湛江市2020屆高三數(shù)學(xué)二模考試試題理含解析

廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}理含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學(xué)二模考試試題理含解析PAGE31-廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}理含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}理（含解析）一、選擇題(共12小題)1.設(shè)集合，,若,則（)A. B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由題意可知,是關(guān)于的方程的根，可求得的值，再解方程，進(jìn)而可解出集合。詳解】，則，,解得，.故選：A.【點睛】本題考查利用交集的結(jié)果求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。2。復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】B【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)進(jìn)行除法和乘法運(yùn)算，再根據(jù)實部和虛部找出對應(yīng)的點，即可得出對應(yīng)的象限．【詳解】解：∵，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第二象限．故選:B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3.已知，，則（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】利用二倍角的正切公式結(jié)合可求得的值，再由二倍角公式得出，在分式的分子和分母中同時除以，將分式轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)式，代值計算即可。【詳解】，，，即,解得，因此，.故選：C.【點睛】本題考查利用二倍角公式求值，涉及弦化切思想的應(yīng)用，考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.高二某班共有45人，學(xué)號依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學(xué)號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本,已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有兩個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由系統(tǒng)抽樣的方法,可求出抽到的每個同學(xué)的學(xué)號之間的間隔為：，而已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，即可得分別寫出5個同學(xué)的學(xué)號,即可得出剩余的兩個同學(xué)的學(xué)號?！驹斀狻拷猓河深}可知，該班共有45人，按學(xué)號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本，則抽到的每個同學(xué)的學(xué)號之間的間隔為：，而已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，即抽到的第一個學(xué)號為6，則第二個學(xué)號為：6+9=15，第三個學(xué)號為：15+9=24，則第四個學(xué)號為：24+9=33，第五個學(xué)號為：33+9=42，所以樣本中還有兩個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為：15，42。故選：B。【點睛】本題考查對系統(tǒng)抽樣的理解，屬于基礎(chǔ)題。5。下列圖象為函數(shù)y,y，y，y的部分圖象，則按順序?qū)?yīng)關(guān)系正確的是()A。①②③④ B。①②④③ C.①③②④ D。②①④③【答案】B【解析】【分析】由題意對比函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特征,逐個判斷即可得解?！驹斀狻坑煽傻煤瘮?shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)對應(yīng)的圖象為圖④，故排除A、C；由，可知函數(shù)對應(yīng)的圖象為圖③；由,可知函數(shù)、對應(yīng)的圖象分別為①、②，故排除D。故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別,考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是找到函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題．6。函數(shù)f（x）＝ax3﹣6x的一個極值點為1，則f（x)的極大值是（）A。﹣4 B。2 C。4 D。﹣2【答案】C【解析】【分析】對進(jìn)行求導(dǎo)，求出，從而求出，再求的極大值即可【詳解】f（x）＝ax3﹣6x，可得＝3ax2﹣6，f（x）＝ax3﹣6x的一個極值點為1，所以3a﹣6＝0，解得a＝2，因為，所以f（x）在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),所以x＝﹣1時，函數(shù)取得極大值:f（—1）＝4．故選：C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題7。我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異“．意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等,那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為（）A.π B.π C。4 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由題意可得該幾何體的體積與圓錐相同，結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的特征可求得圓錐的母線與底面半徑的長度，進(jìn)而可得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可得解．【詳解】由題意可知，該幾何體的體積等于圓錐的體積，∵圓錐的側(cè)面展開圖恰為一個半徑為3的圓的三分之一，∴圓錐的底面周長為，∴圓錐的底面半徑為1,母線長為3，∴圓錐的高為，∴圓錐的體積圓錐．從而所求幾何體的體積為．故選：A．【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化與圓錐體積的求法，考查了圓錐側(cè)面展開圖的特征，正確理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的x的值為（）A.﹣2 B.2 C.5或﹣2 D.7或﹣2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輸出的，結(jié)合程序框圖的值分和兩種情況，分別計算即可?！驹斀狻坑沙绦蚩驁D可得：由，解得；由，解得.綜上，輸入的的值為7或—2．故選：D．【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題．9.在中,角的對邊分別是，若，則的面積為(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，根據(jù)正弦定理角化邊得出，而，則,再利用余弦定理得出，即可得出,最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案?！驹斀狻拷?由題可知，則，即:，又,，則，由余弦定理得：則，即：，所以，得，解得：，則，得:或（舍去)，所以的面積為：.故選：D.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力。10。已知函數(shù)f（x)＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x）的圖象,則（）A。g（x）為偶函數(shù)B.g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為C。g（x)為奇函數(shù)D。函數(shù)g（x）在上有兩個零點【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的部分圖象和性質(zhì)求出f(x)解析式,再根據(jù)圖象的變換規(guī)律求得g（x），最后根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】因為函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，所以A=3，(）；所以T＝π所以ω＝2；所以f（x）＝3cos（2x+φ)；又因為f(）＝3cos[（2×（）+φ]＝3,所以φ＝Kπ；∵0＜φ＜π；∴φ，∴f（x)＝3cos（2x）；因為將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x)的圖象,所以g（x）＝3cos[2（x）］＝3cos（2x）；是非奇非偶函數(shù)；令﹣π+2kπ≤2x2kπ，所以kπ≤x≤kπ,k∈z;當(dāng)k＝0時，g(x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為:；令2xkπ，解得x，k∈z，∴函數(shù)g(x）在［0,]上只有一個零點．故選：B．【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)部分圖象求解析式,圖象變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。11。已知正方體的棱長為，為的中點，下列說法中正確的是(）A.與所成的角大于B.點到平面的距離為C.三棱錐的外接球的表面積為D。直線與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】對于A，取的中點,連接,,則為與所成的角,可求得該角正切值：;對于B,到平面的距離即點到平面的距離，則可得到點到平面的距離為；對于C,三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，可得四棱錐的高為，從而求得外接球的半徑為．得外接球的表面積；對于D,連接，取的中點,連接交于,連接，，是直線與平面所成的角，．【詳解】解：如圖,對于A，取的中點，連接，,則為與所成的角,∵，，，故A錯誤；對于B,由于平面,故到平面的距離即點到平面的距離，連接交

于，可得平面,而，∴點到平面的距離為,故B錯誤；對于C，三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，∵為矩形，且,，，四棱錐高為，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則，解得．∴三棱錐的外接球的表面積，故C錯誤；對于D,連接,取的中點,連接交于，連接，，∵,∴是直線與平面所成的角，在直角三角形中，，，∴,故D正確．故選：D【點睛】本題主要考查空間角：異面直線所成交和線面角；以及空間距離：點到平面的距離；幾何體的外接球表面積．注意運(yùn)用定義在解題中的運(yùn)用,同時考查運(yùn)算能力,屬于一道綜合題．12.已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，設(shè)直線,的斜率分別為，,且滿足，設(shè)的面積為，以，為直徑的圓的面積分別為，,則的最小值為（)A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，消去整理得，利用判別式以及韋達(dá)定理,轉(zhuǎn)化表示三角形的面積，通過基本不等式求表達(dá)式的最值即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可知，聯(lián)立直線和橢圓方程消去可得：，可得根據(jù)韋達(dá)定理：由化簡可得，可得，，，m2＜2,設(shè)到直線距離為根據(jù)點到直線距離公式可得：則,由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,這時的最小值為;故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓中的三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,采用“設(shè)而不求法”并進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而使問題得以解決．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13.已知向量,,若，則_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)兩個向量共線的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù)．再利用向量模長公式求解..【詳解】，∵,∴，解得．∴｜｜．故答案：2【點睛】本題考查平面向量共線與模長計算。已知兩向量共線或垂直求參數(shù)：兩向量共線的充要條件，求向量模的常用方法：(1）若向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,求向量的模可直接利用公式。(2)若向量是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的?？蓱?yīng)用公式或，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．14.若實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為____________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出實數(shù)滿足約束條件表示的平面區(qū)域，要求的最大值，即求的軸上的截距的最小值，由圖可知，將向下平移到過點時,取得最小值，即可求出的最大值。【詳解】解：由題可知，實數(shù)滿足約束條件表示的區(qū)域如下圖陰影部分:由于，即，要求的最大值，即求的軸上的截距的最小值,由圖可知,將向下平移到過點時,取得最小值，即過點時,取得最大值,所以最大值為:.故答案為:4.【點睛】本題考查利用幾何法求線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結(jié)合思想。15。已知F1（﹣c，0）,F2(c,0)分別為雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線在第二象限交于點P，若tan∠PF1F2，則該雙曲線的離心率為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)|PF1｜＝t，利用P，F(xiàn)1，F(xiàn)2在圓x2+y2＝c2上，得出PF1⊥PF2，然后根據(jù)勾股定理和雙曲線的定義,把，的值均用來表示，進(jìn)而可以求得該雙曲線的離心率【詳解】由題意可得：P，F(xiàn)1,F2在圓x2+y2＝c2上，所以PF1⊥PF2,設(shè)|PF1｜＝t，因為tan∠PF1F2,所以｜PF2｜,由勾股定理可得t2+2t2＝4c2，所以4c2＝3t2，所以2ct,而2a＝｜PF2｜﹣｜PF1|（）t,所以雙曲線的離心率e,故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力16。若（1+x）10＝a0+a1x+a2x2+……+a10x10,則a2+a6+a8＝_____；a1+2a2+3a3+……+10a10＝_____。【答案】（1）。300(2)。5120【解析】【分析】（1)根據(jù)二項展開式的公式計算即可。（2）對原式兩邊求導(dǎo),再代入求解即可.【詳解】（1)由已知通項為：,所以展開式中每一項的系數(shù)即為其二項式系數(shù)。故a2+a6+a8。（2）對原式兩邊求導(dǎo)數(shù)得：10（1+x）9.令x＝1得a1+2a2+3a3+……+10a10＝10×29＝5120.故答案為：300；5120【點睛】本題主要考查了根據(jù)二項展開式通項公式求解項的系數(shù)的問題,同時也考查了求導(dǎo)賦值法求解二項展開式系數(shù)和的問題等.屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一)必考題：共60分.17.已知數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+an﹣1．（1）求｛an｝通項公式；(2）設(shè)bn，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn．【答案】(1）an＝2n+1；(2）Tn．【解析】【分析】（1）先由得到，兩式相減得，進(jìn)而求得；（2）利用裂項相消法求和即可．【詳解】解：（1）∵①，∴，②，由①﹣②可得：，整理得：，，∴,當(dāng)時,有,所以也適合,故；(2）∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求前n項和，屬于中檔題．18.如圖,在正四棱柱中，，,,，是棱的中點,平面與直線相交于點。（1）證明:直線平面.（2）求二面角的正弦值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；(2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，,設(shè)點為的中點，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面,平面,從而平面平面,由此能證明平面．（2）以為原點，為軸,為軸,為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【詳解】解:（1）證明:平面平面,平面平面，平面平面，，由題意得，設(shè)點為的中點，連結(jié),，是棱的中點，，平面，平面，平面，,，，平面，平面，平面,，平面平面,平面，平面．（2）解:，，如圖，以為原點，為軸，為軸,為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0,，,1，，,0，,1，,,1，，，1，，，0,，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1,，設(shè)二面角的平面角為，由，,二面角的正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19。冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征(MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育，在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學(xué)習(xí),在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽"在線活動．已知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為第1，2，3，4名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對四位業(yè)主的名次進(jìn)行預(yù)測，若預(yù)測完全正確將會獲得禮品，現(xiàn)用a，b，c，d表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測排列，記X＝|a﹣1｜+|b﹣2｜+｜c﹣3|+｜d﹣4｜．（1）求該業(yè)主獲得禮品概率；(2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）;（2)分布列見解析,．【解析】【分析】(1）求得該業(yè)主預(yù)測的結(jié)果的總數(shù),其中預(yù)測完全正確的結(jié)果只有1種，利用古典概型及概率的計算公式,即可求解;（2)以（a，b，c,d)為一個基本事件，用列舉法逐一寫出每種情況，得到隨機(jī)變量的取值,求得相應(yīng)的概率，即可求得隨機(jī)變量的分布列,利用公式求得數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）由題意，該業(yè)主預(yù)測的結(jié)果有種可能，預(yù)測完全正確的結(jié)果只有1種，所以該業(yè)主獲獎的概率為．（2)以（a，b,c，d)為一個基本事件，如下表所示:（a，b，c，d）X（a,b,c，d）X（a，b,c，d）X（1，2，3，4)0（2，3，1，4）4（3，4，1，2）8（1，2，4，3）2（2，3,4,1）6（3，4,2，1)8（1，3，2，4）2（2，4,1，3)6(4,1，2，3）6（1，3，4,2）4(2,4，3，1)6（4,1,3，2）6（1,4，2，3)4（3，1，2，4）4（4,2，1,3）6（1，4，3,2）4（3，1，4，2）6(4，2，3，1）6（2，1,3，4)2（3，2，1,4）4（4，3，1，2）8（2，1,4,3)4（3，2，4，1）6（4，3，2，1)8所以隨機(jī)變量的所有可能的取值為，可得所以隨機(jī)變量X的分布列如表:02468所以數(shù)學(xué)期望E（X）．【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，利用列舉法求得基本事件的個數(shù)，得出隨機(jī)變量的取值情況是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力。20.已知函數(shù)，且，．(1）求的圖象在點處的切線方程；（2）已知函數(shù),若存在,使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1);（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件聯(lián)立方程求得和，進(jìn)而求得和，即可求得的圖象在點處的切線方程；（2）由，可得，變形可得,構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，結(jié)合條件,即可求得答案.【詳解】（1)可得,,①②由①②解得,，則,,故的圖象在點處的切線方程：即：(2)若,則即在上有解，令,,，令,，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，即,在上單調(diào)遞增,故的范圍．【點睛】本題主要考查了求函數(shù)的切線方程和根據(jù)不等式成立求參數(shù)范圍問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線的方法和構(gòu)造函數(shù)求不等式成立的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于難題。21.已知頂點為原點的拋物線,焦點在軸上，直線與拋物線交于、兩點,且線段的中點為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線與拋物線交于異于原點的、兩點，交軸的正半軸于點，且有,直線，且和有且只有一個公共點，請問直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標(biāo);若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）是，直線過定點.【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值,由此可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點,,，由條件可得出，可求出直線的斜率，由此可設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由可得出，分與兩種情況討論，求出直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)?！驹斀狻浚?）由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為的中點為，所以的坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，得,可得,因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2）由（1)知，設(shè)，,因為，則，由，可得，即,所以，直線的斜率,因為直線，設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程可得，因為且和有且只有一個公共點,可得，解得，設(shè)，則,，即，當(dāng)時，，可得直線的方程為，由時,代入整理，即直線恒過定點；當(dāng)，直線的方程為，過點，綜上,可知直線過定點．【點睛】本題考查拋物線方程的求解,同時也考查了拋物線中直線過定點問題的求解，考查計算能力,屬于難題。（二）選考題：共10分請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)