棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________一．選擇題已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，各側(cè)面均為正三角形，且AB=5，則四棱錐S-ABCD的表面積為(????)A.75+253 B.50+253 C.25+253已知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16?cm2，高為4?cm，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊(不計(jì)損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是

(

)A.2?cm B.43?cm C.4?cm已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為A.18 B.16 C.524如圖所示，三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為V，其中AB=2A1A.14V B.23V C.3中國(guó)古代名詞“芻童”是指上、下底面皆為長(zhǎng)方形的草垛，關(guān)于“芻童”體積的計(jì)算，《九章算術(shù)》中有這樣的記載：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”其意思是：“上底長(zhǎng)的2倍加下底長(zhǎng)，同樣下底長(zhǎng)的2倍加上底長(zhǎng)；各用它們對(duì)應(yīng)的寬相乘，再次相加，再用高或深相乘，除以6.以公式表示，則所求體積為[(2上袤+下袤)×上廣+(2下袤+上袤)×下廣]×高6”.已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為

(

)A.392 B.752 C.39 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該正四棱錐的體積為(

)A.43 B.23 C.43正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm，3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，則棱臺(tái)的側(cè)面積為(????)A.4cm2 B.8cm2 C.已知正三棱柱的高為4，體積為43，則底面三角形的邊長(zhǎng)為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V1，E為棱CC1上的點(diǎn)，且A.13 B.16 C.19 將長(zhǎng)度分別是2，3，5，6，9的五根木棒連接起來(lái)(只允許連接，不允許折斷)，組成共頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的三條棱，則能夠得到的長(zhǎng)方體的最大表面積為(????)A.258 B.414 C.416 D.418(多選題)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，二．填空題正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，則以B若底面是菱形的直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是5，體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)直棱柱的表面積是

．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1兩兩成60°角，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線(xiàn)段AB，AC，AA1上的點(diǎn)，且AE=12AB如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AA1三.解答題如圖是一個(gè)以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1=B1(1)求該幾何體的體積；(2)求截面ABC的面積．

如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E，F(xiàn)分別為AA1，

圖是某儲(chǔ)蓄罐的平面展開(kāi)圖，其中∠GCD=∠EDC=∠GFE=90°，且AD=CD=DE=CG，F(xiàn)G=FE．

(1)若將五邊形CDEFG看成底面，說(shuō)明該儲(chǔ)蓄罐的幾何特征；(2)已知該儲(chǔ)蓄罐的容積為1250?cm3，求制作該儲(chǔ)蓄罐所需材料的總面積(精確到整數(shù)位，材料厚度、投幣口的面積忽略不計(jì))．

答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】

本題考查四棱錐表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則SE⊥AB，由已知條件求出S側(cè)=4S△SAB=4×12×5×532=25°3，S底=52=25，由此能求出它的表面積．

【解答】

解：∵四棱錐S-ABCD的各棱長(zhǎng)均為5，

底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，

設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則【解析】【分析】求出銅塊的體積，設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊的棱長(zhǎng)為acm，根據(jù)熔化前后體積相等，易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程即可求出所鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：柱體的體積問(wèn)題，熔化前后體積相等，是解答本題的關(guān)鍵．【解答】解：∵銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，

∴銅質(zhì)的五棱柱的體積V=16×4=64cm3，

設(shè)熔化后鑄成一個(gè)正方體的銅塊的棱長(zhǎng)為acm，

則a3=64，

解得

3.【答案】C【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由三棱柱體積減去三棱錐體積求解．

本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．【解答】解：如圖，

設(shè)A1B∩AB1=E，AC1∩BD1=O，DC1∩CD1=F

4.【答案】C【解析】【分析】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．設(shè)三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上底面面積為S，由已知可得下底面面積為4【解答】解：設(shè)三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上底面面積為S，

∵AB=2A1B1，∴下底面面積為4S，再設(shè)棱臺(tái)的高為h，

則，

VA1-ABC=13×4S×h=

5.【答案】B【解析】【分析】

本題考查“芻童”的體積的最大值的求法，考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用，是中檔題．

設(shè)下底面的長(zhǎng)寬分別為x，y，推導(dǎo)出x+y=9，該“芻童”的體積為：V=16×3[2(6+x)+(2x+3)y]=12(-2x2+17x+39)，然后由二次函數(shù)知識(shí)就能求出結(jié)果．

【解答】

解：設(shè)下底面的長(zhǎng)寬分別為x，y，(x?y>0)

則2(x+y)=18，∴x+y=9，則y=9-x，

所以x?9-x，即9-2x≤0，

又9-x>0，

∴92?x<9．

∴該“芻童”的體積為：

V=16×3[2(6+x)+(2x+3)y]=12(30+2xy+y)【解析】【分析】

本題主要考查了棱錐的體積的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．

解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出棱錐的高，再代入體積公式計(jì)算即可．

【解答】

解：∵正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，

∴底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為22，

∴棱錐的高為：52-22=3，

∴該四棱錐的體積為：13×【解析】【分析】本題考查棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．

利用已知條件求出斜高，然后求解棱臺(tái)的側(cè)面積即可．

【解答】解：正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm，3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，

所以棱臺(tái)的斜高為：22-(3-12)2=3cm．

所以棱臺(tái)的側(cè)面積是：4×【解析】【分析】

此題考查三棱錐的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)三棱錐的體積和高求出底面積，再求邊長(zhǎng)即可．

【解答】

解：設(shè)正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)為a，則底面三角形的面積S=34a2，由正三棱柱的體積V=34a2×4=4【解析】【分析】

本題考查兩個(gè)幾何體的體積的比值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

利用棱柱的體積公式求解V1，棱錐的體積求解V2，由此能得到V2V1的值即可．

，則．故選D．

10.【答案】C【解析】【分析】設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱分別為a，b，c，則長(zhǎng)方體的表面積S=2(ab+bc+ac)，由不等式的基本性質(zhì)可知，當(dāng)a，b，c最接近時(shí)能夠得到的長(zhǎng)方體的表面積最大，由此可得用2、6連接，3、5連接各為一條棱，第三條棱為9組成長(zhǎng)方體，則最大表面積可求．

本題考查長(zhǎng)方體表面積的求法，考查了不等式的基本性質(zhì)，是中檔題．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱分別為a，b，c，

則長(zhǎng)方體的表面積S=2(ab+bc+ac)≤(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)上式“=”成立．

由題意可知，a，b，c不可能相等，

故考慮當(dāng)a，b，c三邊長(zhǎng)最接近時(shí)面積最大，此時(shí)三邊長(zhǎng)為8，8，9，

用2、6連接，3、5連接各為一條棱，第三條棱為9

11.【答案】AD【解析】【分析】

本題考查了棱柱特征：有兩個(gè)面是相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)也相互平行，而這些面都是平行四邊形，同時(shí)考查對(duì)空間的想象力和圖象變形的靈活處理能力，由題意抓住棱柱形的特征進(jìn)行判斷，觀(guān)察即可得到答案，屬于中檔題．

【解答】

解：∵棱柱特征：有兩個(gè)面是相互平行且是全等的多邊形，

其余每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)也相互平行，而這些面都是平行四邊形，

∴通過(guò)棱柱特征，故A正確．

∵水面EFGH所在四邊形的面積，

從圖我們發(fā)現(xiàn)，有條邊長(zhǎng)不變，而另外一條邊長(zhǎng)隨傾斜度變化而變化，

∴EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯(cuò)誤．

∵棱D1C1始終與BC平行，BC與水面始終平行，

D1C1始終與水面所在平面平行，

故C錯(cuò)誤．

∵水的體積是不變的，高始終是AB也不變，底面積也不會(huì)變，即AE?AH是定值，故D正確．

【解析】【分析】

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意將所求四面體的體積轉(zhuǎn)化為正四棱柱的體積減去四個(gè)三棱錐的體積來(lái)計(jì)算可得．

【解答】

解：如圖所示：

四面體的體積等于正四棱柱的體積減去四個(gè)三棱錐的體積，即V=1×1×2-1故答案為23．

13.【答案】【解析】【分析】本題著重考查了線(xiàn)面垂直的定義、菱形的性質(zhì)和直棱柱的側(cè)面積公式等知識(shí)，考查求柱體的表面積，屬于中檔題．

根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出底面菱形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為56和102，再由菱形的性質(zhì)算出底面的邊長(zhǎng)為8【解答】解：設(shè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線(xiàn)A1C=9，BD1=15，

∵A1A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴A1A⊥AC，

Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC=A?1C2-A?1A2=56，

同理可得BD=D

14.【答案】43【解析】【分析】本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

推導(dǎo)出EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)A1到平面EFGH的距離d=AA1【解答】解：

∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，

E，F(xiàn)，G，H分別是四條棱AB，BC，CD，DA上的中點(diǎn)，

∴四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為2的正方形，

點(diǎn)A1到平面EFGH的距離d=AA1=2，

∴四棱錐

15.【答案】1【解析】【分析】本題考查了棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．

分別判斷底面積和高的比值，再根據(jù)體積公式得出體積的比值．【解答】解：∵AE=12AB，AF=13AC，

∴S△AEF=16S△ABC，

設(shè)三棱柱的高為h，由AG=23AA

16.【答案】1【解析】【分析】本題考查了三棱錐體積的計(jì)算，等體積轉(zhuǎn)化法是常常需要優(yōu)先考慮的策略，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合題意求出F到的距離，結(jié)合等體積法即可求解．【解答】解：VD1-EDF=VF-D1ED，

，

因?yàn)锽1C//A1D，，，

所以，

故F到的距離等于1

17.【答案】解：(1)過(guò)C作平行于平面A1B1C1的截面A2B2C

由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1=90°

由題知，該幾何體的體積V=V三棱柱A1B1C1-A2【解析】本題考查幾何體體積求法以及幾何體中的截面問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．

1可通過(guò)將該組合體分割為一個(gè)三棱柱和一個(gè)底面為梯形的四棱錐，然后根據(jù)體積計(jì)算公式容易求解。2算出三角形ABC的各邊后可以發(fā)現(xiàn)三角形ABC為一個(gè)等腰三角形，從而求出面積。

18.【答案】解：∵EB=BF=FD1=D1E=a2+(a2)2=52a，

∴四棱錐A1-EBFD1的底面是菱形．

連接EF，則△EFB≌△EFD1．

∵三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-EFD1等底同高，

∴VA1-EFB=VA1-EFD1．

∴【解析】本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及空間想象能力和邏輯推理能力．

三棱錐A1-E