《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》設(shè)計(jì)

第2課時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握不等式的性質(zhì)．2．能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．3．通過類比等式與不等式的性質(zhì)，探索兩者之間的共性與差異.4.通過不等式性質(zhì)的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理能力．5．借助不等式性質(zhì)求范圍問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【教學(xué)重點(diǎn)】掌握不等式的性質(zhì)．【教學(xué)難點(diǎn)】能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．【教學(xué)過程】新知初探1．等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；(2)性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．初試身手1．若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中不一定成立的是()A．a(chǎn)－b＞d－c B．a(chǎn)＋d＞b＋cC．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－dB[根據(jù)不等式的性質(zhì)．]2．與a>b等價(jià)的不等式是()A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2\f(a,b)>1 D．a(chǎn)3>b3D[可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]3．設(shè)x<a<0，則下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]例題講解【例1】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0[思路點(diǎn)撥]本題可以利用不等式的性質(zhì)直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特殊值排除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯(cuò)．取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯(cuò)．取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯(cuò)．]方法總結(jié)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.課堂練習(xí)1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜bD[A錯(cuò)，例如(－3)2＞22；B錯(cuò)，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C錯(cuò)，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時(shí)，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路點(diǎn)撥]可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).方法總結(jié)利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)1利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.課堂練習(xí)2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.[證明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到－b與eq\f(1,b)的范圍，進(jìn)而求出a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因?yàn)?＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因?yàn)閑q\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.方法總結(jié)求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.課堂練習(xí)3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．[解]∵已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4).∴－eq\f(π,