人教版八年級數(shù)學下冊第18章平行四邊形18.2

第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第1課時

矩形及其性質(zhì)1課堂講解矩形的定義矩形的邊角性質(zhì)矩形的對角線性質(zhì)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)1.什么叫平行四邊形？3.平行四邊形有哪些性質(zhì)？①平行四邊形的對角相等.②平行四邊形的對邊相等.③平行四邊形的對角線互相平分.2.平行四邊形與四邊形

有什么關(guān)系？ABCD兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.特殊一般

平行四邊形具有四邊形的一切性質(zhì)1知識點矩形的定義知1－講平行四邊形長方形有一個角是直角

矩形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.★矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)！知1－講有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形.矩形定義：ABCD∵在ABCD中，∠A=90°∴ABCD是矩形.例1如圖所示，l1∥l2，A、B是l1上的兩點，過A、B分

別作l2的垂線，垂足分別為D、C．四

邊形ABCD是矩形嗎?簡述你的理由．知1－講很容易發(fā)現(xiàn)ABCD為平行四邊形只需有一個角為直角即可，因為AD⊥l2有直角，問題得證．

四邊形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，∴AD∥BC．∵l1∥l2，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵∠ADC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形．分析：解：總

結(jié)知1－講

利用定義識別一個四邊形是矩形，首先要證明四邊形是平行四邊形，然后證明平行四邊形有一個角是直角.1矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？知1－練是，它有2條對稱軸．解：2下列說法不正確的是(

)A．矩形是平行四邊形B．矩形不一定是平行四邊形C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形D．平行四邊形具有的性質(zhì)矩形都具有知1－練B3【中考·菏澤】在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，連接AC，BD，當?ABCD的面積最大時，下列結(jié)論正確的有(

)①AC＝5;②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD;④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④知1－練B2知識點矩形的邊角性質(zhì)知2－導首先研究角的性質(zhì)BADC矩形的四個角都是直角.為什么?※

矩形的性質(zhì)定理1知2－講例2如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度數(shù)．由∠DAE與∠BAE之和為矩形的一個內(nèi)角及兩角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度數(shù)，從而得出∠ABE的度數(shù)，由矩形的性質(zhì)易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度數(shù)，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度數(shù)．導引：知2－講∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：總

結(jié)知2－講

矩形的每條對角線把矩形分成兩個直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成四個等腰三角形，因此有關(guān)矩形的計算問題經(jīng)常通過轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中來解決．1如圖，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD＝DE，連接BE交CD于點O，連接AO，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC知2－練A2【中考·西寧】如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM∥AB交AD于點M，若OM＝3，BC＝10，則OB的長為(

)A．5B．4C.D.知2－練D3【中考·安順】如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，把紙片沿直線AC折疊，點B落在E處，AE交DC于點O.若AO＝5cm，則AB的長為(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm知2－練C4【中考·紹興】在探索“尺規(guī)三等分角”這個數(shù)學名題的過程中，曾利用了如圖．該圖中，四邊形ABCD是矩形，E是BA延長線上一點，F(xiàn)是CE上一點，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，則∠ECD的度數(shù)是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°知2－練C3知識點矩形的對角線性質(zhì)知3－導BADC兩條對角線有何關(guān)系?矩形的對角線相等.※矩形的性質(zhì)定理2知3－導

任意畫一個矩形，作出它的兩條對角線，并比較它們的長．你有什么發(fā)現(xiàn)?

已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形．

求證：AC=DB．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性質(zhì)定理1)．

∵AB=CD(平行四邊形的對邊相等)，BC=CB．

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．

于是，就得到矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等.證明：知3－講例3如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形對角線的長.∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC與BD相等且互相平分.∴OA=OB.

又∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形.∴OA=AB=4.∴

AC=BD=2OA=8.（來自《教材》）解：1求證：矩形的對角線相等.知3－練已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，AC與BD相交于點O.求證：AC＝BD.因為四邊形ABCD是矩形，所以∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，又BC＝CB，所以Rt△ABC≌Rt△DCB，所以AC＝DB，即AC＝BD.解：證明：2一個矩形的一條對角線長為8，兩條對角線的一

個交角為120°.求這個矩形的邊長(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位).知3－練（來自《教材》）如圖所示，在矩形ABCD中，∠AOD＝∠BOC＝120°，所以∠AOB＝∠COD＝60°.因為AC＝BD＝8，所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD＝4，所以△AOB為等邊三角形，所以AB＝OA＝OB＝4.在Rt△ABD中，AD＝≈6.93.即這個矩形的邊長分別為4，6.93，4，6.93.解：3【中考·懷化】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長是(

)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm知3－練A4【中考·蘭州】如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝DE＝2，則四邊形OCED的面積為(

)A．2B．4C．4D．8知3－練A5【中考·宜賓】如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB，BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2知3－練A知4－導4知識點直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)ABCOD在左圖的Rt△ABC中，OB與AC有何關(guān)系？D直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.※

推論OB=AC例4如圖(1)，BD，CE是△ABC的兩條高，M，N分別

是BC，DE的中點．求證：MN⊥DE.知4－講如圖(2)，連接EM，DM，由CE與BD為△ABC的兩條高，可得△BEC與△CDB均為直角三角形，根據(jù)M為BC的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得EM為BC的一半，DM也為BC的一半，通過等量代換可得EM＝DM，又N為DE的中點，所以MN⊥DE.(1)(2)導引：知4－講連接EM，DM，如圖(2).∵BD，CE為△ABC的兩條高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在Rt△BEC中，∵M為斜邊BC的中點，∴EM＝

BC.在Rt△CDB中，∵M為斜邊BC的中點，∴DM＝

BC.∴EM＝DM.又∵N為DE的中點，∴MN⊥DE.證明：(2)總

結(jié)知4－講

若題目中出現(xiàn)了一邊的中點，往往需要用到中線，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．1(中考·鄂爾多斯)如圖，P是矩形ABCD的對角線AC

的中點，E是AD的中點．若AB＝6，AD＝8，則四

邊形ABPE的周長為(

)A．14B．16C．17D．18知4－練D2【中考·葫蘆島】如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，AF⊥BC，垂足為點F，∠ADE＝30°，DF＝4，則BF的長為(

)A．4B．8C．2D．4知4－練D1．矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩

形，具有平行四邊形所有性質(zhì)．2．性質(zhì)歸納：1知識小結(jié)矩形的四個角都是直角.※

矩形的性質(zhì)定理1矩形的對角線相等.※

矩形的性質(zhì)定理2※

推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第2課時

矩形的判定1課堂講解由對角線的關(guān)系判定矩形由直角的個數(shù)判定矩形2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)矩形的

兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線相等邊對角線角矩形的性質(zhì)1知識點由對角線的關(guān)系判定矩形

我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

工人師傅在做門窗或矩形零件時，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎？知1－導思考歸納知1－導

可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：

對角線相等的平行四邊形是矩形.警示：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，這個

四邊形必須是平行四邊形才可以.例1如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，

且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度數(shù).知1－講∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，∴

AC=BD.∴四邊形ABCD是矩形.∴

∠DAB=90°.又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.（來自《教材》）解：總

結(jié)知1－講

用對角線相等的平行四邊形是矩形判定一個四邊形是矩形必須滿足兩個條件：一是對角線相等，二是四邊形是平行四邊形．1如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

△OAB是等邊三角形，且AB=4.

求?ABCD的面積.知1－練（來自《教材》）知1－練（來自《教材》）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC，OB＝OD.又因為△OAB是等邊三角形，所以O(shè)A＝OB＝AB.所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD.所以AC＝BD，所以?ABCD是矩形．又因為AB＝4，所以AC＝8，所以BC＝所以S矩形ABCD＝AB·BC＝4×解：2如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是(

)A．AB＝BC

B．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD知1－練B3【中考·黑龍江】如圖，在?ABCD中，延長AD到點E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，請你添加一個條件______________________，使四邊形DBCE是矩形．知1－練EB＝DC(答案不唯一)2知識點有直角的個數(shù)判定矩形知2－導

前面我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎？即四個角都是直角的四邊形是矩形嗎？進一步，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？思考知2－導(1)根據(jù)矩形的定義，有一個角是直角的平行四邊形

是矩形．如果不通過平行四邊形，能根據(jù)四邊形

中直角的個數(shù)，直接由四邊形來判定它是矩形嗎?

有幾個角是直角的四邊形是矩形呢?矩形的四個角都是直角.反過來，四個角都是直角

的四邊形是矩形.知2－導已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，

∠A=∠B=∠C=90°．

求證：四邊形ABCD是矩形．ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°，

∠A+∠B=180°，

∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠A=90°.∴?ABCD是矩形.證明：歸納知2－導有三個角是直角的四邊形是矩形.知2－講例2如圖，?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于

點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形.要證明四邊形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，因此可選用“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明．導引：知2－講∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠BCD

＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°.同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH是矩形．證明：總

結(jié)知2－講

本題目中的圖形是建立在四邊形基礎(chǔ)上，而條件中又涉及角的關(guān)系，一般采用“角的方法”來判定矩形．1下列命題中，真命題有(

)(1)對角線互相平分的四邊形是矩形(2)三個角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形(3)對角互補的平行四邊形是矩形(4)三邊之比為1：：2的三角形是直角三角形A．1個B．2個C．3個D．4個知2－練C2如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應添加的條件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DC知2－練C3【中考·上?！恳阎叫兴倪呅蜛BCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是(

)A．∠BAC＝∠DCA

B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD

D．∠BAC＝∠ADB知2－練C1知識小結(jié)1.有一個角是直角的平行四邊形2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形矩形.

矩形的判定方法：矩形.

矩形.

第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第3課時

菱形及其性質(zhì)1課堂講解菱形的定義菱形邊的性質(zhì)菱形對角線的性質(zhì)2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)平行四邊形的性質(zhì)：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；對角線平行四邊形的對角線互相平分；溫故知新1知識點菱形的定義知1－導在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？

平行四邊形有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形鄰邊相等知1－講有一組的叫做鄰邊相等平行四邊形ADCB∵四邊形ABCD是平

行四邊形

AB=BC∴四邊形ABCD是菱形菱形.

知1－講感受生活你能舉出生活中你看到的菱形嗎？知1－講生活感受例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于

點F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？知1－講因為DE∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導引：知1－講四邊形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF為菱形(有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形)．解：總

結(jié)知1－講

本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．1如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BD知1－練B2知識點菱形的邊的性質(zhì)知2－導

菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢?根據(jù)菱形的軸對稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?問

題菱形的四條邊都相等.知2－講例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因為∠B＝60°，連接AC，則△ABC是等邊三角形，又因為E分別是BC的中點，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周長為

，故選B.B分析：總

結(jié)知2－講

在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對角線，構(gòu)造三角形來做題，能夠迎刃而解.1邊長為3cm的菱形的周長是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm知2－練C2【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是(

)A．4B．3C．2D.知2－練B3【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點D為圓心，菱形的高DF為半徑畫弧，交AD于點E，交CD于點G，則圖中陰影部分的面積是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3π知2－練A4【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點，BP＝3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′.當CA′的長度最小時，CQ的長為(

)A．5B．7C．8D.知2－練B3知識點菱形的對角線的性質(zhì)知3－導

因為菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考菱形的兩條對角線AC與BD之間具有什么位置關(guān)系?歸納知3－導

對于菱形，我們?nèi)匀粡乃膶蔷€等方面進行研究.可以發(fā)現(xiàn)并證明(請你自己完成證明)，菱形還有以下性質(zhì)：

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.（來自《教材》）知3－導問題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時，要靈活運用使計算簡單.由于菱形的四條邊都相等，所以要求其周長就要先求出其邊長．由菱形的性質(zhì)可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理來進行計算．知3－講例3如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于

點O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周長．導引：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周長＝4AB知3－講解：總

結(jié)知3－講

菱形的對角線將菱形分成四個全等的直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理來計算．（來自《教材》）知3－講如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).例4∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).（來自《教材》）知3－講解：總

結(jié)知3－講菱形的面積有三種計算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半．說明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應

用(3)這種方法時不要忽視“一半”．1四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長.知3－練（來自《教材》）如圖所示，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因為AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：2已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.知3－練（來自《教材》）如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以O(shè)A＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因為AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周長為AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面積為

AC·BD＝×8×6＝24.解：3【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(

)A．2B.C．3D．4知3－練D4【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O.求證：AC⊥BD.以下是排亂的證明過程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四邊形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.證明步驟正確的順序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②知3－練B5【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm知3－練D我們已經(jīng)知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是中心對稱圖形，想一想菱形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，對稱軸各幾條？菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條.拓展延伸歸納

菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.對稱軸是分別經(jīng)過兩組對角頂點的兩條直線．例5如圖①，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分

別是CB，CD上的點，且BE＝DF.(1)求證：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，點E，F(xiàn)分

別是BC，CD的中點，求證：△AEF為等邊三角形.(1)要證AE＝AF，只需證△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相關(guān)性質(zhì)進行證明即可．(2)如圖②，要證△AEF為等邊三角形，由AE＝AF知，只需證∠EAF＝60°即可，要證∠EAF＝60°，只需證∠1＝∠2＝30°即可，這可由菱形及等邊三角形相關(guān)知識證出．導引：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如圖②，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.∵E為BC的中點，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形．證明：總

結(jié)

菱形的每條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形(特殊時為兩個全等的等邊三角形)，兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關(guān)菱形的一些證明與計算問題常常與特殊的三角形的有關(guān)問題綜合在一起．1菱形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)為(

)A．2條B．4條C．6條D．8條A2【中考·益陽】下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C1．菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做

菱形

2．菱形的性質(zhì)：(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì).(2)菱形的四條邊相等.(3)菱形的對角線互相垂直，并且一條對角線平分

一組對角.1知識小結(jié)第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第3課時

菱形的判定1課堂講解由對角線的位置關(guān)系判定菱形由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)ABCDO(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；(2)菱形的四條邊都相等；(3)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角

線平分一組對角；菱形的性質(zhì)1知識點由對角線的位置關(guān)系判定菱形知1－導同學們想一想，我們在學習平行四邊形的判定和矩形的判定時，我們首先想到的第一種方法是什么？那么類比著它們，菱形的第一種判定方法是什么？根據(jù)定義得：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.知1－導平行四邊形菱形一組鄰邊相等還有其它的方法嗎？知1－導

用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形.轉(zhuǎn)動木條，這個四邊形什么時候變成菱形?猜想一：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形知1－導證明：判定一：對角線互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在ABCD中有對角線AC⊥BD，且相交于點O求證：ABCD是菱形∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD≌△AOB.∴AD=AB∴ABCD是菱形O歸納知1－導

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.提示：此方法包括兩個條件——(1)是一個平行四邊形；(2)兩條對角線互相垂直.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.例1如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AB=5，AO=4，BO=3.求證：□

ABCD

是菱形.知1－講∵AB=5，AO=4，BO=3，∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.∴□ABCD是菱形.（來自《教材》）證明：總結(jié)知1－講證明一個四邊形是菱形的方法：

若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個四邊形是平行四邊形．1如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？知1－練（來自《教材》）四邊形ABCD是一個菱形．理由：由題意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四邊形ABCD是菱形．解：2【2016·海南】如圖，四邊形ABCD

是軸對稱圖形，且直線AC

是對稱軸，BD與AC交于點O，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四邊形ABCD

是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正確的是____________(只填寫序號).知1－練①②③④3【2017·泰安】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點F，P是EB延長線上一點，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4知1－練D2知識點由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形知2－導

我們知道，菱形的四條邊相等.反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎?思考知2－講例2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，

點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中

點．試說明：四邊形EFGH是菱形．由于點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點，可知EH，HG，GF，F(xiàn)E分別是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位線，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形EFGH是菱形．

導引：知2－講∵點E，H分別為AD，AC的中點，∴EH為△ACD的中位線，∴EH＝

CD.同理可證：EF＝

AB，F(xiàn)G＝

CD，HG＝

AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四邊形EFGH是菱形．解：總

結(jié)知2－講

有較多線段相等的條件時，我們可考慮通過證明四條邊相等來證明這個四邊形是菱形．注意：本例也可以通過先證四邊形EFGH是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，只不過步驟復雜一點，讀者不妨試一試．要證明一個四邊形是菱形，一般先證明它是平行四邊形，再證明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直．知2－講例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC

交BC于點D，CH⊥AB于點H，交AD于點F，DE⊥AB于點E，那么四邊形CDEF是菱形嗎？說說你的

理由．導引：四邊形CDEF是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF

DE.∴四邊形CDEF是平行四邊形．又∵DC＝DE，∴四邊形CDEF是菱形．知2－講∥＝解：總

結(jié)知2－講判定菱形的方法：①若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，

再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角

線互相垂直平分；②若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再

證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都

相等．知2－練一個平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和，這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.（來自《教材》）1這是一個特殊的平行四邊形，是菱形．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以O(shè)B＝OD＝6，OA＝OC＝解：知2－練（來自《教材》）因為62＋()2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，所以△AOB是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝

AC·BD＝×6×12＝36.2如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分C．AC＝BD

D．AB∥CD知2－練B3【2017·河南】如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有(

)A．AC⊥BD

B．AB＝BC

C．AC＝BD

D．∠1＝∠2知2－練C4【2016·雅安】如圖，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2，對角線AC

＝24cm，則四邊形ABCD的周長為(

)A．52cm

B．40cmC．39cmD．26cm知2－練A5如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.如果AE＝4cm，那么四邊形AEDF的周長為(

)A．12cmB．16cmC．20cmD．22cm知2－練B6如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB和直角邊AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠BAC＝30°.給出以下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG;④FH＝

BD.其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④知2－練C1知識小結(jié)一組鄰邊相等對角線互相垂直四條邊相等五種判定方法四邊形平行四邊形菱形菱形的判定方法：第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第3課時

正方形及其性質(zhì)1課堂講解正方形的定義正方形的性質(zhì)2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)平行四邊形邊:角:對角線:對邊平行且相等對角相等，鄰角互補對角線互相平分矩形角:四個角是直角對角線:對角線相等且互相平分邊：對邊平行且相等具有平行四邊形所有性質(zhì)回顧舊知菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)邊:四條邊相等對角線:互相垂直平分分別平分兩組對角對角相等,鄰角互補具有平行四邊形一切性質(zhì)角：1知識點正方形的定義知1－導正方形菱形正方形有一個角是直角正方形是特殊的菱形知1－講正方形的概念：__________________________________的平行四邊形是正方形._______________的菱形是正方形._________________的矩形是正方形.定義有一組鄰邊相等且有一個角是直角的有一個角是直角有一組鄰邊相等例1如圖，已知點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且EA⊥AF.求證：DE

=BE.知1－講本題要證明兩條線段相等，而證明線段相等的方法有很多，根據(jù)題中所給的條件，由正方形ABCD，我們可以得到邊相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比較多的條件的情況下，一般會想到用全等去解決，而本題中全等的條件也很充足，那么問題即可解決．分析：知1－講∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，

∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.證明：總

結(jié)知1－講

知道正方形就說明它的四邊都相等，四個角都是直角.下面四個定義中不正確的是(

)A．有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形B．有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C．有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的

平行四邊形叫做正方形D．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形知1－練1B【中考·蘭州】?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：________，使得?ABCD為正方形．知1－練2AC＝BD2知識點正方形的性質(zhì)知2－講正方形邊的性質(zhì)：

具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行；知2－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對角線的交

點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求證：EF∥AB.要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．導引：知2－講∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.證明：總

結(jié)知2－講通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件．(1)把一張長方形紙片按如圖方式折一下，就可

以裁出正方形紙片.為什么？(2)如何從一塊長方形木板中裁出一塊最大的正

方形木板呢？知2－練（來自《教材》）1略.解：正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．四個角都相等B．四條邊相等C．對角線相等D．對角線互相平分知2－練2B【中考·寧波】一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個大矩形的面積，則n的最小值是(

)A．3B．4C．5D．6知2－練3A【中考·廣東】如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊的正方形EFGH的周長為(

)

A.B．2C.＋1D．2＋1知2－練4B【中考·畢節(jié)】如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長是(

)A．3

B．4

C．5

D．6知2－練5B知2－講正方形角的性質(zhì)：

四個角相等，且都是直角；知2－講例3

如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長，結(jié)合已知條件易獲解．導引：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.知2－講解：總

結(jié)知2－講

解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對角線垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計算問題的三把鑰匙．如圖，ABCD是一塊正方形場地.小華和小芳在AB邊上取定了一點E，測量知，EC=30m，EB=10m.這塊場地的面積和對角線長分別是多少？知2－練（來自《教材》）1AD知2－練（來自《教材》）連接AC，BD相交于點O.在Rt△BCE中，BC因為AB＝BC＝CD＝AD，所以S正方形ABCD＝BC2＝(20)2＝800(m2)．因為AC又BD＝AC，所以BD＝40m．所以這塊場地的面積是800m2，對角線長是40m.解：【中考·河北】如圖是邊長為10cm的正方形鐵片，過兩個頂點剪掉一個三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是(

)知2－練2A【中考·河南】我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應點C′的坐標為(

)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)知2－練3D1.正方形是中心對稱圖形，軸對稱圖形.2.正方形的四條邊都相等.3.正方形的四個角都相等.4.正方形的對角線互相垂直平分且相等，且每一條

對角線平分一組對角.有一組鄰邊相等并且有一個角是直角平行四邊形是

正方形的1知識小結(jié)第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形第3課時

正方形的判定1課堂講解正方形的對稱性正方形的判定2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)①有一個角是直角的平行四邊形②有三個角是直角的四邊形③對角線相等的平行四邊形①有一組鄰邊相等的平行四邊形②四條邊都相等的四邊形③對角線互相垂直的平行四邊形菱形的判別方法：矩形的判別方法：1知識點正方形的對稱性知1－講OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的對稱性：正方形是中心對稱圖形，對稱中心為點O；又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.例1

如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC

＝2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別

交BC、DC于點M、N.若正方形ABCD的邊長為a，

則重疊部分四邊形EMCN的面積為(

)A.a2

B.a2

C.a2

D.a2知1－講D作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，易得△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵CA是∠BCD的角平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四邊形PCQE是正方形，知1－講導引：在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC＝

a，∵EC＝2AE，∴EC＝

a，∴EP＝PC＝

a，∴正方形PCQE的面積＝

a×a＝

a2，∴四邊形EMCN的面積＝

a2.知1－講總

結(jié)知1－講

本例解法在于巧用割補法，將分散的圖形拼合在一起，將不規(guī)則的陰影面積集中到一個規(guī)則的圖形中，再利用正方形及三角形的性質(zhì)求出，解答過程體現(xiàn)了割補法及轉(zhuǎn)化思想．1【2016·臺州】小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次知1－練B2將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示方式擺放，點A，B，C，D分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影部分面積的和為(

)A．2cm2

B．4cm2C．6cm2

D．8cm2知1－練B2知識點正方形的判定知2－導正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形的性質(zhì)=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)知2－導正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相