直線與直線垂直教案2022年高一數(shù)學(xué)人教A版必修立體幾何初步

直線與直線垂直(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．教學(xué)重點(diǎn)：異面直線所成的角的求法．教學(xué)難點(diǎn)：找異面直線所成的角．核心素養(yǎng)：1.通過從教材實(shí)例中抽象出異面直線所成的角的概念的過程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過借助異面直線所成的角證明空間中兩直線垂直的過程提升邏輯推理素養(yǎng).1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)，即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．()(2)異面直線a與b所成的角可以是0°.()(3)若∠AOB＝110°，則分別和邊OA，OB平行的兩條異面直線所成的角為110°.()(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()2．做一做如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是______；(2)AC和D1C1所成的角是______；(3)AC和B1D1所成的角是______；(4)AC和A1B所成的角是____.題型一求異面直線所成的角例1如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角的大小；(2)FO與BD所成的角的大小．[跟蹤訓(xùn)練1]在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF＝eq\r(7)，求異面直線AD與BC所成的角的大?。}型二利用異面直線所成的角證明垂直例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面ABCD的中心，求證：OD1⊥A1C1.[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝eq\f(1,2)AA1，點(diǎn)P，M分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：B1M⊥D1P.題型三異面直線所成的角的綜合問題例3(1)正方體ABCD－A1B1C1D1中(下左圖)，M是AB的中點(diǎn)，則DB1與CM所成角的余弦值為____.(2)如圖所示(上右圖)，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長度．[跟蹤訓(xùn)練3](1)已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2AD，則異面直線CB1與BA1所成角的余弦值是()A．－eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(10),10)(2)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角是90°，則AA1的長度是____.1．設(shè)a，b，c是直線，則()A．若a⊥b，c⊥b，則a∥cB．若a⊥b，c⊥b，則a⊥cC．若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等D．若a與b是異面直線，c與b也是異面直線，則a與c是異面直線2．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，則異面直線AC1與BB1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°3.(多選)一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒中，下列結(jié)論正確的是()A．AB⊥EFB．AB與CM所成的角為60°C．EF與MN是異面直線D．MN∥CD4．空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點(diǎn)分別是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝eq\r(5)，PR＝3，那么異面直線AC和BD所成的角的大小為____.5．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求A1C1與B1C所成的角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：A1C1⊥EF.一、選擇題1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條3.如圖，點(diǎn)P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線AD1，BD的中點(diǎn)，則異面直線PQ和BC1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°4.如圖，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的正弦值是()\f(\r(15),3) B．eq\f(\r(15),6)\f(\r(30),3) D．eq\f(\r(30),6)5．(多選)在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角的大小可能為()A．15° B．25°C．65° D．75°二、填空題6．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點(diǎn)，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的是____.7.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝____.8．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝eq\r(3)AB，則異面直線AB1與BD所成角的余弦值為____.三、解答題9．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)，求證：CD1⊥EF.10.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°＜θ＜60° B．0°≤θ＜60°C．0°≤θ≤60° D．0°＜θ≤60°2．如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐A′－DEF，則HG與IJ所成的角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．0°3.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中點(diǎn)，則直線AE與BC所成的角為____，直線A1B與AC1所成角的余弦值為____.4．正四棱錐P－ABCD的所有棱長均相等，E是PC的中點(diǎn)，求異面直線BE與PA所成角的余弦值．5.如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面ADP；(2)求異面直線PA與CB所成的角的大小．所以異面直線PA與CB所成的角為60°.直線與直線垂直(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．教學(xué)重點(diǎn)：異面直線所成的角的求法．教學(xué)難點(diǎn)：找異面直線所成的角．核心素養(yǎng)：1.通過從教材實(shí)例中抽象出異面直線所成的角的概念的過程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過借助異面直線所成的角證明空間中兩直線垂直的過程提升邏輯推理素養(yǎng).1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)異面直線所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)，即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．()(2)異面直線a與b所成的角可以是0°.()(3)若∠AOB＝110°，則分別和邊OA，OB平行的兩條異面直線所成的角為110°.()(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是______；(2)AC和D1C1所成的角是______；(3)AC和B1D1所成的角是______；(4)AC和A1B所成的角是____.答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°題型一求異面直線所成的角例1如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角的大??；(2)FO與BD所成的角的大?。甗解](1)如圖，因?yàn)镃G∥BF.所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)連接FH，由正方體的性質(zhì)可知HD∥FB，且HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.求異面直線所成的角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為所求；若90°<θ<180°，則180°－θ為所求．提醒：求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°.[跟蹤訓(xùn)練1]在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF＝eq\r(7)，求異面直線AD與BC所成的角的大?。馊鐖D所示，設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，則EO∥AD，F(xiàn)O∥BC.所以∠EOF是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角．又EO＝eq\f(1,2)AD＝1，F(xiàn)O＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，EF＝eq\r(7)，在△EOF中，由余弦定理的推論，得cos∠EOF＝eq\f(EO2＋FO2－EF2,2·EO·FO)＝eq\f(1＋3－7,2\r(3))＝－eq\f(\r(3),2)，所以∠EOF＝150°.所以異面直線AD與BC所成的角為30°.題型二利用異面直線所成的角證明垂直例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面ABCD的中心，求證：OD1⊥A1C1.[證明]證法一：如圖，連接AC，BD，則交于點(diǎn)O，連接AD1，CD1.因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，O是底面ABCD的中心，所以A1C1∥AC，AD1＝CD1，AO＝OC.所以A1C1與OD1所成的角即為AC與OD1所成的角．在△AD1C中，因?yàn)锳D1＝CD1，AO＝OC，所以O(shè)D1⊥AC.所以O(shè)D1⊥A1C1.證法二：如圖，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接AD1，因?yàn)锳1C1∥AC，所以∠AOD1是異面直線OD1與A1C1所成的角(或所成角的補(bǔ)角)，因?yàn)镺A＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，OD1＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以cos∠AOD1＝eq\f(AO2＋OD\o\al(2,1)－AD\o\al(2,1),2·AO·OD1)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(3,2)－2,2×\f(\r(2),2)×\f(\r(6),2))＝0，所以∠AOD1＝90°.所以異面直線OD1與A1C1所成的角為90°.所以O(shè)D1⊥A1C1.證明空間的兩條直線垂直的方法(1)定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直．(2)平面幾何圖形性質(zhì)法：利用勾股定理、菱形或正方形的對角線相互垂直、等腰三角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等．[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝eq\f(1,2)AA1，點(diǎn)P，M分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：B1M⊥D1P.證明取DD1的中點(diǎn)N，連接A1N，PN，則直線A1N，PD1所成的角即為直線B1M，D1P所成的角，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝eq\f(1,2)AA1，所以四邊形A1PND1是正方形，所以A1N⊥PD1，所以B1M⊥D1P.題型三異面直線所成的角的綜合問題例3(1)正方體ABCD－A1B1C1D1中(下左圖)，M是AB的中點(diǎn)，則DB1與CM所成角的余弦值為____.(2)如圖所示(上右圖)，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長度．[解析](1)將正方體ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)成一個(gè)長方體，連接CE1，ME1，DB1∥CE1，所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成的角(或其補(bǔ)角)，設(shè)正方體的棱長為a.在△MCE1中，CM＝eq\f(\r(5),2)a，CE1＝eq\r(3)a，ME1＝eq\f(\r(13),2)a，那么cos∠MCE1＝eq\f(\f(5,4)a2＋3a2－\f(13,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\r(3)a)＝eq\f(\r(15),15).(2)取BC的中點(diǎn)M，連接ME，MF，如圖，則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°，當(dāng)∠EMF＝60°時(shí)，EF＝ME＝MF＝eq\f(1,2)BD＝1；當(dāng)∠EMF＝120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)N，則MN⊥EF，∴EF＝2EN＝2EMsin∠EMN＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故EF的長度為1或eq\r(3).[答案](1)eq\f(\r(15),15)(2)見解析(1)關(guān)于補(bǔ)形作異面直線所成的角當(dāng)不方便作異面直線所成的角時(shí)，可以考慮補(bǔ)形，一是補(bǔ)一個(gè)相同形狀的幾何體，以方便作平行直線，二是將不常見的幾何體補(bǔ)成一個(gè)常見的幾何體，如四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體．(2)關(guān)于異面直線的應(yīng)用當(dāng)已知條件中含有異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)先作出該角，才能應(yīng)用此條件，但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成的角，也可能是已知角的補(bǔ)角，應(yīng)分情況討論．[跟蹤訓(xùn)練3](1)已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2AD，則異面直線CB1與BA1所成角的余弦值是()A．－eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(10),10)(2)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角是90°，則AA1的長度是____.答案(1)D(2)eq\r(6)解析(1)如圖所示，設(shè)AA1＝AD＝a，則AB＝2a，連接D1C，D1B1，則D1C∥A1B，則∠D1CB1就是異面直線CB1與BA1所成的角，在△D1B1C中，D1B1＝eq\r(5)a，B1C＝eq\r(2)a，D1C＝eq\r(5)a，由余弦定理的推論，得cos∠D1CB1＝eq\f(\r(2)a2＋\r(5)a2－\r(5)a2,2×\r(2)a×\r(5)a)＝eq\f(\r(10),10)，故選D.(2)連接CD1，AC，由題意得四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1＝BC，A1D1∥BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為異面直線A1B和AD1所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°，因?yàn)樗睦庵鵄BCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，所以AC＝2eq\r(3)sin60°×2＝6，因?yàn)樗睦庵鵄BCD－A1B1C1D1的側(cè)面都是矩形，所以DD1⊥AD，DD1⊥DC，所以ADeq\o\al(2,1)＝DDeq\o\al(2,1)＋AD2，D1C2＝DDeq\o\al(2,1)＋DC2，因?yàn)锳B＝BC，所以AD＝DC，所以AD1＝D1C，所以△AD1C為等腰直角三角形．所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，所以AA1＝eq\r(AD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,1))＝eq\r(3\r(2)2－2\r(3)2)＝eq\r(6).1．設(shè)a，b，c是直線，則()A．若a⊥b，c⊥b，則a∥cB．若a⊥b，c⊥b，則a⊥cC．若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等D．若a與b是異面直線，c與b也是異面直線，則a與c是異面直線答案C解析由異面直線所成的角的定義可知C正確．2．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，則異面直線AC1與BB1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如圖，連接A1C1，因?yàn)锽B1∥AA1，所以∠A1AC1為異面直線AC1與BB1所成的角．因?yàn)閠an∠A1AC1＝eq\f(A1C1,AA1)＝eq\f(\r(12＋12),\r(2))＝1，所以∠A1AC1＝45°，故選B.3.(多選)一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒中，下列結(jié)論正確的是()A．AB⊥EFB．AB與CM所成的角為60°C．EF與MN是異面直線D．MN∥CD答案AC解析把正方體的平面展開圖還原為正方體，如圖所示．因?yàn)锳B∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故A正確，B錯(cuò)誤；EF與MN是異面直線，故C正確；易知MN⊥CD，故D錯(cuò)誤．故選AC.4．空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點(diǎn)分別是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝eq\r(5)，PR＝3，那么異面直線AC和BD所成的角的大小為____.答案90°解析由題意可知，異面直線AC和BD所成的角為∠PQR(或其補(bǔ)角)，在△PQR中，因?yàn)镻Q2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°.所以異面直線AC和BD所成的角的大小為90°.5．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求A1C1與B1C所成的角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：A1C1⊥EF.解(1)如圖，連接AC，AB1.由幾何體ABCD－A1B1C1D1是正方體，知四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而AC與B1C所成的角為A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.故A1C1與B1C所成的角為60°.(2)證明：如圖，連接BD.易知四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，因?yàn)镋F為△ABD的中位線，所以EF∥BD.又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.一、選擇題1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條答案B解析和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1，故選B.3.如圖，點(diǎn)P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線AD1，BD的中點(diǎn)，則異面直線PQ和BC1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析連接AC，D1C.由P，Q分別為AD1，BD的中點(diǎn)，得PQ∥CD1.又BC1∥AD1，∴∠AD1C為異面直線PQ和BC1所成的角．∵△ACD1為等邊三角形，∴∠AD1C＝60°.即異面直線PQ和BC1所成的角為60°.4.如圖，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的正弦值是()\f(\r(15),3) B．eq\f(\r(15),6)\f(\r(30),3) D．eq\f(\r(30),6)答案D解析∵AD∥BC，∴∠D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角(或其補(bǔ)角)，連接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為2.高為4，∴D1B＝2eq\r(6)，BC＝2，D1C＝2eq\r(5)，D1B2＝BC2＋D1C2，∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝eq\f(D1C,D1B)＝eq\f(2\r(5),2\r(6))＝eq\f(\r(30),6)，∴異面直線BD1與AD所成角的正弦值是eq\f(\r(30),6).故選D.5．(多選)在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角的大小可能為()A．15° B．25°C．65° D．75°答案AD解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°，當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°，∴EF與AB所成的角的大小為15°或75°.故選AD.二、填空題6．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點(diǎn)，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的是____.答案AD，B1C1解析長方體所有的棱中和EF垂直且異面的是AD，B1C1，共2條．7.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝____.答案5解析取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即為異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.8．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝eq\r(3)AB，則異面直線AB1與BD所成角的余弦值為____.答案eq\f(\r(2),4)解析連接B1D1，AD1，因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是異面直線AB1與BD所成的角(或所成的角的補(bǔ)角)，設(shè)AA1＝eq\r(3)AB＝eq\r(3)，AB＝1，所以AD1＝AB1＝eq\r(1＋3)＝2，B1D1＝eq\r(2)，記異面直線AB1與BD所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|4＋2－4|,|2×2×\r(2)|)＝eq\f(\r(2),4).三、解答題9．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn)，求證：CD1⊥EF.證明如圖，取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG，∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角．又A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.∴CD1⊥EF.10.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．解取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF.在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°＜θ＜60° B．0°≤θ＜60°C．0°≤θ≤60° D．0°＜θ≤60°答案D解析連接CD1，因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線矛盾，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.2．如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐A′－DEF，則HG與IJ所成的角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．0°答案B解析如圖所示，在三棱錐A′－DEF中，因?yàn)镚，H，I，J分別為A′F，A′D，A′E，DE的中點(diǎn)，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG與IJ所成的角與A′D與DF所成的角相等，顯然A′D與DF所成的角的大小為60°，所以HG與IJ所成的角的大小為60°.故選B.3.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且