《高考調(diào)研》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十一章《排列、組合和二項(xiàng)式定理》課件112

1．兩個(gè)概念(1)排列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素(m≤n)，按照

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)組合從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．一定順序排成一列并成一組1．從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，不同的取法有________．答案

70種解法一直接法，可以從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取2臺(tái)，再從5臺(tái)乙型電視相中取1臺(tái)，或者從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取1臺(tái)，再從5臺(tái)乙型電視機(jī)中取2臺(tái)，所以共有C42·C51＋C41·C52＝70種選法．解法二間接法，從9臺(tái)電視機(jī)中取3臺(tái)有C93種取法，從甲型電視機(jī)中取3臺(tái)有C43種取法，從乙型電視機(jī)中取3臺(tái)有C53種取法，這兩種取法不符合條件，所以符合條件的取法為C93－C43－C53＝70種．2．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則不同的播放方式共有(

)A．6種 B．24種C．48種 D．720種答案

C解析選C.據(jù)題意知4個(gè)不同的商業(yè)廣告可排在中間的4個(gè)位置上共有A44種方法，再將2個(gè)公益廣告排在首末2個(gè)不同的位置共有2種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的播放方式共有2A44＝48種．3．安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)答案

2400解析第一步：安排甲、乙兩人在3～7日，其選擇有A52＝20，第二步：剩下5個(gè)人選擇有5！，因此不同的安排方法數(shù)共有20×5?。?400種方法．4．某興趣小組有4名男生，5名女生，從中選派5名學(xué)生參加一次活動(dòng)，要求有女生且女生人數(shù)必須少于男生的選派方法有________種．(用數(shù)字作答)答案

45解析據(jù)題意知參加活動(dòng)的情況可分為兩類：一類是4男1女，另一類是3男2女，分別是C51，C52C43種不同的情況，故共有C51＋C52C43＝45種方法．題型一排列數(shù)、組合合數(shù)公式例1(1)求證：An＋1m＝Anm＋mAnm－1(2)求證：m·Cnm＝n·Cn－1m－1.(3)計(jì)算：C22＋C32＋…＋C102【思路分析】運(yùn)算組合的性性質(zhì)Cnm＋Cnm－1＝Cn＋1m逐一合并．【證明】C22＋C32＋C42＋…＋C102＝C33＋C32＋C42＋…＋C102＝C43＋C42＋…＋C102＝C53＋C52＋…＋C102＝……＝C113＝165探究1運(yùn)用排列數(shù)、、組合數(shù)公式式證明等式時(shí)時(shí)，一般用階階乘式．運(yùn)用用排列數(shù)、組組合數(shù)公式計(jì)計(jì)算具體數(shù)字字的排列數(shù)、、組合數(shù)時(shí)一一般用展開式式，直接進(jìn)行行運(yùn)算．題型二排列應(yīng)用題例27位同學(xué)站成一一排：(1)站成兩排(前3后4)，共有多少種種不同的排法法？(2)其中甲站在中中間的位置，，共有多少種種不同的排法法？(3)甲、乙只能站站在兩端的排排法共有多少少種？(4)甲不排頭、乙乙不排尾的排排法共有多少少種？(5)甲、乙兩同學(xué)學(xué)必須相鄰的的排法共有多多少種？(6)甲、乙兩同學(xué)學(xué)必須相鄰，，而且丙不能能站在排頭和和排尾的排法法有多少種？？(7)甲、乙兩同學(xué)學(xué)不能相鄰的的排法共有多多少種？(8)甲、乙、丙三三個(gè)同學(xué)都不不能相鄰的排排法共有多少少種？(9)甲、乙、丙三三個(gè)同學(xué)不都都相鄰的排法法共有多少種種？(10)甲、乙相鄰且且與丙不相鄰鄰的排法共有有多少種？(11)甲必須站在乙乙的左邊的不不同排法共有有多少種？【分析】本題是有關(guān)排排列的一道綜綜合題目，小小題比較多，，包括排列中中的各種方法法和技巧，請(qǐng)請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真真思考．【解析】(1)站成兩排(前3后4)，共有有A77種不同同的排排法；；(2)其中甲甲站在在中間間的位位置，，共有有A66種不同同的排排法；；(3)甲、乙乙只能能站在在兩端端的排排法共共有A22A55種；(4)甲不排排頭、、乙不不排尾尾的排排法共共有：：法一：：甲站站排尾尾；共共有A66種不同同的排排法；；甲不站站排尾尾，共共有A51A51A55種不同同的排排法；；故共有有A66＋A51A51A55種不同同的排排法；；法二：：7位同學(xué)學(xué)站成成一排排，共共有A77種不同同的排排法；；甲排頭頭，共共有A66種不同同的排排法；；乙排尾尾，共共有A66種不同同的排排法；；甲排頭頭且乙乙排尾尾，共共有A55種不同同的排排法；；故共有有A77－2A66＋A55種不同同的排排法．．(5)先將甲甲、乙乙兩位位同學(xué)學(xué)“捆綁””在一一起看看成一一個(gè)元元素與與其余余的5個(gè)元元素素(同學(xué)學(xué))一起起進(jìn)進(jìn)行行全全排排列列有有A66種方方法法；；再再將將甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)““松松綁綁”進(jìn)行行排排列列有有A22種方方法法，，所所以以這這樣樣的的排排法法一一共共有有A66A22＝1440種．．(6)甲、、乙乙兩兩同同學(xué)學(xué)必必須須相相鄰鄰，，而而且且丙丙不不能能站站在在排排頭頭和和排排尾尾的的排排法法有有：：法一一：：將將甲甲、、乙乙兩兩同同學(xué)學(xué)“捆綁綁”在一一起起看看成成一一個(gè)個(gè)元元素素，，此此時(shí)時(shí)一一共共有有6個(gè)元元素素，，因因?yàn)闉楸徊荒苣苷菊驹谠谂排蓬^頭和和排排尾尾，，所所以以可可以以從從其其余余的的5個(gè)元元素素中中選選取取2個(gè)元元素素放放在在排排頭頭和和排排尾尾，，有有A52種方方法法；；將將剩剩下下的的4個(gè)元元素素進(jìn)進(jìn)行行全全排排列列有有A44種方方法法；；最最后后將將甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)“松綁綁”進(jìn)行行排排列列有有A22種方方法法，，所所以以這這樣樣的的排排法法一一共共有有A52A44A22＝960種方方法法．．法二二：：將將甲甲、、乙乙兩兩同同學(xué)學(xué)““捆捆綁綁””在在一一起起看看成成一一個(gè)個(gè)元元素素，，此此時(shí)時(shí)一一共共有有6個(gè)元素．．若丙站在在排頭或或排尾有有2A55種方法，，所以丙丙不能站站在排頭頭和排尾尾的排法法有(A66－2A55)·A22＝960種方法．．法三：將將甲、乙乙兩同學(xué)學(xué)“捆綁綁”在一一起看成成一個(gè)元元素，此此時(shí)一共共有6個(gè)元素，，因?yàn)楸荒苷菊驹谂蓬^頭和排尾尾，所以以可以從從其余的的四個(gè)位位置選擇擇共有A41種方法．．再將其余余的5個(gè)元素進(jìn)進(jìn)行全排排列共有有A55種方法，，最后將將甲、乙乙兩同學(xué)學(xué)“松綁”，所以這樣樣的排法一一共有A41A55A22＝960種方法．(7)甲、乙兩同同學(xué)不能相相鄰的排法法共有：法一：(排除法)A77－A66·A22＝3600(種)．法二：(插空法)先將其余五五個(gè)同學(xué)排排好有A55種方法，此此時(shí)他們留留下六個(gè)位位置(就稱為“空空”吧)，再將甲、、乙同學(xué)分分別插入這這六個(gè)位置置(空)有A62種方法，所所以一共有有A55A62＝3600種方法．(8)甲、乙、丙丙三個(gè)同學(xué)學(xué)都不能相相鄰的排法法共有：先將其余四四個(gè)同學(xué)排排好有A44種方法，此此時(shí)他們留留下五個(gè)““空”，再將甲、、乙和丙三三個(gè)同學(xué)分分別插入這這五個(gè)“空”有A53種方法，所所以一共有有A44A53＝1440種．(9)甲、乙、丙丙三個(gè)同學(xué)學(xué)不都相鄰鄰的排法共共有：7位同學(xué)站甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有A55A33＝720種．故共有A77－A55A33種不同的排法．(10)甲、乙相鄰鄰且與丙不不相鄰的排排法：先排排甲、乙、、丙之外的的4人，共有A44種排法，產(chǎn)產(chǎn)生5個(gè)“空”再將甲乙(視為一個(gè)元元素)與丙排入有有A52種，再將甲甲、乙全排排，有A22，∴共有A22A44A52種．探究2涉及有限制制條件的排排列問題時(shí)時(shí)，首先考考慮特殊元元素的排法法或特殊位位置上元素素的選法，，再考慮其其他元素或或其他位置置(這種方法稱稱為元素分分析法或位位置分析法法)；或者，先先求出不加加限制條件件的排列數(shù)數(shù)，再減去去不符合條條件的排列列數(shù)(也叫做間接接法或排除除法)，這是解排排列題的基基本策略．．所謂“捆捆綁法”與“插空法”，實(shí)際上都都是特殊元元素(位置)特殊考慮的的結(jié)果．本本題中要求求相鄰(或連排)的是特殊元元素，先把把他們捆綁綁處理，要要求兩兩不不相鄰的需需要用“插空法”．思考題2(1)(2010·北京卷，理理)8名學(xué)生和2位老師站成成一排合影影，2位老師不相相鄰的排法法種數(shù)為()A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【解析】本題采用插插空法.8名學(xué)生的排排列方法有有A88種，隔開了了9個(gè)空位，在在9個(gè)空位中排排列2位老師，方方法數(shù)為A92，根據(jù)分步步乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理，總總的排法各各數(shù)是A88A92.【答案】A(2)(2010·山東卷，理理)某臺(tái)小型晚晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成成，演出順順序有如下下要求：節(jié)節(jié)目甲必須須排在前兩兩位，節(jié)目目乙不能排排在第一位位，節(jié)目丙丙必須排在在最后一位位．該臺(tái)晚晚會(huì)節(jié)目演演出順序的的編排方案案共有()A．36種B．42種C．48種D．54種【解析】由題可知，，可以考慮慮分成兩類類計(jì)算，若若甲排在第第一位則A44種方案，若若甲排在第第二位則有有C31A33種方案，所所以按照要要求該臺(tái)晚晚會(huì)節(jié)目演演出順序的的編排方案案共有A44＋C31A33＝42(種)，故選B.【答案】B題型三組合應(yīng)用題題例3(1)7名男生5名女生中選選取5人，分別求求符合下列列條件的選選法總數(shù)有有多少種？？①A，B必須當(dāng)選；；②A，B必不當(dāng)選；；③A，B不全當(dāng)選；；④至少有2名女生當(dāng)選選；⑤選取3名男生和2名女生分別別擔(dān)任班長(zhǎng)長(zhǎng)、體育委委員等5種不同的工工作，但體體育委員必必須由男生生擔(dān)任，班班長(zhǎng)必須由由女生擔(dān)任任．【解析】①由于A、B必須當(dāng)選，，那么從剩剩下的10人中選取3人即可，∴有C103＝120種．②從除去的A、B兩人的10人中選5人即可，∴有C105＝252種．③全部選法有有C125種，A、B全當(dāng)選有C103種，故A，B不全當(dāng)選有C125－C103＝672種．④注意意到到““至至少少有有2名女女生生”的反反面面是是只只有有一一名名女女生生或或沒沒有有女女生生，，故故可可用用間間接接法法進(jìn)進(jìn)行行，，∴有C125－C51·C74－C75＝596種選選法法．．⑤分三三步步進(jìn)進(jìn)行行：：第一一步步：：選選1男1女分分別別擔(dān)擔(dān)任任兩兩個(gè)個(gè)職職務(wù)務(wù)為為C71·C51；第二步：：選2男1女補(bǔ)足5人有C62·C41種；第三步：：為這3人安排工工作有A33.由分步乘乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理共共有C71·C51·C62·C41·A33＝12600種選法．．(2)(2010·上海，理理)以集合U＝{a，b，c，d}的子集中中選出2個(gè)不同的的子集，，需同時(shí)時(shí)滿足以以下兩個(gè)個(gè)條件：：①a、b都要選出出；②對(duì)選出的的任意兩兩個(gè)子集集A和B，必有A?B或B?A，那么共共有________種不同的的選法。。【解析】列舉法共共有36種【答案】36探究3有限制制條件件的組組合問問題的的解題題思路路．同同樣要要從限限制條條件入入手．．因組組合問問題只只是從從整體體中選選出部部分即即可相相對(duì)來來說較較簡(jiǎn)單單．常常見情情況有有：(1)某些元素必必選．(2)某些元素不不選．(3)把元素分組組，根據(jù)在在各組中分分別選多少少，分類．．(4)排除法思考題3有4個(gè)不同的球球，四個(gè)不不同的盒子子，把球全全部放入盒盒內(nèi)．(1)共有多少種種做法？(2)恰有一個(gè)盒盒子不放球球，有多少少種放法？？(3)恰有一個(gè)盒盒內(nèi)放2個(gè)球，有多多少種放法法？(4)恰有兩個(gè)盒盒子不放球球，有多少少種放法？？【解析】(1)一個(gè)球一個(gè)個(gè)球的放到到盒子里去去，每只球球都可有4種獨(dú)立的放放法，由分分步乘法計(jì)計(jì)數(shù)原理知知，放法共共有44＝256(種)．(2)為保證“恰恰有一個(gè)盒盒子不放球球”，先從從四個(gè)盒子子中任意拿拿出去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2,1,1的三組，有有C42種分法；然然后再從三三個(gè)盒子中中選一個(gè)放放兩個(gè)球，，其余兩個(gè)個(gè)球，兩個(gè)個(gè)盒子，全全排列即可可．由分步步乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理知，，共有放法法C41·C42·C31·A22＝144(種)．(3)“恰有一個(gè)盒盒子內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的的三個(gè)盒子子放2個(gè)球，每個(gè)個(gè)盒子至多多放1個(gè)球，即另另外三個(gè)盒盒子中恰有有一個(gè)空盒盒．因此，，“恰有一個(gè)盒盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒盒子不放球球”是一回事．．故也有144種放法．(4)先從四個(gè)盒盒子中任取取兩個(gè)有C42種，問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為：““4個(gè)球，兩個(gè)個(gè)盒子，每每盒必放球球，有幾種種放法？””從放球數(shù)數(shù)目看，可可分為(3,1)，(2,2)兩類類．．第第一一類類：：可可從從4個(gè)球球中中先先選選3個(gè)，，然然后后放放入入指指定定的的一一個(gè)個(gè)盒盒子子中中即即可可，，有有C43·C21種放放法法；；第第二二類類：：有有C42種放放法法．．因因此此共共有有C43·C21＋C42＝14(種)．由由分分步步乘乘法法計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)原原理理得得“恰有有兩兩個(gè)個(gè)盒盒子子不不放放球球”的放放法法有有C42·14＝84(種)．題型型四四排列列、、組組合合的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用例4有五五張張卡卡片片，，它它們們的的正正、、反反面面分分別別寫寫著著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9，將將其其中中任任意意三三張張并并排排放放在在一一起起組組成成三三位位數(shù)數(shù)，，共共可可組組成成多多少少個(gè)個(gè)不不同同的的三三位位數(shù)數(shù)？？【解析】解法一(直接法)從0與1兩個(gè)特殊值著著眼，可分三三類：①取0不取1，可先從另四四張卡片中選選一張作百位位，有C41種選法；0可在后兩位，，有C21種方法；最后后剩下的三張張中任取一張張，有C31種方法；又除除含0的那張外，其其他兩張都有有正面或反面面兩種可能，，故此時(shí)可得得不同的三位位數(shù)有C41C21C3122(個(gè))．②取1不取0，同上分析可可得不同的三三位數(shù)C42·22·A33(個(gè))．③0和1都不取，有不不同的三位數(shù)數(shù)C43·23·A33(個(gè))．綜上所所述，，共有有不同同的三三位數(shù)數(shù)：C41·C21·C31·22＋C42·22·A33＋C43·22·A33＝432(個(gè))．解法二二(間接法法)任取三三張卡卡片可可以組組成不不同的的三位位數(shù)C53·23·A33(個(gè))，其中中0在百位位的有有C42·22·A22(個(gè))，這是是不合合題意意的，，故共共有不不同的的三位位數(shù)：：C53·23·A33－C42·22·A22＝432(個(gè))．探究4解排列列組合合的應(yīng)應(yīng)用題題，要要注意意三點(diǎn)點(diǎn)：(1)仔細(xì)審審題，，判斷斷是排排列問問題還還是組組合問問題；；要按按元素素的性性質(zhì)分分類，，按事事件發(fā)發(fā)生的的過程程進(jìn)行行分步步．(2)深入分分析，，周密密思考考，分分清是是乘還還是加加，既既不少少也不不多，，多角角度分分析，，全面面考慮慮，提提高邏邏輯推推理能能力．．(3)對(duì)有附附加條條件的的比較較復(fù)雜雜的排排列組組合應(yīng)應(yīng)用題題，要要周密密分析析，設(shè)設(shè)計(jì)出出合理理的方方案，，把復(fù)復(fù)雜問問題分分解成成若干干簡(jiǎn)單單的基基本問問題，，然后后再用用分類類計(jì)數(shù)數(shù)原理理或分分步計(jì)計(jì)數(shù)原原理求求解．．思考題4(2010·浙江，理)有4位同學(xué)在同同一天的上上、下午參參加“身高高與體重””、“立定定跳遠(yuǎn)”、、“肺活量量”、“握握力”、““臺(tái)階”五五個(gè)項(xiàng)目的的測(cè)試，每每位同學(xué)上上、下午各各測(cè)試一個(gè)個(gè)項(xiàng)目，且且不重復(fù)．．若上午不不測(cè)“握力力”項(xiàng)目，，下午不測(cè)測(cè)“臺(tái)階””項(xiàng)目，其其余項(xiàng)目上上、下午都都各測(cè)試一一人．則不不同的安排排方式共有有________種(用數(shù)字作答答)．【解析】上午的總測(cè)測(cè)試方法有有A44＝24種；我們以以A，B，C，D，E依次代表五五個(gè)測(cè)試項(xiàng)項(xiàng)目，若上上午測(cè)試E的下午測(cè)試試D，則上午測(cè)測(cè)試A的下午只能能測(cè)試B，C，確定上午午測(cè)試A的同學(xué)后其其余兩個(gè)同同學(xué)上、下下午的測(cè)試試方法共有有2種；若上午午測(cè)試E的同學(xué)下午午測(cè)試A，B，C之一，則上上午測(cè)試A，B，C中任何一個(gè)個(gè)下午都可可以測(cè)試E，安排完這這個(gè)同學(xué)后后其余兩個(gè)個(gè)同學(xué)的測(cè)測(cè)試方式就就確定了，，故共有3×3＝9種測(cè)試方法法，即下午午的測(cè)試方方法共有11種．根據(jù)乘乘法原理，，總的測(cè)試試方法共有有24×11＝264種．【答案】2641．解排列組組合題的““16字方針，12個(gè)技巧”：：(1)“16字”方針是解排排列組合題題的基本規(guī)規(guī)律，即：：有序排列列、無序組組合；分類類為加、分分步為乘．．(2)“12個(gè)技巧”是速解排列列組合題的的捷徑．即即：①相鄰問題捆捆綁法；②不相鄰問題③多排問題單排法；④定序問題倍縮法；⑤定位問題優(yōu)先法；⑥有序分配問題分步法；⑦多元問題分分類法；⑧交叉問題集集合法；⑨至少(至多)問題間接接法；⑩選排問題題先取后后排法；；?局部與整整體問題題排除法法；?復(fù)雜問題題轉(zhuǎn)化法法．2．計(jì)數(shù)重重復(fù)或遺遺漏的原原因在于于分類、、分步的的標(biāo)準(zhǔn)不不清，一一般來說說，應(yīng)檢檢查分類類是否按按元素(或特殊元元素)的性質(zhì)進(jìn)進(jìn)行的，，分步是是否按事事件發(fā)生生的過程程進(jìn)行的的．3．畫示意意圖是尋尋找解題題途徑的的有效手手段．1．若把英英語單詞詞“error”中字母的的拼寫順順序?qū)戝e(cuò)錯(cuò)了，則則可能出出現(xiàn)錯(cuò)誤誤的種數(shù)數(shù)是()A．20種B．19種C．10種D．9種答案B解析“error”由5個(gè)字母組組成，其其中3個(gè)相同，，這相當(dāng)當(dāng)于5個(gè)人站隊(duì)隊(duì)，只要要給e、o選定位置，其其余三個(gè)相同同的字母r，位置固定，，即所有拼寫寫方式為A52，error拼寫錯(cuò)誤的種種數(shù)為：A52－1＝19.2．一份試卷有有10道考題，分為為A，B兩組，每組5題，要求考生生選答6題，但每組最最多選4題，則每位考考生有________種選答方案．．答案200解析分三類：A組4題B組2題，A組3題B組3題，A組2題B組4題．3．(09·陜西)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中中任取兩個(gè)奇奇數(shù)和兩個(gè)偶偶數(shù)，組成沒沒有重復(fù)數(shù)字字的四位數(shù)的的個(gè)數(shù)為()A．300B．216C．180D．162答案C解析由于0元素的特殊性性，可采用間間接法：先排排四位數(shù)，再再排除0在首位的情況況：所求的個(gè)個(gè)數(shù)為：C32C32A44－C21C32A33＝180.4．從2名女教師和5名男教師中選選出三位教師師參加2010年高考某考場(chǎng)場(chǎng)的監(jiān)考工作作．要求一女女教師在室內(nèi)內(nèi)流動(dòng)監(jiān)考，，另外兩位教教師固定在室室內(nèi)監(jiān)考，問問不同的安排排方案種數(shù)為為()A．30B．180C．630D．1080答案A解析分兩類進(jìn)行行：第一類類，在兩名名女教師中中選出一名名，從5名男教師中中選出兩名名，且該女女教師只能能在室內(nèi)流流動(dòng)監(jiān)考，，有C21·C52種選法；第第二類，選選兩名女教教師和一名名男教師有有C22·C51種選法，且且再從選中中的兩名女女教師中選選一名作為為室內(nèi)流動(dòng)動(dòng)監(jiān)考人員員，即有C22·C51·C21共10種選法，∴共有C21·C52＋C22·C51