空間直線平面的垂直【新教材】人教A版高中數(shù)學必修同步講義（機構專用）

空間直線、平面的垂直知識梳理知識梳理1、直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α垂直，記作l⊥α；直線l叫做平面α的垂線；平面α叫做直線l的垂面；直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．（2）畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．（3）判定定理：文字描述，一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號表示：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.2、面面垂直（1）定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．（2）畫法：記作：α⊥β.（3）面面垂直的判定定理．文字語言：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直．符號表示：3、性質定理直線與平面垂直平面與平面垂直文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線4、異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．（2）異面直線所成的角θ的取值范圍：(0°，90°].（3）當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b．5、直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不垂直，這條直線稱為平面的斜線，斜線與平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過斜足和垂足的直線叫做斜線在平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做直線和平面所成的角.如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．（2）特別的，當直線AP與平面α垂直時，它們所成的角是90°；當直線與平面平行，或在平面內時，它們所成的角是0°．（3）直線和平面所成角θ的范圍[0°，90°]．6、二面角（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱．這兩個半平面叫做二面角的面．如圖，記作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q．（2）二面角的平面角．如圖，二面角α-l-β，若有：①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l.則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．知識典例知識典例題型一線面垂直例1如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.求證：平面【分析】先證明AC⊥BE,再取的中點，連接，經計算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用線面垂直的判定定理證得結論；【詳解】解：證明：∵四邊形為矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如圖，取的中點，連接，∴∵，，∴四邊形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面鞏固練習鞏固練習已知如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、A1C的中點.（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求證：EF⊥平面A1DC．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）連接AD1，通過證明四邊形AEFO是平行四邊形，得到EF∥AO，然后利用線面平行的判定定理，可得結果.（2）利用線面垂直的判定定理可得AD1⊥平面A1DC，然后根據(jù)EF∥AD1，最后可得結果.【詳解】證明：（1）如圖，連接AD1，設AD1∩A1D＝O，連接OF，則由正方體ABCD-A1B1C1D1可得：點O是A1D的中點，因為點F是A1C的中點，所以又E是AB的中點，所以（2）由正方體ABCD-A1B1C1D1可得：DC⊥平面ADD1A1，而AD1平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩DC＝D，DC平面A1DC，A1D平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.再由（1）可知：EF∥AD1，所以EF⊥平面A1DC.題型二面面垂直例2如圖，四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點，平面平面，，，垂足為H.（1）求證：；（2）求證：平面平面ABC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】本題考查線面平行與線面垂直的判定，難度不大.（1）利用線面平行的判定定理證得平面BCD，進而利用線面平行的性質定理證得；（2）利用線面垂直的判定定理證得平面ADB，進而證得平面CDH，然后由面面垂直判定定理證得結論.【詳解】證明：（1）因為點E、F分別為線段AC、AD的中點，為的中位線，則，平面BCD，平面BCD，平面BCD，又平面EFNM，平面平面，；（2），，，，平面ADB，平面ADB，平面ADB，又，，平面DCH，平面DCH，平面CDH，平面ABC，平面平面ABC.鞏固練習鞏固練習如圖所示，在五面體中，四邊形是平行四邊形.（1）求證：平面；（2）若，，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）推導出，從而得出面，由線面平行的性質定理，得，由此能證明平面；（2）推導出，，從而得出平面，由此能證明平面平面．【詳解】（1）因為四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）因為四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.題型三性質應用及異面直線夾角例3如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊，沿其中位線DE將平面ADE折起，使平面平面BCDE，得到四棱錐，設CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q．（1）求證：M，N，P，Q四點共面．（2）求證：平面平面ACD．（3）求異面直線BE與MQ所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）證明，說明四點共面；（2）要證明面面垂直，需證明線面垂直，即證明平面；（3）延長ED至R，使，延長ED至R，使，將異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角，即為異面直線BE與QM所成的角（或補角）．【詳解】（1）由題意易知：，，所以，所以M，N，P，Q四點共面．（2）因為平面平面BCDE，平面平面，而，所以平面BCDE，即，又，所以平面ACD，而平面ABC，所以平面平面ACD．（3）由條件知，，，延長ED至R，使，延長ED至R，使，則，，故ERCB為平行四邊形，所以，又．所以為異面直線BE與QM所成的角（或補角）．因為，且三線兩兩互相垂直，由勾股定理得．因為三角形ACR為正三角形，所以．所以異面直線BE與MQ所成的角為．鞏固練習鞏固練習如圖，正方體的棱長為，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結論中正確的是______________.①與所成角為；②平面；③存在點，使得平面平面；④三棱錐的體積為定值.【答案】②④【分析】利用線線平行，找出異面直線的夾角的平面角，求出即可，可判斷①的正誤；根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②的正誤；利用面面平行的性質定理可判斷③的正誤；利用等體積法即可求出棱錐的體積，可判斷④的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于①，、分別為、的中點，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成的角為，在中，，所以，為等邊三角形，則，即①錯誤；對于②，，，，，，，又因為平面，且平面，所以，因為，所以平面，即②正確；對于③，若平面平面，因為平面平面，所以平面平面，但平面與平面有公共點，所以③錯誤；對于④，（定值），即④正確.故答案為：②④.題型四直線與平面的夾角例4如圖所示，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一點，PF＝3.（1）證明：AC⊥BF；（2）求直線BC與平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線線垂直，需證明線面垂直，利用題中的垂直關系，易證明平面；（2）由題中所給的長度，證明平面，即∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求線面角的正切值.【詳解】(1)證明：因為△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因為BF?平面ABEF，所以AC⊥BF.(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，則BF＝4，又PF＝3，所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，則∠BCP為直線BC與平面PAC所成的角.如圖，過點P作PM∥AB交BE于點M，過點P作PN⊥AB于點N，連接NC，因為BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，則，所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，所以CN＝＝，PC＝＝.在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.故直線BC與平面PAC所成角的正切值為.鞏固練習鞏固練習如圖，已知四棱錐中，平面，，，，，是的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）要證明線面平行，需轉化為證明線線平行，取中點，連，可證明四邊形為平行四邊形，從而證明；（Ⅱ）法一，連結，證明平面，即為所求；法二：是中點，連轉化為求與平面的線面角.【詳解】（Ⅰ）取中點，連.易知，且，，且,所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為，，所以（Ⅱ）(一)連.由，，所以，.在直角梯形上，..又，所以又.，所以為直線與平面所成角…(二)設是中點，連因為，則，作，所以為，也即直線與平面所成角題型五二面角例5如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點.（1）求證:AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.【答案】（1）證明見解析（2）30°【分析】（1）連接交于點，連接，易得，，所以平面，從而得到；（2）根據(jù)得到，從而得到，，為二面角的平面角，再求出，，得到，從而得到二面角.【詳解】（1）連接交于點，連接，由題意，底面為正方形，側棱，所以，在正方形中，，又因為，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）連接，因為平面，所以，，又因為在和中，，，，所以.所以又因為的中點，所以，.所以為二面角的平面角，又因為，在中由等面積法，得，，在中，，，所以.故二面角的大小為.鞏固練習鞏固練習如圖，把等腰直角三角形沿斜邊所在直線旋轉至的位置，使.(1)求證:平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，可得得，根據(jù)三角形中的幾何關系，得到，從而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中點，連接，，再在直角三角形中，得到，從而得到二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，是等腰直角三角形，，且.連接，同理得，且，，.，，為等腰直角三角形，，又，平面，平面.又平面，∴平面平面.（2）取的中點，連接.易知為等邊三角形，.又為等腰直角三角形，.為二面角的平面角.由（1）知，，且平面，，所以平面，平面，.為直角三角形.設，則，所以，則，，即二面角的余弦值為.鞏固提升鞏固提升1、如圖所示，垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓上異于的任一點，則下列關系中不正確的是（）A． B．平面 C． D．【答案】C【分析】由平面，得，再由，得到平面，進而得到，即可判斷出結果.【詳解】因為垂直于以為直徑的圓所在的平面，即平面，得，A正確；又為圓上異于的任一點，所以，平面，，B，D均正確.故選C.2、如圖所示，在四面體中，若，，E是的中點，則下列結論中正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【分析】根據(jù)條件易知，，從而得到平面，所以平面平面，平面平面【詳解】因為，且是的中點，所以因為，且是的中點，所以又，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.因為平面，所以平面平面.故選：C.3、在四面體中，，，二面角為直二面角，是的中點，則的大小為（）A．45° B．90° C．60° D．30°【答案】B【分析】設，取的中點，連接，可得，，結合條件得到，利用勾股定理得到，從而得到為正三角形，根據(jù)是的中點，得到【詳解】如圖，設，取的中點，連接，所以得到，，所以為二面角的平面角，因為二面角為直二面角，所以，在等腰直角三角形和中，，在中，易得，所以為正三角形.又因為是的中點，所以，即.故選：B.4、如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結論中不正確的是（）A．B．平面C．平面平面D．與所成的角等于與所成的角【答案】D【分析】結合直線與平面垂直的判定和性質，結合直線與平面平行的判定，即可．【詳解】A選項，可知可知，故，正確；B選項，AB平行CD，故正確；C選項，，故平面平面，正確；D選項，AB與SC所成的角為，而DC與SA所成的角為，故錯誤，故選D．5、如圖，在四棱錐中，底面四邊形滿足，，，且為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，且，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）取的中點，連結，，推導出四邊形是平行四邊形，得到，由線面平行的判定定理，即可證明平面．（2）由面面垂直的性質定理可證平面，，，得到平面，由面面垂直的判定定理，可證明平面平面．【詳解】證明：（1）取的中點，連接，.因為是的中點，所以為的中位線，所以.又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.∵平面，∴.又因為，為的中點，所以，∵平面，平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.6、如圖，在三棱錐中，，，，為線段的中點.求證：平面.【答案】見解析【分析】推導出平面，可得出，再利用等腰三角形三線合一的思想得出，利用線面垂直的判定定理可得出平面.【詳解】，，，平面，平面，.，為的中點，.，因此，平面.7、如圖在四棱錐中，底面是矩形，點、分別是棱和的中點.（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.【答案】(1)見證明；(2)見證明【分析】（1）可證，從而得到要求證的線面平行.（2）可證，再由及是棱的中點可得，從而得到平面.【詳解】（1）證明：因為點、分別是棱和的中點，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）證明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因為且是的中點，所以，②由①②及面，面，，所以平面.8、如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面