第一章 解直角三角形復(fù)習(xí) 1-

解直角三角形

（復(fù)習(xí)課）

三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）；銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90o邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）tanA=absinA=ac1、12在△ABC中，S△ABC=absinα2、cosA＝bcＡＣＢabc解直角三角形的依據(jù)是a，b的夾角tanαcosαsinα60°45°30°角度三角函數(shù)銳角三角函數(shù)(復(fù)習(xí))三、特殊角三角函數(shù)值1角度逐漸增大正弦值如何變化?正弦值也增大余弦值如何變化?余弦值逐漸減小正切值如何變化?正切值也隨之增大思考銳角A的正弦值、余弦值有無(wú)變化范圍？0<sinA<10<cosA<1銳角三角函數(shù)(復(fù)習(xí))☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值求銳角A的值2.已知值，求角1.已知tanA=，求銳角A.∠A=60°銳角三角函數(shù)(復(fù)習(xí))☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值2.已知值，求角3.確定值的范圍當(dāng)∠A為銳角，且cosA=那么（）4.確定角的范圍(A)0°＜∠A＜30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A＜90°

確定角的范圍DsinA=cos（90°-A）=cosBcosA=sin（90°-A）=sinBcABCba同角的正

弦余弦與正切和余切之間的關(guān)系互余兩個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系同角的正弦余弦平方和等于1同角的正切余切互為倒數(shù)練習(xí)2二、幾個(gè)重要關(guān)系式銳角三角函數(shù)(復(fù)習(xí))tanA·tanB=1sin2A+cos2A=1⑴已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A為銳角，且tanA=0.6，tanB=().⑵sin2A+tanAtanB-2+cos2A=(

)0⑶tan44°tan46°=().1(4)tan29°tan60°tan61°=().(5)sin53°cos37°+cos53°sin37°=（）1tanA=同角公式余角公式銳角三角函數(shù)(復(fù)習(xí))☆

應(yīng)用練習(xí)1.已知角，求值確定值的范圍2.已知值，求角1.在Rt△ABC中∠C=90°，當(dāng)銳角A>45°時(shí)，sinA的值（）(A)0＜sinA＜(B)＜sinA＜1(C)0＜sinA＜(D)＜sinA＜13.確定值的范圍B(A)0＜cosA＜(B)＜cosA＜1(C)0＜cosA＜(D)＜cosA＜12.當(dāng)銳角A>30°時(shí)，cosA的值（）C做一做（1）計(jì)算：

sin60°·cot30°+cos245°=（2）如果tanA·tan60°=1,A=_________。

課后練習(xí)3.已A是銳角且tanA=3,則2.若tan(β+20°）=β為銳角則β=________在Rt△ABC中，∠C=90°cosB=,則sinB的值為_(kāi)______40°

5、已知銳角A的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊為X軸的正半軸,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則sinA=,cosA=,tanA=.

當(dāng)堂訓(xùn)練二1，在Rt△ABC中，如果各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的正弦值和余弦值（）A，都不變B，都擴(kuò)大2倍C，都縮小2倍D，不確定。√222，在△ABC中，若sinA=,tanB=√3，則∠C=4，如果α和β都是銳角，且sinα=cosβ，則α與β的關(guān)系是（）A，相等B，互余C，互補(bǔ)D，不確定。5，已知在Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=,則cosB=()12√32√2221√3A，B，C，D，A75°BA

思考在Rt△ABC中，∠C=90°斜邊AB=2，直角邊AC=1，∠ABC=30°,延長(zhǎng)CB到D，連接AD使∠D=15°求tan15°的值。DACB坡度i與坡角α之間具有什么關(guān)系？

一段坡面的坡角為60°，則坡度i=______；______，坡角α______度．創(chuàng)設(shè)情景：

同學(xué)們，如果你是加固水庫(kù)大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題請(qǐng)你解決：水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，AD23BCi=1:2.5i=1:3則斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為多少？(精確到0.1m)．4、仰角和俯角鉛直線(xiàn)水平線(xiàn)視線(xiàn)視線(xiàn)仰角俯角5、方向角如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南sin160=sin16°′″0.275635355=按鍵的順序tanA=2(A為銳角）tan-12=63.43494882解直角三角形

（復(fù)習(xí)課）

2．直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6，8，則第三邊的長(zhǎng)為（）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體盒子，一只螞蟻在D1C1的中點(diǎn)M處，它到BB的中點(diǎn)N的最短路線(xiàn)是（）若sin28°=cosα，則α=____如圖所示的一只玻璃杯，最高為8cm，將一根筷子插入其中，杯外最長(zhǎng)4厘米，最短2厘米，那么這只玻璃杯的內(nèi)徑是________厘米．

1在下列直角三角形中，不能解的是（）

A已知一直角邊和所對(duì)的角B已知兩個(gè)銳角

C已知斜邊和一個(gè)銳角D已知兩直角邊2在△ABC中，∠C=90°，根據(jù)下列條件解這個(gè)直角三角形。(6)∠A=300，斜邊上的高CD=,則AB=

；B(2)若∠A=300，b=10,則a=

,c=

;(5)若sinA=，c=x+2,a=x,則b=

cosA=

;7、已知cosA=0.6,求sinA,tanA.真知在實(shí)踐中誕生3.圖中的螺旋形由一系列直角三角形組成.每個(gè)三角形都以點(diǎn)O為一頂點(diǎn).(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)已知∠An-1OAn,是一個(gè)小于200的角,求n的值.探究活動(dòng)：同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A=1.探索下列關(guān)系式是否成立（00〈α〈900）？（1）sinα+cos

α≤1（2）sin2α=2sinα（3）當(dāng)00〈α〈β〈900時(shí)，0〈sinα〈sinβ〈1如圖所示，平地上一棵樹(shù)高為5米，兩次觀察地面上的影子，第一次是當(dāng)陽(yáng)光與地面成45°時(shí)，第二次是陽(yáng)光與地面成30°時(shí)，第二次觀察到的影子比第一次長(zhǎng)多少米？22．如圖，AB是江北岸濱江路一段，長(zhǎng)為3千米，C為南岸一渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋．經(jīng)測(cè)量得A在C北偏西30°方向，B在C的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)多少？（精確到0.1）1、本節(jié)例題學(xué)習(xí)以后，我們可以得到解直角三角形的兩種基本圖形：小結(jié)：AABBCCDD當(dāng)堂訓(xùn)練二解（2）：設(shè)點(diǎn)E、F是以A為圓心，150km為半徑的圓與BM的交點(diǎn)，由題意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙塵暴影響的時(shí)間為180÷12=15小時(shí)答：A城將受到這次沙塵暴影響，影響的時(shí)間為15小時(shí)。３，由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正南方向240km的B處，以每小時(shí)12km的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？EFABCM24030°當(dāng)堂訓(xùn)練二解（2）：設(shè)點(diǎn)E、F是以A為圓心，150km為半徑的圓與BM的交點(diǎn)，由題意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙塵暴影響的時(shí)間為180÷12=15小時(shí)答：A城將受到這次沙塵暴影響，影響的時(shí)間為15小時(shí)。３，由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正南方向240km的B處，以每小時(shí)12km的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？EFABCM24030°10.如圖,為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角α,把一根長(zhǎng)為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁,量出竹竿長(zhǎng)1m處，它離地面的高度為0.6m,又量得竿頂與壩腳的距離BC=2.8m.這樣∠α求就可以算出來(lái)了.請(qǐng)你算一算.(2006新疆）如圖，是某市幸福大道上一座人行天橋示意圖，天橋的高CO為6米，坡道傾斜角∠CBO=45°，在距B點(diǎn)5米處有一建筑物DE.為了更加方便行人上、下天橋，市政部門(mén)決定減少坡道的傾斜角，但離新坡角A處要留出不少于3米寬的人行道。（1）若將坡道傾斜角改建為30°（∠CAO=30°），那么建筑物DE是否會(huì)被拆除？為什么？（2）若改建坡道后，使人行道的寬恰好為3米，又不拆除建筑物DE，那么坡道的傾斜角應(yīng)為多少度（精確到1度）？建筑物CABDEO（2006遼寧）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°

，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°

，已知OA=100米，山坡坡度為，（即tan∠PAB=）且O、A、B在同一條直線(xiàn)上。求電視塔OC的高度以及所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）AB水平地面CO山坡60°45°PE例：（2006天津）如圖，在觀測(cè)點(diǎn)E測(cè)得小山上鐵塔頂A的仰角為60°，鐵塔底部B的仰角為45°。已知塔高AB＝20m，觀察點(diǎn)E到地面的距離EF＝35cm，求小山BD的高（精確到0.1m,≈1.732）。練習(xí)：（2006蘇州）如圖，在一個(gè)坡角為15°的斜坡上有一棵樹(shù)，高為AB．當(dāng)太陽(yáng)光與水平線(xiàn)成500時(shí)．測(cè)得該樹(shù)在斜坡上的樹(shù)影BC的長(zhǎng)為7m,求樹(shù)高．(精確到0.1m)24．（附加題10分）如圖所示，學(xué)校在樓頂平臺(tái)上安裝地面接收設(shè)備，為了防雷擊，在離接收設(shè)備3米遠(yuǎn)的地方安裝避雷針，接收設(shè)備必須在避雷針頂點(diǎn)45°夾角范圍內(nèi)，才能有效避免雷擊（α≤45°），已知接收設(shè)備高80厘米，那么避雷針至少應(yīng)安裝多高？如圖,某貨船以20海里/時(shí)的速度將一批重要物資有A處運(yùn)往正西方向的B處,經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá),到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí),接到氣象部門(mén)通知,一臺(tái)風(fēng)正以40海里/時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動(dòng).距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響.(1)問(wèn):B處是否受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響,該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?ABC北60°

3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，AD=2,求BD的長(zhǎng)。變式：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，BD=2,求AD的長(zhǎng)。

3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°

∠ADC＝45°，AD=2,求BD的長(zhǎng)。變式：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，BD=2,求AD的長(zhǎng)。例題賞析例6如圖，海島A四周20海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見(jiàn)島A在北偏西60?方向，航行24海里到C處，見(jiàn)島A在北偏西30?方向，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？ABDCNN130?60?解過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D,設(shè)AD=x∵∠NBA=60?，∠N1BA=30?，∴

∠ABC=30?，∠ACD=６0?，在Rt△ADC中，CD=AD?ctg∠ACD=x?ctg60?,

在Rt△ADB中，BD=AD?ctg30?=x?ctg30?,∵BD-CD=BC,BC=24∴

x?ctg30?-x?ctg60?=24

=123√∴

x=24ctg30?-ctg60?>20答：貨輪無(wú)觸礁危險(xiǎn)。3、在△ABC中，∠C=900，AC=8cm，AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于D，連接BD，若ABNCDM4、一艘船由A港沿北偏東600方向航行10km至B港，然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求(1)A,C兩港之間的距離(結(jié)果精確到0.1km);(2)確定C港在A港什么方向.例題賞析一架25米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，梯子的底部離墻腳7米，如果梯子的頂部滑下4米，梯子的底部滑開(kāi)多遠(yuǎn)？例1解如圖，根據(jù)題意知AB=25，BE=7，AC=4在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2在Rt△CDE中，DE2=CD2-CE2AE=√252-72=24DE=√252–202=15所以BD=DE–BE=15–7=8（米）ADCBE答：梯子的底部滑開(kāi)8米例題賞析例2如圖，AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,∠BAD=90°求四邊形ABCD的面積。DCBA解在Rt△ABD中，連結(jié)BD，BD=√32+42=5又BD2+BC2=52+122=169,DC2=132=169，即BD2+BC2=DC2，所以△BCD是直角三角形所以S四邊形ABCD=×3×4+×5×12=361212當(dāng)堂訓(xùn)練一1，以下列數(shù)據(jù)為三角形的邊長(zhǎng)，則不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A，3，4，5，B，5，12，13，C，6，8，10D，7，8，93，如果直角三角形的兩條直角邊之和為7，斜邊長(zhǎng)為5，則三角形的面積是

。2，如果直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3厘米、4厘米，則其周長(zhǎng)是

。4，如圖，有一張藏寶圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，起點(diǎn)A與寶藏B的直線(xiàn)距離是（）A，9B，10C，11D,12AB4226121D12厘米或（7+√7）厘米6B當(dāng)堂訓(xùn)練一5，如圖，圖中直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是6和8，則圖中半圓R的面積是（）PRQA,10Л

B,25

Л

C,12.5Л

D,100Л6,池塘里一枝荷花高出水面20厘米，一陣勁風(fēng)吹來(lái)，荷花從根部向一邊傾斜，頂端與水面平齊，如圖，已知荷花被風(fēng)吹動(dòng)的水平距離是60厘米，求池塘中水的深度。（80厘米）C鞏固練習(xí)一2，如圖，房屋的人字架為等腰三角形，中拄BC=米，∠A=30度，求跨度AD的長(zhǎng)。4√33CDBA例題賞析例4如圖學(xué)校里有一塊三角形形狀的花圃ABC,現(xiàn)測(cè)得∠A=30°,AC=40m,BC=25m,請(qǐng)你幫助計(jì)算一下這塊花圃的面積?ACBD過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D在Rt△ADC中，∠A=30°,AC=40,∴CD=20,AD=AC?cos30°=203√在Rt△CDB中，CD=20,CB=25,∴DB=CB2–CD2=15√∴S△ABC=AB?CD=(AD+DB)?CD1212

(2003+150)(m2)√答，這塊花圃的面積為=(2003+150)(m2)√解當(dāng)堂訓(xùn)練二ACBi=1︰27、如圖為了測(cè)量小河的寬度，在河的岸邊選擇B、C兩點(diǎn)，在對(duì)岸選擇一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，測(cè)得∠BAC=75°,∠ACB=45°;BC=48m,

求河寬米ABCD6、植樹(shù)節(jié)，某班同學(xué)決定去坡度為1︰2的山坡上種樹(shù)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）是6m，斜坡上相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為m.3√572-24√3當(dāng)堂訓(xùn)練二解（2）：設(shè)點(diǎn)E、F是以A為圓心，150km為半徑的圓與BM的交點(diǎn)，由題意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙塵暴影響的時(shí)間為180÷12=15小時(shí)答：A城將受到這次沙塵暴影響，影響的時(shí)間為15小時(shí)。３，由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正南方向240km的B處，以每小時(shí)12km的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？EFABCM24030°３，由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正南方向240km的B處，以每小時(shí)12km的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？當(dāng)堂訓(xùn)練二解（1）：過(guò)A作AC⊥BM,垂足為C,在Rt△ABC中，∠B=30°,

∴AC=AB=x240=1201212∵AC=120<150∴A城受到沙塵暴影響CABM30°24010.如圖,為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角α,把一根長(zhǎng)為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁,量出竹竿長(zhǎng)1m處，它離地面的高度為0.6m,又量得竿頂與壩腳的距離BC=2.8m.這樣∠α求就可以算出來(lái)了.請(qǐng)你算一算.補(bǔ)充1.一艘輪船在Ａ處觀測(cè)到東北方向有一小島Ｃ，已知小島Ｃ周?chē)?8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng).漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達(dá)B處,在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向,這時(shí)漁船改變航線(xiàn)向正東(即BD)方向航行,這艘漁船是否有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn)?(2006新疆）如圖，是某市幸福大道上一座人行天橋示意圖，天橋的高CO為6米，坡道傾斜角∠CBO