函數(shù)的概念(二)同步練習(xí)（含答案）

課時(shí)2函數(shù)的概念(二)1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)一定是同一個(gè)函數(shù)．(×)(2)[a，a－1]表示一個(gè)區(qū)間．(×)(3)函數(shù)的定義域和值域都相同，這兩個(gè)函數(shù)不一定是同一個(gè)函數(shù)．(√)(4)函數(shù)y＝eq\f(k,x)的值域?yàn)镽.(×)題型1區(qū)間的概念2．用區(qū)間表示數(shù)集{x|2<x≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).題型2同一個(gè)函數(shù)4．下列四組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是(C)A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)解析：因?yàn)閒(x)＝x(x∈R)與g(x)＝(eq\r(x))2(x≥0)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以A中兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)；因?yàn)閒(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以B中兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)；因?yàn)閒(x)＝eq\r(x2)＝|x|與g(x)＝|x|，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以C中兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)；f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以D中兩個(gè)函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)，故選C.5．下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(C)①f(x)＝eq\r(－2x3)與g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x與g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④解析：①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)與g(x)＝xeq\r(－2x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．②g(x)＝eq\r(x2)＝|x|與f(x)＝x的對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一個(gè)函數(shù)．④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一個(gè)函數(shù)．由上可知是同一個(gè)函數(shù)的是③④.6．下列各組函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的是(C)A．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0C．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)D．f(x)＝eq\f(x2－9,x＋3)，g(x)＝x－3解析：A項(xiàng)中，g(x)＝|x|，則f(x)與g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)；B項(xiàng)中，f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，則f(x)與g(x)的定義域不同，f(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)；C項(xiàng)中，f(x)＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)，f(x)與g(x)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)；D項(xiàng)中，f(x)＝x－3(x≠－3)，g(x)＝x－3，f(x)與g(x)的定義域不同，則f(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)．7．下列各對(duì)函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是__②④__.①f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0；②f(x)＝eq\r(2x＋12)與g(x)＝|2x＋1|；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.解析：①函數(shù)g(x)＝2x－x0＝2x－1，定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；②f(x)＝eq\r(2x＋12)＝|2x＋1|與g(x)＝|2x＋1|的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)．題型3函數(shù)的值域8．函數(shù)y＝1－eq\f(1,x2－1)的值域?yàn)開_(－∞，1)∪[2，＋∞)__．解析：因?yàn)閤2－1≥－1，所以eq\f(1,x2－1)≤－1或eq\f(1,x2－1)>0，所以－eq\f(1,x2－1)≥1或－eq\f(1,x2－1)<0，所以y＝1－eq\f(1,x2－1)≥2或y＝1－eq\f(1,x2－1)<1，故答案為(－∞，1)∪[2，＋∞)．9．函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x－1)在區(qū)間[2,5]上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).解析：由題意y＝eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋1，此函數(shù)在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù)，所以有eq\f(3,2)≤y≤3，故函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).10．求下列函數(shù)的值域：(1)y＝eq\f(3－x,2x－1)；(2)y＝－x2－x＋1(1≤x≤2)．解：(1)y＝－eq\f(1,2)·eq\f(x－3,x－\f(1,2))＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\f(5,2),x－\f(1,2)))).因?yàn)閑q\f(\f(5,2),x－\f(1,2))≠0，所以y≠－eq\f(1,2)，即函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).(2)y＝－x2－x＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4).因?yàn)?≤x≤2，所以－5≤－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)≤－1，所以函數(shù)y＝－x2－x＋1的值域?yàn)閇－5，－1]．易錯(cuò)點(diǎn)1忽略定義域致錯(cuò)11．下列各組函數(shù)中，是同一個(gè)函數(shù)的是(A)A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(2,x2)B．f(x)＝2x，g(x)＝2(x＋1)C．f(x)＝eq\r(－x2)，g(x)＝(eq\r(－x))2D．f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1)，g(x)＝x解析：A中兩函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；B中對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；C中定義域不同；D中定義域不同．[誤區(qū)警示]兩函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)只有在定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的前提下才成立．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視所換元的取值范圍致錯(cuò)12．求函數(shù)y＝x＋eq\r(x＋1)的值域．解：設(shè)t＝eq\r(x＋1)，則x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1＋t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4).又因?yàn)閠≥0，故f(t)≥－1.所以函數(shù)的值域是{y|y≥－1}．[誤區(qū)警示]二次函數(shù)求值域要注意自變量的取值范圍．(限時(shí)30分鐘)一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,3)的定義域?yàn)閇0,1]，則它的值域?yàn)?A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,6))) B．RC．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))2．[2020·遼源期中]下列四個(gè)區(qū)間能表示數(shù)集A＝{x|0≤x<5或x>10}的是(B)A．(0,5)∪(10，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5))∪(10，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，5))∪[10，＋∞) D．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2－2x,x＋1)(x>1)，則它的值域?yàn)?D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－1,0) D．(－2,0)解析：f(x)＝eq\f(2－2x,x＋1)＝eq\f(－2x＋1＋4,x＋1)＝－2＋eq\f(4,x＋1)(x>1)，設(shè)t＝x＋1(t>2)，易知：y＝eq\f(4,t)∈(0,2)，故f(x)＝－2＋eq\f(4,x＋1)(x>1)的值域?yàn)?－2,0)．4．下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是(D)A．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2,x)－1B．f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4C．f(x)＝eq\f(x2,|x|)，g(x)＝|x|D．f(x)＝eq\f(xx－2,x2)，g(x)＝1－eq\f(2,x)解析：A項(xiàng)中，f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；B項(xiàng)中，f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；C項(xiàng)中，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)的定義域?yàn)镽，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；D項(xiàng)中，f(x)＝eq\f(xx－2,x2)＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)＝1－eq\f(2,x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，表示同一個(gè)函數(shù)．5．(多選題)函數(shù)f(x)＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(7,2)時(shí)，下列函數(shù)中，其值域與f(x)的值域相同的函數(shù)為(ABD)A．y＝x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，1，2，3))B．y＝2x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))C．y＝eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)))D．y＝x2－1，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\r(2)，\r(3)，2))解析：由題意，可得當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))時(shí)，f(x)＝－1；當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，f(x)＝1；當(dāng)x∈[2,3)時(shí)，f(x)＝2；當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))時(shí)，f(x)＝3.所以當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(7,2)))時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧－1,0,1,2,3}．對(duì)于A選項(xiàng)，y＝x，x∈{－1,0,1,2,3}，該函數(shù)的值域?yàn)閧－1,0,1,2,3}；對(duì)于B選項(xiàng)，y＝2x，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))，該函數(shù)的值域?yàn)閧－1,0,1,2,3}；對(duì)于C選項(xiàng)，y＝eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)))，該函數(shù)的值域?yàn)閧－1,1,2,3,4}；對(duì)于D選項(xiàng)，y＝x2－1，x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\r(2)，\r(3)，2))，該函數(shù)的值域?yàn)閧－1,0,1,2,3}．故選ABD.二、填空題6．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2a－1，a＋1]，值域?yàn)閇a＋3,4a]，則a的取值范圍是__(1,2)__．7.[2020·重慶高一月考]函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－2x)的定義域?yàn)開_(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域?yàn)開_[0，＋∞)__．解析：要使函數(shù)有意義，則需x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，即定義域?yàn)?－∞，0]∪[2，＋∞)．因?yàn)閒(x)＝eq\r(x2－2x)＝eq\r(x－12－1)，結(jié)合函數(shù)的定義域可得f(x)≥0，即函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)．8.[2020·鄭州高一月考]由“不超過x的最大整數(shù)”這一關(guān)系所確定的函數(shù)稱為取整函數(shù)，通常記為y＝[x]，例如[]＝1，[－]＝－1，則函數(shù)y＝2[x]＋1，x∈[－1,3)的值域?yàn)開_{－1,1,3,5}__．三、解答題9．判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)．(1)y1＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，y2＝x－5；(2)y1＝eq\r(x＋1)·e