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文檔簡介
第八章立體幾何初步空間直線、平面的垂直直線與直線垂直教學設計一、教學目標1.理解兩異面直線所成角的定義,會求兩異面直線所成的角;2.掌握證明兩條異面直線垂直的方法.二、教學重難點1.教學重點異面直線所成的角,兩條異面直線垂直的定義.2.教學難點求異面直線所成的角.三、教學過程(一)新課導入思考:如圖,在正方體中,直線與直線AB,直線與直線AB都是異面直線,直線與相對于直線AB的位置相同嗎?如果不同,如何表示這種差異呢?(二)探索新知如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線,,我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角,那么這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直,記作.當兩條直線a,b相互平行時,我們規(guī)定它們所成的角為0QUOTE°°.所以空間兩條直線所成角的取值范圍是.例1如圖,已知正方體.(1)哪些棱所在的直線與直線垂直?(2)求直線與所成的角的大小.(3)求直線與AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,,,,所在直線分別與直線垂直.(2)因為是正方體,所以,因此為直線與所成的角.又因為,所以直線與所成的角等于.(3)如圖,連接.因為是正方體,所以.從而四邊形是平行四邊形,所以.于是為異面直線與AC所成的角.連接,易知是等邊三角形,所以.從而異面直線與AC所成的角等于.例2如圖(1),在正方體中,為底面的中心.求證.證明:如圖(2),連接.是正方體,.四邊形是平行四邊形..直線與所成的角即為直線與BD所成的角.連接,,易證.又為底面的中心,為的中點,..(三)課堂練習1.在正方體中,與垂直的直線是()A. B. C. D.答案:C解析:A中,與所成角為,由已知條件可得,在中為,所以與不垂直.B中,,所以與不垂直.C中,設分別為和的中點,則.又因為也是的中點,,所以,所以與垂直.D中,,所以與所成角為,由已知條件可得在中,為,所以與不垂直.2.在長方體中,,,則異面直線與所成的角為()° ° ° °答案:C解析:如圖,連接,因為,所以為異面直線與所成的角.因為,所以,故選C.
3.如圖所示,正方體中,①與平行;②與垂直;③與垂直.以上三個結(jié)論中,正確的序號是()A.①② B.②③ C.③ D.①②③答案:C解析:①在正方體中,由圖可知與異面,故①不正確;②因為,與不垂直,所以與不垂直,故②不正確;③因為,所以與所成角即為與所成角,由已知條件可知,所以與垂直,即與垂直,故③正確.4.已知四面體的棱都相等,為的重心,則異面直線與所成角的余弦值為__________.答案:解析:設四面體的棱長為,延長交于,取的中點,連接.由題意知為的中點,所以,所以為異面直線與所成的角.由題意知,則在中,.5.如圖,已知正方體.
(1)求與所成角的大?。唬?)若E,F(xiàn)分別為棱AB,AD的中點,求證:.答案:(1)如圖,連接AC,.
由幾何體是正方體,知四邊形為平行四邊形,所以,
從而AC與所成的角為與所成的角.
由,可知.
故與所成的角為60°.
(2)如圖,連接BD.
易知四邊形為平行四邊形,所以,
因為EF為的中位線,所以.
又,所以,所以.小結(jié)作業(yè)小結(jié):求異面直線所成的角;證明兩條異面直線垂直.作業(yè):四、板書設計直線與直線垂直1.異面直線所成的角:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線,,我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'
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