課01(0.10.3 信號分析與dft)

數(shù)字圖象處理技術(shù)1

主要內(nèi)容

預(yù)備知識：常用信號及特性，傅里葉變換，卷積與相關(guān)；線性系統(tǒng)分析視覺特性，圖像評價

圖像數(shù)字化原理：圖像的表示；采樣與量化

數(shù)字圖像的線性處理：二維離散卷積與相關(guān)；離散傅氏變換； 離散余弦變換；其它可分離變換*

圖像增強(qiáng)：灰度修改技術(shù)；圖像平滑與銳化；偽彩色與假彩色圖像增強(qiáng)

圖像壓縮編碼：統(tǒng)計編碼；預(yù)測編碼；變換編碼；國際標(biāo)準(zhǔn)

圖像恢復(fù)與重建*：圖像退化模型；無約束恢復(fù)；有約束恢復(fù)；幾何失真校正；投影重建2

主要參考書目

劉榴娣等.實用數(shù)學(xué)圖像處理.北京：北京理工大學(xué)出版社,1998

章毓晉.圖像處理與分析.北京：清華大學(xué)出版社，1999

K.R.Castleman

.

DigitalImageProcessing

.PrenticeHall,Inc.,1996

(影印版.清華大學(xué)出版社，1998；中譯本.電子工業(yè)出版社，1998）

容觀澳.計算機(jī)圖像處理.北京：清華大學(xué)出版社，2000

周新倫.數(shù)字圖像處理.北京：國防工業(yè)出版社,1996

3

目 錄

預(yù)備知識線性系統(tǒng)基本理論第一章圖像數(shù)字化原理第二章數(shù)字圖像的線性處理第三章圖像增強(qiáng)第四章圖像壓縮編碼第五章圖像恢復(fù)與重建4預(yù)備知識：信號與線性系統(tǒng)基礎(chǔ)0.1常用信號及特性0.2傅立葉變換0.3快速傅立葉變換(FFT)0.4卷積與相關(guān)0.5

線性系統(tǒng)分析

上級目錄50.1常用信號及特性上級目錄

0.1.1單位階躍函數(shù)0.1.2單位沖激函數(shù)0.1.3二維沖激函數(shù)60.1.1單位階躍函數(shù)

定義：

單位階躍函數(shù)，是處不連續(xù)的符號函數(shù)，定義如下：波形例如

作用：可用來表示一個信號的定義域。

用于表示(或定義)單邊指數(shù)函數(shù)、門函數(shù)等信號。上級目錄70.1.2單位沖激函數(shù)（定義）

定義：

又稱狄拉克函數(shù)或函數(shù)，用表示。它是一種通過積分性質(zhì)定義的符號函數(shù)。定義如下：

函數(shù)在處面積(或強(qiáng)度)為1；時處處為0。波形

函數(shù)可由矩形窄脈沖的極限描述例子之一上頁80.1.2單位沖激函數(shù)（性質(zhì)）[取樣概念]

性質(zhì)：(1)

篩選性質(zhì)：上頁取樣是基于函數(shù)的一個重要概念。

(2)卷積性質(zhì)：下列積分定義為函數(shù)與的卷積：90.1.2單位沖激函數(shù)（性質(zhì)）卷積服從交換律：(3)偶函數(shù)：簡單證明：上頁函數(shù)與的卷積是自身。進(jìn)一步有：100.1.2二維沖激函數(shù)（定義）上頁

定義：

一般地，定義在處的二維沖激函數(shù)為：當(dāng)時，110.1.2二維沖激函數(shù)（性質(zhì)）篩選卷積偶對稱推廣記作

性質(zhì)：上頁120.1.2二維沖激陣列

二維沖激陣列在圖像數(shù)字化中，該陣列又稱“沖激采樣陣列”。S(x,y)是(x,y)平面內(nèi)無窮個相距(

、

)的沖激函數(shù)組成的陣列。其中，、

為空間取樣間隔。

上級目錄130.2.1連續(xù)信號的傅立葉變換0.2.2周期信號的傅立葉變換0.2.3一維離散傅立葉變換（DFT）0.2傅立葉變換上級目錄140.2.1 連續(xù)信號的傅立葉變換（1）上頁（1）非周期信號的一維傅里葉變換[定義]

反變換

[傅氏變換存在的條件]

正變換

傅氏變換是一種積分變換，定義如下：充要條件——絕對可積，即FTFT-1150.2.1 連續(xù)信號的傅立葉變換（2）[物理意義]一般為復(fù)函數(shù)，可表示為其中，模相位若為實函數(shù)，則是的偶函數(shù)；是的奇函數(shù)，這時反變換可寫成：

解釋160.2.1 連續(xù)信號的傅立葉變換（3）

反變換

[定義]二維傅氏變換定義如下：變換對

其中，——空間坐標(biāo)變量；——沿軸方向的空間頻率分量。

正變換

上頁（2）二維連續(xù)傅里葉變換[對u,v的理解]FTFT-1170.2.2周期信號的傅立葉變換設(shè)一維周期信號：周期—；角頻率—其傅氏級數(shù)（指數(shù)形式）為其中，傅氏系數(shù)一般為復(fù)數(shù)，可進(jìn)一步表示為

為的振幅頻譜（離散譜）；為的相位頻譜。上頁180.2.2周期信號的傅立葉變換現(xiàn)對級數(shù)展開式兩邊取傅氏變換：可以證明最后得到:[例題]求周期沖激序列的傅氏變換。例題FTFTFTFT190.2.3一維離散傅氏變換（DFT）正變換反變換變換對[定義]設(shè)

為N點一維離散函數(shù)，離散實變量

定義一維離散傅里葉變換：上頁DFTIDFT200.2.3一維離散傅氏變換（DFT）

一般為復(fù)函數(shù)，可以寫成式中：—的傅里葉頻譜函數(shù)；或上頁

—

的傅里葉相位函數(shù)。210.3.1FFT的必要性0.3.2FFT的基本思想0.3.3基2按時間抽取算法0.3.4算法特點0.3.5其他快速算法0.3快速傅立葉變換（FFT）上級目錄22

FFT是DFT的高效、快速算法。0.3.1FFT的必要性返回DFT運(yùn)算量：設(shè)

也為復(fù)函數(shù)，并將寫成如下形式：可以看出：計算1個值：實乘次，實加次；計算個值：實乘次，實加次。設(shè)(n為正整數(shù))；(權(quán)函數(shù)—復(fù)數(shù))，則DFT可表示為：230.3.2FFT的基本思想上頁

將長度為N的離散序列逐次分解為若干短序列,計算各短序列的DFT,再進(jìn)一步組合為N點DFT。

N點序列…2點變換N/2

點變換…N/2

點序列2點序列

N點DFT分解組合240.3.2FFT的基本思想上頁

在實現(xiàn)FFT過程中,權(quán)函數(shù)WN

起著重作用。WN

的主要特性：

權(quán)函數(shù)WN的周期性是導(dǎo)出FFT算法的一個關(guān)鍵因素；N的高復(fù)合性是實現(xiàn)FFT算法的一個重要條件。

周期性

對稱性250.3.3基-2時間抽取算法上頁

對N點序列f(x)進(jìn)行奇、偶分解并求N/2點DFT

分解與變換

由奇、偶子序列計算F(u)，其中u=0,1,,(N/2)-1另一半N/2點DFT

計算F[u+(N/2)]

由兩個N/2點DFT組合為一個N點DFT

組合

將F(u)和F[u+(N/2)]組合為N點DFT

舉例

設(shè)N=8，由兩個4點DFT組合成8點DFT

繼續(xù)奇、偶分解，直至計算2點DFT為止

再分解

對N/2點、N/4點序列繼續(xù)奇、偶分解并求DFT

2點DFT

一個2點DFT直接為兩個輸入值的蝶形運(yùn)算

綜合

例：N=8點FFT流程圖(蝶形組合圖)260.3.4算法特點一次蝶形運(yùn)算1次2次N點DFT總運(yùn)算量①

運(yùn)算量：復(fù)乘復(fù)加直接運(yùn)算②同址計算：

輸入數(shù)據(jù)與每級運(yùn)算結(jié)果可共用存儲單元（新數(shù)“沖”老數(shù)）③整序：輸入序列以“亂序”方式存入存儲單元（因奇、偶分解所致），輸出按自然順序排列，可直接按序輸出。

必須對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行整序處理—即由自然序變成“奇-偶序”。上頁270.3.5其他快速算法返回

基-2頻率抽取法輸入信號按序存儲；輸出變換序列“亂序”排列，需進(jìn)行整序特點：

任意基數(shù)的FFT算法將輸入序列分為前后兩部分，然后對進(jìn)行奇、偶分解，其它方法同時間抽取法。

28單位階躍函數(shù)的作用

門函數(shù)——寬度為、幅度為1的矩形脈沖

單位階躍函數(shù)表示(或定義)單邊指數(shù)函數(shù)、門函數(shù)：單邊指數(shù)函數(shù)返回29:矩形窄脈沖的極限——矩形窄脈沖的極限（例子之一）返回30取樣概念單點取樣：周期取樣：利用周期沖激序列實現(xiàn)周期取樣：……返回定義周期性沖激序列（Ts取樣周期）31

的偶對稱性由于返回而由的取樣性質(zhì)：比較以上二式可得：32傅里葉變換的物理意義返回?zé)o限求和正弦波分量“幅度”（密度函數(shù)）頻率分量相位分量結(jié)論：一個非周期信號，可以分解為無窮多個不同頻率的正(余)弦分量之和。其中：稱為的頻譜函數(shù)；稱為的相位函數(shù)。33變量u、v的意義下頁

其中，出現(xiàn)最大值的位置是：過

坐標(biāo)原點的一條直線與(x,y)軸截距為的一條直線……由于34變量u、v的意義下頁對對根據(jù)式中，OA——空間周期；

——空間頻率。設(shè)兩條平行線之間的距離為OA，當(dāng)取不同值時，可得到(x,y)坐標(biāo)中無限條平行直線。35變量u、v的意義返回由此得到，—x軸空間周期分量；u—x軸空間頻率分量；

—y軸空間周期分量；v—y軸空間頻率分量。

應(yīng)為的空間頻譜。這說明，是由無窮個空間頻率的二維正弦分量組合而成，即為各正弦分量的幅度。36例題（周期信號的傅氏變換）下頁[例題]

求周期沖激序列的傅氏變換。解：已知其中傅里葉系數(shù)由周期信號傅氏變換式可得式中，DFT37例題（周期信號的傅氏變換）返回令最后得到

可見,的傅氏變換仍是周期序列,其頻域周期和強(qiáng)度均為?！璅T38WN的周期性返回特別有(周期為N/2

)N=23=8(周期為N)周期性例如：N=8下頁39WN的對稱性返回N=23=8例如：N=8特別有其中：對稱性(復(fù)對稱)40序列的奇、偶分解與變換下頁

變換：計算F(u)

其中：

[注：為簡化計算，式中暫不計入系數(shù)(1/N)

]

分解：對N點序列，令

奇子序列偶子序列41奇、偶子序列的DFT返回F(u)是奇、偶兩個子序列變換G(u)與H(u)的加權(quán)和。

結(jié)果：上式只計算了0≤u≤(N/2)-1（即N/2個）F(u)值，還必須計算另一半（即N/2≤u≤N-1）的F(u)，然后再進(jìn)行組合。

注意：下頁42計算另一半N/2點DFT返回由于

計算：下頁43兩個N/2點DFT組合一個N點DFT返回兩次復(fù)乘一次復(fù)乘

組合：

計算流程：蝶形運(yùn)算下頁44N=

8，兩個4點DFT的組合返回

點(4點)DFT

點(4點)DFT[例]

設(shè)N=

8，由兩個4點DFT組合成8點DFT流程圖下頁45

N/2點分解為兩個N/4點返回設(shè)N=8。對G(u)的分解計算過程如下：每個N/2點DFT分解為兩個N/4點DFT

N/4點(2點)DFT

N/4點(2點)DFT下頁46

2點DFT直接表示為一個基本的蝶形運(yùn)算2點DFT—基本的蝶形運(yùn)算返回例如N=8，其中第一個N/4點的變換即為2點DFT變換值直接是兩個輸入的代數(shù)和基本的蝶形運(yùn)算下頁47N=

8點FFT流程圖