第9章 2-非線性方程組的迭代解法

中至少有一個(gè)是x的非線性函數(shù)，若其全為線性的則為線性方程組。9.3非線性方程組的迭代解法

含有n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程的非線性方程組為

(1)其中為n維列向量，非線性方程組包括：

高次方程組,即代數(shù)方程組超越方程組產(chǎn)生背景:許多科學(xué)理論與工程技術(shù)都可化為非線性方程組求解的特點(diǎn)：無求解公式，無直接解法，

難求得精確解。求解的方法：間接法即迭代法。迭代法求解的要求：

收斂計(jì)算效率(快慢)

數(shù)值穩(wěn)定性(考慮計(jì)算機(jī)的舍入誤差)初始值好迭代公式合適(好的)一.一般迭代法1.建立

xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p12.迭代法的收斂性

(局部收斂性)（收斂定理）證:

1o由微分中值定理

2o~4o注：L越小，收斂越快。定理3.1指出:只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿足迭代法的收斂階(收斂速度)

定義3.1.:設(shè)若有實(shí)數(shù)c>0,p≥1,使

則稱是p階收斂,相應(yīng)的迭代法稱為p階方法.特別,p=1,稱線性收斂;1<p<2,稱超線性收斂

p=2,稱平方收斂。(2)3.非線性方程組的一般迭代法(3)并構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法

(4)把方程組(1)改寫成下面便于迭代的等價(jià)形式：對(duì)于給定的初始點(diǎn),若由此生成的序列收斂，(1)的解。是方程組的不動(dòng)點(diǎn)，是迭。即滿足連續(xù)函數(shù).則的是自變量是連續(xù)的,即.且代函數(shù)例1設(shè)有非線性方程組把它寫成等價(jià)形式

并由此構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法

取初始點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果列于表1，可見迭代收斂到方程的解表1k012…

18

1900.80.928…0.9999999720.99999998900.80.931…0.9999999720.999999989函數(shù)也稱映射，若函數(shù)的定義域?yàn)?，則可用映射符號(hào)簡便地表示為。為了討論不動(dòng)點(diǎn)迭代法（4）的收斂性，先定義向量值函數(shù)的映內(nèi)性和壓縮性。二.牛頓迭代法1.一元方程牛頓法

將在點(diǎn)作Taylor展開:

——Taylor展開線性化（重要思想）近似于解出,

記為,則Newton迭代法的幾何意義

與軸的交點(diǎn)，作為下一個(gè)迭代點(diǎn),即用在點(diǎn)處的切線Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)復(fù)雜！(6)這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低Newton法的改進(jìn)無論哪種迭代法：Newton迭代法簡化Newton法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收斂均與初值的位置有關(guān).例3

x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性2.非線性方程組的Newton法對(duì)于非線性方程組，也可以構(gòu)造類似于一元方程的Newton迭代法。設(shè)是方程組（1）的解，是方程組的一個(gè)近似解。用點(diǎn)處的一階Taylor展開式近似每一個(gè)分量函數(shù)的值

，有其中為的Jacobi矩陣在的值，而寫成向量形式有若矩陣非奇異，則可以用使（7）右端為零的向量作為一個(gè)新的的近似值，記為，于是得到Newton迭代法（8)其中是給定的初值向量。如果寫成一般不動(dòng)點(diǎn)迭代的形式，則Newton迭代函數(shù)為(9)在Newton法實(shí)際計(jì)算過程中，第k步是先解線性方程組解出后，再令，其中包括了計(jì)算向量和矩陣

(10)例4用Newton法解例1的方程組解

對(duì)該方程組有取初始向量，解方程組，即求出后，。同理計(jì)算結(jié)果列于表2?？梢?，Newton法的收斂速度比例1中的迭代法（4）要快的多。表2k01