第9章分析的時代

正當變分問題的解取得突破性進展的時候，物理學給這一課題的研究又直接提供了一個新的推動，這就是最小作用原理。早在古希臘時代，自然哲學家們就有這樣一種信念：大自然是以最簡潔的可能途徑行動的，“自然界不做多余的事情”，這一觀念在中世紀為人們普遍接受。17世紀費馬在對光學的研究中提出了一個最小時間原理。9.2.3來自物理學的推動費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學家。他在數(shù)學上的成就不比職業(yè)數(shù)學家差，他似乎對數(shù)論最有興趣，亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻。被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。17世紀費馬在對光學的研究中提出了一個最小時間原理。費馬，是當今常見譯法，80年代的書籍文章也多見譯為“費爾瑪”的情況，但“費瑪”則少見。莫佩蒂從費馬的最小時間原理出發(fā)，提出了更一般的最小作用原理：自然界中的任何改變都是主要使“作用”最小，而所謂“作用”是指質(zhì)量，速度的乘積關于路徑的積分，即。他宣稱，這一原理是自然界的普遍規(guī)律和上帝存在的第一科學證明。顯然，莫佩蒂極力提倡這個原理還有著不可低估的宗教傾向。這與歐拉的思想不謀而合。法國數(shù)學家、生物學家、物理學家。生于圣馬羅(St.-Malo),卒于瑞士巴塞爾(Basel)。早年讀私人學校,16歲到巴黎求學。后來投入軍界,成為騎兵軍官(1718—1723)。對數(shù)學有濃厚興趣,不久便在研究中嶄露頭角。1723(另一說1731)當選為法國科學院院士。1745年接受腓特烈大帝(FriedrichⅡ)的邀請,進入柏林科學院。次年被任命為該院院長。曾多次出訪歐洲各國。莫佩蒂的貢獻涉及數(shù)學、物理學和生物學的若干學科。

在歐拉給莫佩蒂的通信中就表明了這樣的觀點：上帝已經(jīng)按照某種這樣的基本原理構造成了宇宙，而這種原理的存在又證實了上帝的安排。他曾將最小作用原理作為一個精確的動力學定理作了詳細的闡述，但他僅討論了單個質(zhì)點沿平面曲線的運動問題。拉格朗日是第一個用具體形式將最小作用原理表示出來的人。從數(shù)學的觀點來看，拉格朗日關于最小作用原理的工作賦予變分法以重大的價值。歐拉和拉格朗日留給后人的問題是：歐拉微分方程的解必須滿足什么樣的附加條件才能真正使一個依賴y（x）的積分取得極大或極??？9.2.4變分法的進一步發(fā)展另外兩位法國數(shù)學家拉普拉斯和勒讓德則是從普通微積分的相關理論中尋找啟示的，在普通微積分中對于使f'(x)=0的x的值，f''(x)的符號決定著f(x)是否極大或極小值。故他以二次變分為突破口，得出結論：對于滿足歐拉方程并且通過（x0,yo）和（x1,y1）的曲線y（x）,只要沿y（x）的每一點處，時,則J取極大；而時，J取極小在勒讓德的工作以后大約50年期間，數(shù)學家們進一步探索了一次和二次變分，但都沒有得到?jīng)Q定性的結果。1837年雅可比試圖通過強化勒讓德條件使之成為充分條件，然而他得到的一些充分條件都是不正確的；不過他的工作使人們清楚地看到，變分法的進展不能僅以通常的微積分的極大和極小理論為指導。

但后來又發(fā)現(xiàn)關于fy'y'的這一條件僅僅是使y（x）成為極大或極小曲線的一個必要條件。尋找使積分達到極大或極小曲線y（x）的充分條件仍然未能解決。

魏爾斯特拉斯在1879年證明了有關弱變分的一個充分條件，并通過引進“場”的概念提出了有關強變分的充分條件，這個條件后來由希爾伯特與1900年給出了證明。在應用方面，拉格朗日用最小作用原理對動力學的成功描述，啟示著這一概念應該可以應用到物理學的其他分支上去。19世紀初期，許多數(shù)學家都致力于這一工作。泊松、柯西等人成功地運用變分法解決過許多有關彈性問題，而其中最突出的是哈密頓，他從最小作用原