《等式性質與不等式性質》設計

第2課時等式性質與不等式性質【教學目標】1.掌握不等式的性質．2．能利用不等式的性質進行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．3．通過類比等式與不等式的性質，探索兩者之間的共性與差異.4.通過不等式性質的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理能力．5．借助不等式性質求范圍問題，提升數(shù)學運算素養(yǎng).【教學重點】掌握不等式的性質．【教學難點】能利用不等式的性質進行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．【教學過程】新知初探1．等式的性質(1)性質1如果a＝b，那么b＝a；(2)性質2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性質3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性質4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性質5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性質(1)對稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．初試身手1．若a＞b，c＞d，則下列不等關系中不一定成立的是()A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－c D．a－c＜a－dB[根據(jù)不等式的性質．]2．與a>b等價的不等式是()A．|a|>|b| B．a2>b2\f(a,b)>1 D．a3>b3D[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]3．設x<a<0，則下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]例題講解【例1】對于實數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0[思路點撥]本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特殊值排除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯．取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯．取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯．]方法總結運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質.解有關不等式選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.課堂練習1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜bD[A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C錯，例如當c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性質證明簡單不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路點撥]可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據(jù)地導出證明結果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).方法總結利用不等式的性質證明不等式注意事項1利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.2應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.課堂練習2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.[證明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[思路點撥]依據(jù)不等式的性質，找到－b與eq\f(1,b)的范圍，進而求出a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因為1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因為eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.方法總結求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時，一要注意題設中的條件，二要正確使用不等式的性質，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.課堂練習3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．[解]∵已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4).∴－eq\f(π,