第5講穩(wěn)定性分析

一、穩(wěn)定的基本概念

如果一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)在外作用的影響下，離開了初始的穩(wěn)定狀態(tài)，但是當(dāng)外作用消失后，系統(tǒng)經(jīng)過足夠長的時(shí)間它還能回復(fù)到原來的穩(wěn)定狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。第五節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

或定義為：設(shè)初始條件為零時(shí)，輸入為一個(gè)理想的單位脈沖函數(shù)，即R(S）=1。當(dāng)作用時(shí)間t>0時(shí)，=0，這相當(dāng)給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng)。如果系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng)

即輸出增量收斂于原平衡工作點(diǎn)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2/1/20231二穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：設(shè)為系統(tǒng)特征方程的根，而且彼此不等。則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可寫為：2/1/20232對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得到理想脈沖函數(shù)作用下的輸出：上式中第一項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)，根為；第二項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積，根的實(shí)部為。要想系統(tǒng)穩(wěn)定，兩個(gè)指數(shù)函數(shù)必須是衰減的，也就是說，和必須是負(fù)數(shù)。因此有，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均分布在復(fù)平面的左半部。2/1/20233

如果特征方程中有一個(gè)正實(shí)根，它所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)將隨時(shí)間單調(diào)增長；如果特征方程中有一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，它的對(duì)應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散的周期振蕩。

上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征方程中有一個(gè)零根(1/s項(xiàng))，拉氏反變換對(duì)應(yīng)于一個(gè)常系數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；

穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面如果特征方程中有一對(duì)共軛虛根，它的對(duì)應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。

從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。2/1/20234

對(duì)于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

對(duì)于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，表現(xiàn)在傳遞函數(shù)中就只與特征根有關(guān)，即只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)，也與輸入輸出信號(hào)無關(guān)；對(duì)于高階系統(tǒng)特征方程：其系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：上式中各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)。2/1/20235三、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為式中,構(gòu)造如下勞斯行列表:

對(duì)于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。2/1/20236勞斯行列表:2/1/20237表中,最左邊一列和最上面兩行構(gòu)成勞思行列表的表頭,表中其它各行各列的元素值按如下公式計(jì)算:2/1/20238以下各行各列的元素值可依上幾式的規(guī)律依次算得.

2/1/20239則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列各值均大于零.如勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值,系統(tǒng)就不穩(wěn)定,且第一列各數(shù)值符號(hào)的改變次數(shù),就是系統(tǒng)特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目,即系統(tǒng)在極點(diǎn)平面的右半平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù).

2/1/202310[例1]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：

均大于零且此題說明四階系統(tǒng)的判斷也簡單，只要各階系數(shù)>0，以及它們的乘積之差>0就行了2/1/202311例2:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?解:因?yàn)榈谝涣杏?25,且正﹑負(fù)號(hào)改變兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個(gè)根在s的右半平面上.2/1/202312例3:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?解:因?yàn)榈谝涣杏?0.5,且正﹑負(fù)號(hào)改變兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個(gè)根在s的右半平面上.2/1/202313

四、兩種特殊情況的處理.第一種特殊情況是在計(jì)算各行各列元素值的過程中出現(xiàn)某一行第一列的元素值為零,而這一行其它各列的元素值不全為零.例3:設(shè)系統(tǒng)的特征方程為解:用一大于零的無窮小量代替第三行第一列的零參與以下各行各列元素值的計(jì)算.因?yàn)槭谴笥诹愕臒o窮小量,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個(gè)根在s的右半平面上.教材介紹了處理第一種特殊情況的另一種方法,也可行，不再介紹.2/1/202314第二種特殊情況是勞斯陣某行系數(shù)全為零。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少有下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根，或是對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。例如:其根為2/1/202315[處理辦法]：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。再通過輔助方程求解大小相等，位置徑向相反的根，輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。2/1/202316[例]：168168130380

從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時(shí)還要計(jì)算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：輔助方程為：，求導(dǎo)得：，或，用1，3，0代替全零行即可,再繼續(xù)做。

純虛根，此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。控制工程上認(rèn)為是不穩(wěn)定的。2/1/202317五、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[解]：排列勞斯陣如下：

因?yàn)閯谒龟嚨谝涣胁蝗珵檎?，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號(hào)變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。

2/1/202318[例]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。[解]：勞斯陣如下

行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因?yàn)樾腥珵榱?，所以特征方程必有特殊的根。求解如下?/p>

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定，稱為不穩(wěn)定2/1/202319設(shè)剩余的一個(gè)根為-p。則：，整理得：與原方程比較系數(shù)得：-p=-2極點(diǎn)分布如下：注意：勞斯判據(jù)實(shí)際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半平面還是在右半平面。對(duì)于虛軸上的根或?qū)ΨQ于虛軸的根，要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有右半平面的根，則一定在勞斯表的第一列有變號(hào)。5次方程有5個(gè)根2/1/202320

分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響

利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：2/1/202321勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，所以k>o②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)2/1/202322

確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）

利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。

利用實(shí)部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕度為0。其他的判斷方法為：

作的垂線，是系統(tǒng)特征根位置與虛軸之間的最小給定距離，可設(shè)為1，稱給為定穩(wěn)定裕度。若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)至少具有的穩(wěn)定裕度。一般說，越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，建立以z為變量的新特征方程，再用勞斯判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)至少具有的穩(wěn)定裕度。2/1/202323[例]系統(tǒng)特征方程為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：

行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)為1，0，繼續(xù)填勞斯表。第一列全為正，輔助方程的解為：有一對(duì)共軛虛根，對(duì)于變換后的Z系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，但回到S系統(tǒng)中，有-1的坐標(biāo)偏移，故穩(wěn)定裕度恰為1。2/1/202324[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征根的實(shí)數(shù)部分不大于-1，試確定k值的取值范圍。[解]：閉環(huán)特征方程為：現(xiàn)以s=x-1代入上式，得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，此時(shí)k的取值范圍為0-1大小2/1/202325

討論相對(duì)穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要考慮共軛極點(diǎn)的振蕩情況。對(duì)于共軛極點(diǎn)，其實(shí)部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對(duì)于極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖