初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：怎樣求最值(附練習(xí)題及答案)

2aaca2aaca222C．初中數(shù)學(xué)賽：怎樣求值在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問(wèn)題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類(lèi)的問(wèn)題，這就是我們要討論的最值問(wèn)題，求最值問(wèn)題的方法歸納起來(lái)有如下幾點(diǎn)：1．運(yùn)用配方法求最值；．構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；．建立函數(shù)模型求最值；．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：數(shù)學(xué)中最大值小值問(wèn)題，運(yùn)用到社會(huì)實(shí)踐、生活實(shí)際中所體現(xiàn)出來(lái)的就是最優(yōu)化思想，所謂最優(yōu)，就是我們所期望的目標(biāo)量能達(dá)到最大或最?。淮魏瘮?shù)反例函數(shù)并無(wú)最值當(dāng)自變量取值范圍有條件限制的最值在圖象的端點(diǎn)處取得；定義在全體實(shí)數(shù)上的二次函數(shù)最值在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)處-得．即：對(duì)于y（）(1)若a>0，則當(dāng)x

b2a

時(shí)，y；最小值(2)若a<0，則當(dāng)x

b2a

時(shí)，y．最大值【題解【例1】設(shè)a、b為數(shù)，那aab的小值是．思路點(diǎn)撥

將原式整理成關(guān)于a

的二次多項(xiàng)式從配方法入手；亦可引入?yún)?shù)設(shè)

，將等式整理成關(guān)于a的次方程

2

b

2

b，用判別式求最小值．【例2】若

yz2

，則x可得的最小值()A．3B．

599142

D．思點(diǎn)設(shè)x

y2

則

2

2

2

可用只含k

的代數(shù)式表示通過(guò)配方求最小值．1221221【例3】設(shè)

、12

是方程x

mxm

0的個(gè)實(shí)根當(dāng)為值時(shí)，x12

2有最小值，并求這個(gè)最小值．思點(diǎn)由韋達(dá)定理知x1

是關(guān)于m

的二次函數(shù)否在拋物線(xiàn)的點(diǎn)處取得最小值，就要看自變量

的取值范圍，從判別式入手．注：定義在某一區(qū)間的條件限制的二次函數(shù)最值問(wèn)題，有下兩種情形：當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值；當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi)，二次函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)兩端點(diǎn)處取得．【例】甲、兩個(gè)蔬菜基地，分別向A、C三個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)提供同品種蔬菜，按簽訂的合同規(guī)定向A提45噸向B提75噸向C提40噸甲地可安排60噸乙基地可安排100噸．甲、乙與ABC的離千米數(shù)如表，設(shè)運(yùn)費(fèi)為元／千·)．問(wèn)如何安排使總運(yùn)費(fèi)最低?求出最小的總費(fèi)值．思點(diǎn)設(shè)乙基地向A提供x

噸，向B提y噸這樣總運(yùn)費(fèi)就可用含x

，y代數(shù)式表示；因?yàn)?1000，x，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在約束條件下求多元函數(shù)的最值．AB

C104

58

615【例5】某位花50萬(wàn)買(mǎi)回一臺(tái)高科技設(shè)備，根據(jù)對(duì)這種型號(hào)設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示，該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護(hù)和維修的費(fèi)用均攤到每一天，則有結(jié)論：修費(fèi)為(x500]元．42

天應(yīng)付的養(yǎng)護(hù)與維ax222xxax222xx(1)如果將該設(shè)備從開(kāi)始投入使用到報(bào)廢共付的養(yǎng)護(hù)與維修費(fèi)及購(gòu)買(mǎi)該設(shè)備費(fèi)用的和均攤到每一天做每天的平均損耗將每天的平均損耗

(元)表示為使用天數(shù)

(天的函數(shù)；(2)按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當(dāng)此設(shè)備的平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，就應(yīng)當(dāng)報(bào)廢，問(wèn)該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)?思點(diǎn)在解本題時(shí)可能要用到以下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：對(duì)于確定的正常數(shù)、b及在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值的變量x，一定有

aa2xxb

，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有小值xbx2

．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)；(2)aabaaxa．x，x

，b

則ab；(4)若a

，

，以上各式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

(或

axxb

)時(shí)成立．1．當(dāng)

專(zhuān)訓(xùn)變化時(shí)，分式的最小為．2．如圖，用1米長(zhǎng)木方，做一個(gè)有一條橫檔的矩形窗子，為使透進(jìn)的光線(xiàn)最多，選擇窗子的長(zhǎng)、寬各為、

米．3．已知實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)a0，，最大值為．4．已知x

、、z

為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足3y，xy2，2y，則s

的最大值與最小值的和為()3A．

B．

58

C．D．5．已知四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)，若S=4，S，四邊形ABCD的面積S的小值為)A．2l．25．26．366．正實(shí)數(shù)x

、y

滿(mǎn)足，么

1x

14

的最小值為)A．

B．

58

C．．

54

E．7．啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每產(chǎn)品成本3元，售價(jià)是4元年銷(xiāo)售量為10萬(wàn)．為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x(萬(wàn)元時(shí)產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量將是原銷(xiāo)售量的y倍且售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)：

27，如果把利潤(rùn)看作是銷(xiāo)1010(1)試寫(xiě)出年利潤(rùn)S萬(wàn))與廣告費(fèi)

(萬(wàn)元的數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算廣費(fèi)是多少萬(wàn)元時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)?(2)把1)中的最大利潤(rùn)留出3萬(wàn)元廣告，其余的資金投資新項(xiàng)目，現(xiàn)有個(gè)目可供選擇，各項(xiàng)目每股投資金額和預(yù)計(jì)年收益如下表：項(xiàng)目

AB

C

D

E

F每股(萬(wàn)5

2

6

4

6

8元收益(萬(wàn)0．55

0．40．60．509l元如果每個(gè)項(xiàng)目只能投一股，且要求所有投資項(xiàng)目的，收益總額不得低于1．6萬(wàn)，問(wèn)有幾種符合要求的投資方?寫(xiě)出每種投資方式所選的項(xiàng)目．8．某市位下崗職工在近郊承土地辦農(nóng)場(chǎng)，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測(cè)如下表：作物品種蔬菜煙葉小麥

每畝地所需職工數(shù)134

每畝地預(yù)計(jì)產(chǎn)值1100元750元600元222222請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物20位職都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值最多．9．如圖，有長(zhǎng)為24m的籬，面利用墻墻的最大可用長(zhǎng)度a道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬為xm面積為sm．(1)求s與x的數(shù)關(guān)系式；

為l0m)，圍成中間隔有一(2)如果要圍成面積為45m

的花圃，AB的是多少?(3)能?chē)擅娣e比大的花圃如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．10

1

是關(guān)于

的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(xx11

的最大值為．11．拋物線(xiàn)為

kxx軸交點(diǎn)為、，頂點(diǎn)為，ABC面積最小值12．知實(shí)數(shù)a

、

滿(mǎn)足a，tab，t的最大值為，小值為．13．圖B船A船西偏北45處，兩船相距10

km，若A船西航行B船時(shí)南航行，且B船速度為A船度倍，么AB兩船最近距離為．的值應(yīng)該確定為．14．售某種商品，如果單價(jià)上m％，則售出的數(shù)量就將減少金額最大，那么m

150

，為了使該商品的銷(xiāo)售15．租賃公司擁有汽車(chē)輛，每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí)可全部租出；當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加元時(shí)未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛．租出的車(chē)每輛每月要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)能租出

輛車(chē)(直接填寫(xiě)答案)；(2)設(shè)每輛車(chē)的月租金為x(x≥元，用含x的數(shù)式填空：5p，qp，qx3未租出的車(chē)數(shù)所有未租出車(chē)輛每月的維費(fèi)

租出的車(chē)輛租出的車(chē)每輛的月收益(3)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少時(shí)，租賃公司的月收益最?最大月收益是多少?16．、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)售兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是(萬(wàn)元和(萬(wàn)元，它們與投入資金(萬(wàn)元)的關(guān)系有驗(yàn)公式p

13x55

．今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多?能獲得多大的利?鏈接17．圖，