2YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m62、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖Y=F（A、B）YABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m63、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖Y=F（A、B、C）YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10YABCD00000101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m144、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖Y=F（A、B、C、D）注意：左右、上下；在卡諾圖中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小項(xiàng)都是邏輯相鄰的。Y=AC′+A′C+BC′+B′C卡諾圖：YABC010001111011111100A′(B+B′)C+(A+A′)B′CY=A(B+B′)C′+(A+A′)BC′+=∑(m1,m2,m3,m4,m5,m6)1、把已知邏輯函數(shù)式化為最小項(xiàng)之和形式。2、將函數(shù)式中包含的最小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng)的方格中填1，其余方格中填0。方法一：解：對(duì)于AC′有：對(duì)于A′C有：對(duì)于BC′有：對(duì)于B′C有：根據(jù)函數(shù)式直接填卡諾圖方法二：YABC0100011110111110011例：

用卡諾圖表示之。1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：例2.6.8

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：將Y化為最小項(xiàng)之和的形式＝m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111例2.6.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫出該函數(shù)的邏輯式化簡(jiǎn)依據(jù)：邏輯相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去因子?；?jiǎn)規(guī)則：能夠合并在一起的最小項(xiàng)是2n

個(gè)如何最簡(jiǎn)：圈的數(shù)目越少越簡(jiǎn)；圈內(nèi)的最小項(xiàng)越多越簡(jiǎn)。特別注意：卡諾圖中所有的1都必須圈到，不能合并的1必須單獨(dú)畫圈。YABC01000111101111100111上兩式的內(nèi)容不相同，但函數(shù)值一定相同。YABC01000111101111100111Y1=BC′+B′A+A′CY1=C′A+B′CA′+B將Y1=AC′+A′C+BC′+B′C

化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。此例說明，一邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果可能不唯一。例：（畫矩形圈）。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)合并最小項(xiàng)的原則（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。合并最小項(xiàng)的原則（2）任何4個(gè)（22個(gè)）相鄰的最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。此例說明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng)合并最小項(xiàng)的原則（3）任何8個(gè)（23個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。合并最小項(xiàng)的原則利用AB+AB′=A2個(gè)最小項(xiàng)合并，消去1個(gè)變量；4個(gè)最小項(xiàng)合并，消去2個(gè)變量；8個(gè)最小項(xiàng)合并，消去3個(gè)變量；

…

…2n個(gè)最小項(xiàng)合并，消去n個(gè)變量；卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟★

畫出變量的卡諾圖;★

作出函數(shù)的卡諾圖;★畫圈;★寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。畫圈的原則◆

合并個(gè)數(shù)為2n；◆圈盡可能大---乘積項(xiàng)中含因子數(shù)最少；◆圈盡可能少---乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；◆每個(gè)圈中至少有一個(gè)最小項(xiàng)僅被圈過一次，以免出現(xiàn)多余項(xiàng)。例2.6.10

用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與－或函數(shù)式111111YY例2.6.11

用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與－或函數(shù)式Y(jié)Y§2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú)關(guān)項(xiàng)約束項(xiàng):當(dāng)限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時(shí)，用它們對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0來(lái)表示。任意項(xiàng):在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量的取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。

在卡諾圖中用符號(hào)“φ”、“×”或“d”表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。在化簡(jiǎn)函數(shù)時(shí)即可以認(rèn)為它是1，也可以認(rèn)為它是0。例2.7.1

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)已知約束條件為例2判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)

說明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCD

輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001